Квантовая томография - Quantum tomography

Квантовая томография или томография квантовых состояний - это процесс восстановления квантового состояния с использованием измерений ансамбля идентичных квантовых состояний. Источником этих состояний может быть любое устройство или система, которая преобразует квантовые состояния либо последовательно в квантовые чистые состояния, либо иным образом в общие смешанные состояния . Чтобы можно было однозначно идентифицировать состояние, измерения должны быть завершены томографически . То есть измеряемые операторы должны формировать операторную основу в гильбертовом пространстве системы, предоставляя всю информацию о состоянии. Такой набор наблюдений иногда называют кворумом .

С другой стороны, в томографии квантовых процессов известные квантовые состояния используются для исследования квантового процесса, чтобы выяснить, как этот процесс может быть описан. Точно так же квантово-измерительная томография помогает выяснить, какое измерение выполняется. В то время как рандомизированный бенчмаркинг масштабируемо дает показатель перекрытия между подверженным ошибкам физическим квантовым процессом и его идеальным аналогом.

Общий принцип томографии квантового состояния заключается в том, что путем многократного выполнения множества различных измерений в квантовых системах, описываемых идентичными матрицами плотности, можно использовать подсчеты частоты для вывода вероятностей , и эти вероятности объединяются с правилом Борна для определения матрицы плотности, которая лучше всего подходит. с наблюдениями.

Это легко понять, проведя классическую аналогию. Рассмотрим гармонический осциллятор (например, маятник). Положение и импульс генератора в любой заданной точке могут быть измерены и , следовательно , движение может быть полностью описано в фазовом пространстве . Это показано на рисунке 1. Выполняя это измерение для большого количества идентичных осцилляторов, мы получаем распределение вероятностей в фазовом пространстве (рисунок 2). Это распределение может быть нормализовано (осциллятор в данный момент должен быть где-то), и распределение должно быть неотрицательным. Итак, мы получили функцию W (x, p), которая дает описание шанса найти частицу в заданной точке с заданным импульсом.

То же самое можно сделать и с квантово-механическими частицами. Единственное отличие состоит в том, что нельзя нарушать принцип неопределенности Гейзенберга , а это означает, что мы не можем одновременно измерить импульс и положение частицы. Импульс частицы и ее положение называются квадратурами ( дополнительные сведения см. В разделе « Оптическое фазовое пространство» ) в квантовых связанных состояниях. Измерение одной из квадратур большого количества идентичных квантовых состояний даст нам плотность вероятности, соответствующую этой конкретной квадратуре. Это называется предельным распределением pr (X) или pr (P) (см. Рисунок 3). В следующем тексте мы увидим, что эта плотность вероятности необходима для характеристики квантового состояния частицы, что и составляет основу квантовой томографии.

Для чего используется томография квантовых состояний

Квантовая томография применяется к источнику систем, чтобы определить квантовое состояние выхода этого источника. В отличие от измерения в одной системе, которое определяет текущее состояние системы после измерения (в общем, процесс выполнения измерения изменяет квантовое состояние), квантовая томография работает для определения состояния (состояний) до измерений.

Квантовая томография может использоваться для характеристики оптических сигналов, включая измерение усиления и потерь сигнала в оптических устройствах, а также в квантовых вычислениях и квантовой теории информации для надежного определения фактических состояний кубитов . Можно представить себе ситуацию, в которой человек Боб подготавливает некоторые квантовые состояния, а затем передает их Алисе для просмотра. Не уверенная в описании состояний Бобом, Алиса может захотеть сделать квантовую томографию, чтобы классифицировать состояния самостоятельно.

Методы томографии квантового состояния

Линейная инверсия

Используя правило Борна , можно получить простейшую форму квантовой томографии. Как правило, чистое состояние неизвестно, и состояние может быть смешанным. В этом случае придется выполнить множество различных измерений, каждое по много раз. Чтобы полностью восстановить матрицу плотности для смешанного состояния в конечномерном гильбертовом пространстве , можно использовать следующую технику.

Правило Борн государство , где есть конкретный результат измерения проектор и матрица плотности системы. Учитывая гистограмму наблюдений для каждого измерения, у каждого есть приближение к каждому . ${\ Displaystyle \ mathrm {P} (E_ {i} | \ rho) = \ mathrm {Trace} (E_ {i} \ rho)}$${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathrm {P} (E_ {i} | \ rho)}$${\ displaystyle E_ {i}}$

Учитывая линейные операторы и , определите внутренний продукт ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle S \ cdot T = \ mathrm {Tr} [S ^ {\ dagger} T] = {\ vec {S}} ^ {\ dagger} {\ vec {T}}}$

где - представление оператора в виде вектора-столбца и вектора- строки, которые являются внутренним произведением двух. ${\ displaystyle {\ vec {T}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ vec {S}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle {\ vec {S}} ^ {\ dagger} {\ vec {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$

Определим матрицу как ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} {\ vec {E}} _ {1} ^ {\ dagger} \\ {\ vec {E}} _ {2} ^ {\ dagger} \\ {\ vec {E}} _ {3} ^ {\ dagger} \\\ vdots \ end {pmatrix}}}$.

Здесь E _i - некоторый фиксированный список индивидуальных измерений (с двоичными результатами), а A выполняет все измерения сразу.

Затем, применяя это к, получаем вероятности : ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$

${\ displaystyle A {\ vec {\ rho}} = {\ begin {pmatrix} {\ vec {E}} _ {1} ^ {\ dagger} {\ vec {\ rho}} \\ {\ vec {E }} _ {2} ^ {\ dagger} {\ vec {\ rho}} \\ {\ vec {E}} _ {3} ^ {\ dagger} {\ vec {\ rho}} \\\ vdots \ конец {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E_ {1} \ cdot \ rho \\ E_ {2} \ cdot \ rho \\ E_ {3} \ cdot \ rho \\\ vdots \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {P} (E_ {1} | \ rho) \\\ mathrm {P} (E_ {2} | \ rho) \\\ mathrm {P} (E_ {3} | \ rho) \\\ vdots \ end {pmatrix}} \ приблизительно {\ begin {pmatrix} p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \\\ vdots \ end {pmatrix}} = {\ vec {p}}}$.

Линейная инверсия соответствует инверсии этой системы с использованием наблюдаемых относительных частот для получения (которые изоморфны ). ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ rho}$

Эта система в целом не будет квадратной, поскольку для каждого выполняемого измерения обычно используется несколько проекторов результатов измерения . Например, в 2- мерном гильбертовом пространстве с 3 измерениями каждое измерение имеет 2 результата, каждый из которых имеет проектор E _i , для 6 проекторов, тогда как реальная размерность пространства матриц плотности составляет (2⋅2 ² ) / 2 = 4, остается 6 x 4. Чтобы решить систему, умножьте слева на : ${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {T}}$

${\ Displaystyle A ^ {T} A {\ vec {\ rho}} = A ^ {T} {\ vec {p}}}$.

Теперь решение для дает псевдообратную формулу : ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ rho}} = (A ^ {T} A) ^ {- 1} A ^ {T} {\ vec {p}}}$.

Обычно это работает только в том случае, если список E _i измерений является томографически полным. В противном случае матрица не будет обратимой . ${\ displaystyle A ^ {T} A}$

Непрерывные переменные и квантовая гомодинная томография

В бесконечномерных гильбертовых пространствах , например, при измерениях непрерывных переменных, таких как положение, методология несколько более сложна. Одним из ярких примеров являются в томографии на свет , известную как оптическая гомодинной томография . Используя сбалансированные гомодинные измерения, можно получить функцию Вигнера и матрицу плотности для состояния света .

Один из подходов включает измерения в фазовом пространстве в разных направлениях вращения . Для каждого направления можно найти распределение вероятностей для плотности вероятности измерений в направлении фазового пространства, дающее значение . Использование обратного преобразования Радона (отфильтрованные проекции назад) на привожу к функции Вигнера , , который может быть преобразован с помощью обратного преобразования Фурье в матрицу плотности для состояния в любой основе. Подобный метод часто используется в медицинской томографии . ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle ш (д, \ тета)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle ш (д, \ тета)}$${\ Displaystyle \ mathrm {W} (х, р)}$

Пример гомодинной томографии.

Амплитуды или квадратуры поля с высокой эффективностью могут быть измерены с помощью фотодетекторов вместе с временной селективностью мод. Сбалансированная гомодинная томография - надежный метод восстановления квантовых состояний в оптической области. Этот метод сочетает в себе преимущества высокой эффективности фотодиодов при измерении интенсивности или числа фотонов света вместе с измерением квантовых характеристик света с помощью хитроумной установки, называемой детектором гомодинной томографии . Это объясняется следующим примером. Лазера направляют на 50-50% светоделитель , расщепление лазерного луча на два пучка. Один используется как гетеродин (LO), а другой используется для генерации фотонов с определенным квантовым состоянием . Генерация квантовых состояний может быть реализована, например, путем направления лазерного луча через кристалл с удвоением частоты, а затем на кристалл параметрического преобразования с понижением частоты . Этот кристалл генерирует два фотона в определенном квантовом состоянии. Один из фотонов используется в качестве триггерного сигнала, используемого для запуска (запуска) события считывания гомодинного томографического детектора. Другой фотон направляется в детектор гомодинной томографии, чтобы восстановить его квантовое состояние. Поскольку триггерный и сигнальный фотоны запутаны (это объясняется статьей о спонтанном параметрическом понижающем преобразовании ), важно понимать, что оптический режим состояния сигнала создается нелокальным только тогда, когда триггерный фотон падает на фотодетектор ( модуль считывания триггерных событий) и фактически измеряется. Проще говоря, только когда измеряется триггерный фотон, сигнальный фотон может быть измерен гомодинным детектором.

Теперь рассмотрим гомодинный томографический детектор, показанный на рисунке 4 (рисунок отсутствует). Сигнальный фотон (это квантовое состояние, которое мы хотим восстановить) интерферирует с гетеродином , когда они направляются на светоделитель 50-50% . Поскольку два луча исходят от одного и того же так называемого задающего лазера , они имеют одинаковое фиксированное фазовое соотношение. Гетеродин должен быть интенсивным по сравнению с сигналом, чтобы обеспечивать точную опорную фазу. Локальный осциллятор настолько интенсивен, что мы можем рассматривать его классически (a = α) и пренебрегать квантовыми флуктуациями. Поле сигнала пространственно и временно контролируется гетеродином, который имеет управляемую форму. Когда гетеродин равен нулю, сигнал отклоняется. Следовательно, мы имеем пространственно-временную модовую избирательность сигнала. Светоделитель перенаправляет два луча на два фотоприемника. Фотодетекторы генерируют электрический ток, пропорциональный количеству фотонов . Два тока детектора вычитаются, и результирующий ток пропорционален оператору электрического поля в сигнальном режиме, зависящему от относительной оптической фазы сигнала и гетеродина.

Поскольку амплитуда электрического поля гетеродина намного выше амплитуды сигнала, можно увидеть интенсивность или флуктуации поля сигнала. Система гомодинной томографии работает как усилитель . Систему можно рассматривать как интерферометр с опорным пучком такой высокой интенсивности (гетеродин), что можно измерить дисбаланс помех от одного фотона в сигнале. Это усиление намного выше минимального уровня шума фотоприемников .

Измерение воспроизводится большое количество раз. Затем разность фаз между сигналом и гетеродином изменяется, чтобы «сканировать» под другим углом в фазовом пространстве . Это можно увидеть из рисунка 4. Измерение повторяется снова большое количество раз, и из текущей разницы извлекается предельное распределение . Маргинальное распределение может быть преобразовано в матрицу плотности и / или функцию Вигнера . Поскольку матрица плотности и функция Вигнера дают информацию о квантовом состоянии фотона, мы восстановили квантовое состояние фотона.

Преимущество этого способа состоит в том , что этот механизм не чувствителен к колебаниям частоты от лазера .

Квантовые вычисления для восстановления квадратурной составляющей из разности токов выполняются следующим образом.

Число фотонов оператор для лучей поразительных фотодетекторов после расщепитель определяется по формуле:

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {i} = {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {i}}$,

где i равно 1 и 2, соответственно для первой и второй балок. Модовые операторы поля, выходящего из светоделителей, задаются формулами:

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {1} = 2 ^ {- 1/2} ({\ hat {a}} - \ alpha _ {LO})}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {2} = 2 ^ {- 1/2} ({\ hat {a}} + \ alpha _ {LO})}$

Знак обозначает оператор аннигиляции сигнала, а альфа - комплексную амплитуду гетеродина. Количество фотонов разницы в конечном итоге пропорционально квадратуре и определяется следующим образом: ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {21} = {\ hat {n}} _ {2} - {\ hat {n}} _ {1} = \ alpha _ {LO} ^ {*} { \ hat {a}} + \ alpha _ {LO} {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$,

Переписывая это с отношением:

${\ displaystyle {\ hat {q}} = 2 ^ {- 1/2} ({\ hat {a}} ^ {\ dagger} + {\ hat {a}})}$

Приводит к следующему соотношению:

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {21} = 2 ^ {1/2} | {\ hat {\ alpha}} _ {LO} | {\ hat {q}} _ {\ theta}}$,

где мы видим четкую связь между разностью числа фотонов и квадратурной составляющей . Отслеживая суммарный ток, можно восстановить информацию об интенсивности гетеродина, поскольку это обычно неизвестная величина, но важная величина для вычисления квадратурной составляющей . ${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {\ theta}}$${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {\ theta}}$

Проблемы с линейной инверсией

Одна из основных проблем с использованием линейной инверсии для решения матрицы плотности состоит в том, что вычисленное решение, как правило, не будет действительной матрицей плотности. Например, он может давать отрицательные вероятности или вероятности, превышающие 1, для определенных результатов измерения. Это особенно актуально при меньшем количестве измерений.

Другая проблема заключается в том, что в бесконечномерных гильбертовых пространствах потребуется бесконечное количество результатов измерений. Предположения о структуре и использование конечной базы измерений приводят к артефактам в плотности фазового пространства.

Оценка максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия (также известная как MLE или MaxLik) - популярный метод решения задач линейной инверсии. Ограничивая область матриц плотности надлежащим пространством и ища матрицу плотности, которая максимизирует вероятность получения экспериментальных результатов, он гарантирует, что состояние будет теоретически достоверным, обеспечивая при этом близкое соответствие данным. Вероятность состояния - это вероятность, которая была бы присвоена наблюдаемым результатам, если бы система находилась в этом состоянии.

Предположим, измерения наблюдались с частотами . Тогда вероятность, связанная с состоянием, равна ${\ Displaystyle \ {| y_ {j} \ rangle \ langle y_ {j} | \}}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle {\ hat {\ rho}}}$

${\ Displaystyle L ({\ шляпа {\ rho}}) = \ prod _ {j} \ langle y_ {j} | {\ hat {\ rho}} | y_ {j} \ rangle ^ {f_ {j}} }$

где - вероятность исхода для государства . ${\ displaystyle \ langle y_ {j} | {\ hat {\ rho}} | y_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle y_ {j}}$${\ displaystyle {\ hat {\ rho}}}$

Нахождение максимума этой функции нетривиально и обычно требует итерационных методов. Методы - активная тема исследования.

Проблемы с оценкой максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия страдает от некоторых менее очевидных проблем, чем линейная инверсия. Одна из проблем заключается в том, что он делает прогнозы о вероятностях, которые не могут быть подтверждены данными. В этом легче всего убедиться, взглянув на проблему нулевых собственных значений . Вычисленное решение с использованием MLE часто содержит собственные значения, равные 0, т. Е. Его ранг недостаточен . В этих случаях решение лежит на границе n-мерной сферы Блоха . Это можно рассматривать как относящееся к линейной инверсии, дающей состояния, которые лежат за пределами допустимого пространства (сфера Блоха). MLE в этих случаях выбирает ближайшую действительную точку, и ближайшие точки обычно находятся на границе.

Это не физическая проблема, реальное состояние может иметь нулевые собственные значения . Однако, поскольку никакое значение не может быть меньше 0, оценка собственного значения, равного 0, означает, что оценщик уверен, что значение равно 0, в противном случае они оценили бы некоторые значения больше 0 с небольшой степенью неопределенности в качестве наилучшей оценки. Вот где возникает проблема, поскольку после конечного числа измерений нелогично заключать с абсолютной уверенностью, что любое собственное значение (то есть вероятность определенного результата) равно 0. Например, если монета подброшена 5 раз и каждый раз, когда наблюдали орел, это не означает, что вероятность выпадения решки равна нулю, несмотря на то, что это наиболее вероятное описание монеты. ${\ displaystyle \ epsilon}$

Байесовские методы

Оценка среднего байесовского (BME) - относительно новый подход, который решает проблемы оценки максимального правдоподобия . Он фокусируется на поиске оптимальных решений, которые также являются честными, поскольку включают в себя планки ошибок в оценке. Общая идея состоит в том, чтобы начать с функции правдоподобия и функции, описывающей предварительные знания экспериментатора (которые могут быть постоянной функцией), а затем интегрировать по всем матрицам плотности, используя произведение функции правдоподобия и функции априорных знаний в качестве веса.

При наличии разумной функции априорного знания BME приведет к состоянию строго в n-мерной сфере Блоха . В случае, когда монета подбрасывается N раз, чтобы получить N орлов, описанных выше, с постоянной функцией априорных знаний, BME будет назначать вероятность выпадения решки. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {N + 2}}}$

BME обеспечивает высокую степень точности, поскольку сводит к минимуму операционные расхождения оценки с фактическим состоянием.

Способы получения неполных данных

Количество измерений, необходимых для полной томографии квантового состояния для многочастичной системы, экспоненциально масштабируется с количеством частиц, что делает такую ​​процедуру невозможной даже для систем небольшого размера. Следовательно, было разработано несколько методов для реализации квантовой томографии с меньшим количеством измерений.

Концепция завершения матрицы и сжатого измерения были применены для восстановления матриц плотности из неполного набора измерений (то есть набора измерений, который не является кворумом). В общем, это невозможно, но при предположениях (например, если матрица плотности является чистым состоянием или комбинацией всего нескольких чистых состояний), тогда матрица плотности имеет меньше степеней свободы, и может быть возможно восстановить состояние по незавершенным измерениям.

Пермутационно-инвариантная квантовая томография - это процедура, которая была разработана в основном для состояний, близких к пермутационно-симметричным, что типично для современных экспериментов. Для частиц с двумя состояниями количество необходимых измерений масштабируется только квадратично с количеством частиц. Помимо скромных усилий по измерению, обработка измеренных данных также может выполняться эффективно: можно выполнить подгонку матрицы физической плотности к измеренным данным даже для больших систем. Пермутационно-инвариантная квантовая томография была объединена со сжатым зондированием в шестикубитном фотонном эксперименте.

Квантовая измерительная томография

Можно представить себе ситуацию, в которой прибор выполняет некоторые измерения в квантовых системах и определяет, какое именно измерение требуется. Стратегия заключается в отправке систем с различными известными состояниями и использовании этих состояний для оценки результатов неизвестного измерения. Методы томографии, также известные как «квантовая оценка», становятся все более важными, включая методы квантовой измерительной томографии и очень похожую томографию квантового состояния. Так как измерение всегда может характеризоваться набором POVM «s, цель состоит в том, чтобы реконструировать характеризующую POVM » S . Самый простой подход - линейная инверсия. Как и в наблюдении за квантовым состоянием, используйте ${\ displaystyle \ Pi _ {l}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathrm {Tr} [\ Pi _ {l} \ rho _ {m}] = \ mathrm {P} (l | \ rho _ {m})}$.

Используя линейность, как указано выше, это можно инвертировать, чтобы найти . ${\ displaystyle \ Pi _ {l}}$

Неудивительно, что здесь есть те же ошибки, что и в томографии квантовых состояний: а именно, нефизические результаты, в частности отрицательные вероятности. Здесь POVM не будут действительными , так как они не будут положительными. Байесовские методы, а также оценка вероятности Максимальная часть матрицы плотности может быть использована для ограничения операторов на действительные физические результаты. ${\ displaystyle \ Pi _ {l}}$

Квантово-технологическая томография

Томография квантовых процессов (QPT) занимается идентификацией неизвестного квантового динамического процесса. Первый подход, представленный в 1996 году и иногда известный как стандартная томография квантовых процессов (SQPT), включает подготовку ансамбля квантовых состояний и отправку их через процесс, а затем использование томографии квантовых состояний для идентификации результирующих состояний. Другие методы включают вспомогательную томографию процесса (AAPT) и томографию процесса с помощью сцепления (EAPT), для которых требуется дополнительная копия системы.

Каждый из перечисленных выше методов известен как косвенные методы характеристики квантовой динамики, поскольку они требуют использования томографии квантового состояния для реконструкции процесса. Напротив, существуют прямые методы, такие как прямая характеристика квантовой динамики (DCQD), которые обеспечивают полную характеристику квантовых систем без какой-либо томографии состояния.

Число экспериментальных конфигураций (подготовка состояний и измерения), необходимых для полной томографии квантовых процессов, растет экспоненциально с увеличением числа составляющих частиц системы. Следовательно, в целом QPT - невыполнимая задача для крупномасштабных квантовых систем. Однако при условии слабой декогеренции квантовое динамическое отображение может найти разреженное представление. Метод томографии сжатого квантового процесса (CQPT) использует метод сжатого зондирования и применяет допущение разреженности для восстановления квантовой динамической карты из неполного набора измерений или подготовки тестовых состояний.

Квантовые динамические карты

Квантовый процесс, также известный как квантовая динамическая карта , может быть описан полностью положительной картой${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ rho)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ rho) = \ sum _ {i} A_ {i} \ rho A_ {i} ^ {\ dagger}}$,

где , ограниченные операторы в гильбертовом пространстве ; с рабочими элементами, удовлетворяющими так что . ${\ displaystyle \ rho \ in {\ mathcal {B (H)}}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i} A_ {i} ^ {\ dagger} A_ {i} \ leq I}$${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} [{\ mathcal {E}} (\ rho)] \ Leq 1}$

Позвольте быть ортогональным базисом для . Напишите операторы в этой базе ${\ displaystyle \ displaystyle \ {E_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B (H)}}}$${\ displaystyle \ displaystyle A_ {i}}$

${\ displaystyle \ displaystyle A_ {i} = \ sum _ {m} a_ {im} E_ {m}}$.

Это ведет к

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ rho) = \ sum _ {m, n} \ chi _ {mn} E_ {m} \ rho E_ {n} ^ {\ dagger}}$,

где . ${\ displaystyle \ chi _ {mn} = \ sum _ {i} a_ {mi} a_ {ni} ^ {*}}$

Затем цель состоит в том, чтобы найти для , который является положительным супероператором и полностью характеризует его по отношению к базису. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ чи}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ {E_ {i} \}}$

Стандартная томография квантовых процессов

SQPT приближается к этому, используя линейно независимые входные данные , где - размерность гильбертова пространства . Для каждого из этих входных состояний , посылая его через процесс дает выходное состояние , которое можно записать в виде линейной комбинации , то есть . Посылая каждый сигнал много раз, можно использовать томографию квантового состояния для экспериментального определения коэффициентов . ${\ displaystyle d ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {j}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ rho _ {j}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ rho)}$${\ displaystyle \ rho _ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {E}} (\ rho _ {j}) = \ sum _ {k} c_ {jk} \ rho _ {k}}$${\ displaystyle \ rho _ {j}}$${\ displaystyle c_ {jk}}$

Писать

${\ Displaystyle E_ {m} \ rho _ {j} E_ {n} ^ {\ dagger} = \ sum _ {k} B_ {m, n, j, k} \ rho _ {k}}$,

где - матрица коэффициентов. Затем ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} c_ {jk} \ rho _ {k} = {\ mathcal {E}} (\ rho _ {j}) = \ sum _ {m, n} \ chi _ {m, n} E_ {m} \ rho _ {j} E_ {n} ^ {\ dagger} = \ sum _ {m, n} \ sum _ {k} \ chi _ {m, n} B_ {m, n, j, k} \ rho _ {k}}$.

Поскольку образуют линейно независимый базис, ${\ displaystyle \ rho _ {k}}$

${\ displaystyle \ displaystyle c_ {jk} = \ sum _ {m, n} \ chi _ {m, n} B_ {m, n, j, k}}$.

Инвертирование дает : ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ chi _ {m, n} = \ sum _ {j, k} B_ {m, n, j, k} ^ {- 1} c_ {jk}}$.

использованная литература