POVM - POVM

В функциональном анализе и теориях квантового измерения , А положительный оператор-мера ( POVM ) является мерой , чьи значения являются положительными полуопределенными операторами на гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением проекционно-значных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM (называемых проективными измерениями).

Грубо говоря, POVM для PVM - это то же самое, что смешанное состояние для чистого состояния . Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. Очистку квантового состояния ); Аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполняемого в более крупной системе.

POVM - это наиболее общий вид измерения в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . Они широко используются в области квантовой информации .

Определение

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM - это набор положительных полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , сумма которых равна единичной матрице , ${\ displaystyle \ {F_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = \ operatorname {I}.}$

В квантовой механике элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при измерении квантового состояния определяется выражением ${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (\ rho F_ {i})}$,

где - оператор трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к ${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F_ {i}) = \ langle \ psi | F_ {i} | \ psi \ rangle }$.

Простейший случай POVM обобщает простейший случай PVM, который представляет собой набор ортогональных проекторов , суммирующих единичную матрицу : ${\ Displaystyle \ {\ Pi _ {я} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ Pi _ {i} = \ operatorname {I}, \ quad \ Pi _ {i} \ Pi _ {j} = \ delta _ {ij} \ Пи _ {i}.}$

Формулы вероятности для PVM такие же, как для POVM. Важное отличие состоит в том, что элементы POVM не обязательно ортогональны. Как следствие, количество элементов POVM может быть больше, чем размерность гильбертова пространства, в котором они действуют. С другой стороны, количество элементов PVM не превышает размерности гильбертова пространства. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N}$

В общем, POVM также можно определить в ситуациях, когда количество элементов и размерность гильбертова пространства не конечны:

Определение . Позвольте быть измеримым пространством ; что является σ-алгебра подмножеств . POVM - это функция, определенная, на значениях которой являются ограниченные неотрицательные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие что и для каждого , ${\ Displaystyle (Х, М)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle F (X) = \ OperatorName {I} _ {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ psi \ in {\ mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle E \ mapsto \ langle F (E) \ psi \ mid \ psi \ rangle \ ({\ text {для каждого}} E \ in M)}$

является неотрицательной счетно-аддитивной мерой на σ-алгебре . ${\ displaystyle M}$

Его ключевое свойство состоит в том, что он определяет вероятностную меру в пространстве результатов, поэтому ее можно интерпретировать как вероятность (плотность) результата при выполнении измерения в квантовом состоянии . ${\ Displaystyle \ langle F (E) \ psi \ mid \ psi \ rangle}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Это определение следует противопоставить определению проекционно-оценочной меры , которое аналогично, за исключением того, что для проекционно-оценочных мер значения должны быть проекционными операторами. ${\ displaystyle F}$

Теорема Наймарка о дилатации

Примечание. Альтернативное написание этого слова - «Теорема Ноймарка».

Теорема Наймарка о расширении показывает, как POVM могут быть получены из PVM, действующих на большее пространство. Этот результат имеет решающее значение для квантовой механики, поскольку он позволяет физически реализовать измерения POVM.

В простейшем случае из POVM с конечным числом элементов , действующих на конечномерном гильбертовом пространстве, теорема М. А. Наймарка говорит , что если это POVM действует на гильбертовом пространстве размерности , то существует PVM , действующий на гильбертовом пространстве в размерность и изометрия такие, что для всех${\ Displaystyle \ {F_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A}}$${\ displaystyle d_ {A}}$${\ Displaystyle \ {\ Pi _ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A '}}$${\ displaystyle d_ {A '}}$ ${\ displaystyle V: {\ mathcal {H}} _ {A} \ to {\ mathcal {H}} _ {A '}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle F_ {i} = V ^ {\ dagger} \ Pi _ {i} V}$

Один из способов построения такой PVM и изометрии это позволить , и ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A '} = {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ displaystyle \ Pi _ {i} = \ operatorname {I} _ {A} \ otimes | i \ rangle \ langle i | _ {B}}$

${\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ sqrt {F_ {i}}} _ {A} \ otimes {| i \ rangle} _ {B}}$

Обратите внимание, что в этой конструкции размерность большего гильбертова пространства равна . Это не минимально возможное, поскольку более сложная конструкция дает (при условии, что ). ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A '}}$${\ displaystyle d_ {A '} = nd_ {A}}$${\ displaystyle d_ {A '} = n}$${\ Displaystyle п \ geq d_ {A}}$

Эту конструкцию можно превратить в рецепт физической реализации POVM, расширив изометрию до унитарной , то есть найдя такую, что ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle V = U (\ operatorname {I} _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B}).}$

Это всегда можно сделать. Рецепт для реализации измерения POVM, описанного в квантовом состоянии, состоит в том, чтобы подготовить вспомогательную функцию в состоянии , развить ее вместе с помощью унитарного и выполнить проективное измерение на вспомогательной службе, описанной PVM . Тогда легко увидеть, что вероятность получения результата с помощью этого метода такая же, как вероятность получения его с исходной POVM. Это, ${\ Displaystyle \ {F_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle | 0 \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ {| я \ rangle \ langle я | _ {B} \} _ {я = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (\ rho F_ {i}) = \ operatorname {tr} \ left (\ operatorname {I} _ {A} \ otimes | i \ rangle \ langle i | _ {B} \ left [U \ rho _ {A} \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | _ {B} U ^ {\ dagger} \ right] \ right).}$

Состояние после измерения

Состояние после измерения определяется не самим POVM, а скорее PVM, который его физически реализует. Поскольку существует бесконечно много разных PVM, реализующих одну и ту же POVM, операторы сами по себе не определяют, каким будет состояние после измерения. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что для любых унитарных операторов ${\ Displaystyle \ {F_ {я} \} _ {я = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle M_ {i} = W {\ sqrt {F_ {i}}}}$

также будет обладать свойством , что при использовании изометрии ${\ displaystyle M_ {i} ^ {\ dagger} M_ {i} = F_ {i}}$

${\ displaystyle V_ {W} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {M_ {i}} _ {A} \ otimes {| i \ rangle} _ {B}}$

в приведенной выше конструкции также будет реализован тот же POVM. В случае, когда измеряемое состояние находится в чистом состоянии , результирующая унитарная единица принимает его вместе с вспомогательной функцией для состояния ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle U_ {W}}$

${\ Displaystyle U_ {W} (| \ psi \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} M_ {i} | \ psi \ rangle _ { A} | i \ rangle _ {B},}$

и проективное измерение на вспомогательном элементе рухнет до состояния ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$

${\ displaystyle | \ psi '\ rangle _ {A} = {\ frac {M_ {i_ {0}} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ psi | M_ {i_ {0}} ^ {\ кинжал} M_ {i_ {0}} | \ psi \ rangle}}}}$

по получению результата . Когда измеряемое состояние описывается матрицей плотности , соответствующее состояние после измерения задается следующим образом: ${\ displaystyle i_ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {A}}$

${\ displaystyle \ rho '_ {A} = {M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}} ^ {\ dagger} \ over {\ rm {tr}} (M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}} ^ {\ dagger})}}$.

Таким образом, мы видим, что состояние после измерения явно зависит от унитарности . ${\ displaystyle W}$

Еще одно отличие от проективных измерений состоит в том, что измерение POVM, как правило, не является повторяемым. Если при первом измерении был получен результат , вероятность получения другого результата при втором измерении равна ${\ displaystyle i_ {0}}$${\ displaystyle i_ {1}}$

${\ displaystyle {\ text {Prob}} (i_ {1} | i_ {0}) = {\ operatorname {tr} (M_ {i_ {1}} M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}) }} ^ {\ dagger} M_ {i_ {1}} ^ {\ dagger}) \ over {\ rm {tr}} (M_ {i_ {0}} \ rho M_ {i_ {0}} ^ {\ dagger })}}$,

которые могут быть ненулевыми, если и не ортогональны. В проективном измерении эти операторы всегда ортогональны, и поэтому измерение всегда повторяется. ${\ displaystyle M_ {i_ {0}}}$${\ displaystyle M_ {i_ {1}}}$

Пример: однозначная дискриминация квантовых состояний

Предположим, у вас есть квантовая система измерения 2, которая, как вы знаете, находится либо в состоянии, либо в состоянии , и вы хотите определить, в каком из них она находится. Если и ортогональны, эта задача проста: набор будет формировать PVM, и проективное измерение в этом базисе с уверенностью определит состояние. Если, однако, и не являются ортогональными, эта задача невозможна в том смысле, что не существует измерения, ни PVM, ни POVM, которое определило бы их с уверенностью. Невозможность полностью различать неортогональные состояния лежит в основе протоколов квантовой информации , таких как квантовая криптография , квантовое подбрасывание монет и квантовые деньги . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ Displaystyle \ {| \ psi \ rangle \ langle \ psi |, | \ varphi \ rangle \ langle \ varphi | \}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

Задача однозначного распознавания квантовых состояний (UQSD) - следующая лучшая вещь: никогда не ошибаться относительно того, является ли состояние или , за счет иногда получения неубедительного результата. Эта задача не может быть сделана проективным измерением, потому что мы должны иметь три результата, , , и неубедительные, и проекционные измерения в размерности 2 могут иметь не более 2 результатов. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ varphi}$

POVM, который дает наивысшую вероятность окончательного результата в этой задаче, определяется выражением

${\ displaystyle F _ {\ psi} = {\ frac {1} {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ varphi ^ {\ perp} |}$

${\ Displaystyle F _ {\ varphi} = {\ frac {1} {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ psi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ psi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle F _ {?} = \ operatorname {I} -F _ {\ psi} -F _ {\ varphi},}$

где - квантовое состояние, ортогональное , а - ортогональное . ${\ displaystyle | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ Displaystyle | \ psi ^ {\ perp} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Обратите внимание: когда результат получен, мы уверены, что квантовое состояние есть , а когда результат получен, мы уверены, что квантовое состояние есть . ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (| \ varphi \ rangle \ langle \ varphi | F _ {\ psi}) = \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F _ {\ varphi}) = 0 }$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

Предполагая, что квантовая система может находиться в состоянии или с той же вероятностью, вероятность получения окончательного результата определяется выражением ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F _ {\ psi}) + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr } (| \ varphi \ rangle \ langle \ varphi | F _ {\ varphi}) = 1- | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |.}$

Этот результат известен как предел Ивановича-Дикса-Переса в честь авторов, пионеров исследования UQSD.

Используя приведенную выше конструкцию, мы можем получить проективное измерение, которое физически реализует эту POVM. Квадратные корни элементов POVM задаются формулой

${\ displaystyle {\ sqrt {F _ {\ psi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}}} | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ varphi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle {\ sqrt {F _ {\ varphi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}}} | \ psi ^ {\ perp} \ rangle \ langle \ psi ^ {\ perp} |}$

${\ displaystyle {\ sqrt {F _ {?}}} = {\ sqrt {\ frac {2 | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |} {1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} } | \ gamma \ rangle \ langle \ gamma |,}$

где

${\ displaystyle | \ gamma \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1+ | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |)}}} (| \ psi \ rangle + e ^ {i \ arg (\ langle \ varphi | \ psi \ rangle)} | \ varphi \ rangle).}$

Пометка три возможных состояния Ancilla как , , и инициализирует его состояние , мы видим , что в результате унитарная принимает состояние вместе с Ancilla к ${\ displaystyle | {\ text {result?}} \ rangle}$${\ Displaystyle | {\ текст {результат ψ}} \ rangle}$${\ Displaystyle | {\ текст {результат φ}} \ rangle}$${\ displaystyle | {\ text {result?}} \ rangle}$${\ displaystyle U _ {\ text {UQSD}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle U _ {\ text {UQSD}} (| \ psi \ rangle | {\ text {result?}} \ rangle) = {\ sqrt {1- | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ varphi ^ {\ perp} \ rangle | {\ text {result ψ}} \ rangle + {\ sqrt {| \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ gamma \ rangle | {\ text {result? }} \ rangle,}$

и аналогичным образом государство вместе с помощницей ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

${\ displaystyle U _ {\ text {UQSD}} (| \ varphi \ rangle | {\ text {result?}} \ rangle) = {\ sqrt {1- | \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ psi ^ {\ perp} \ rangle | {\ text {result φ}} \ rangle + e ^ {- i \ arg (\ langle \ varphi | \ psi \ rangle)} {\ sqrt {| \ langle \ varphi | \ psi \ rangle |}} | \ gamma \ rangle | {\ text {result?}} \ rangle.}$

Затем измерение на вспомогательной части дает желаемые результаты с той же вероятностью, что и POVM.

Этот POVM использовался для экспериментального различения неортогональных состояний поляризации фотона с использованием степени свободы пути в качестве вспомогательной. Реализация POVM с проективным измерением немного отличалась от описанной здесь.

Смотрите также

• SIC-POVM
• Квантовое измерение
• Математическая формулировка квантовой механики
• Матрица плотности
• Квантовая операция
• Прогнозно-оценочная мера
• Векторная мера

Рекомендации

• POVMs
  • К. Краус, Состояния, эффекты и операции, Конспект лекций по физике 190, Springer (1983).
  • EBDavies, Квантовая теория открытых систем, Academic Press (1976).
  • А.С. Холево , Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, North-Holland Publ. Cy., Амстердам (1982).

Внешние ссылки

• Интерактивная демонстрация дискриминации квантовых состояний