Квадратичная проблема собственных значений - Quadratic eigenvalue problem

В математике , то квадратичная задача на собственные значения (QEP) , чтобы найти скалярные собственные , левые собственные векторы и правых собственных векторов , таких , что ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Q (\ lambda) x = 0 {\ text {and}} y ^ {\ ast} Q (\ lambda) = 0,}$

где , с матричными коэффициентами и мы требуем , (чтобы у нас был ненулевой старший коэффициент). Есть собственные значения, которые могут быть бесконечными или конечными и, возможно, нулевыми. Это частный случай нелинейной задачи на собственные значения . также известна как квадратная полиномиальная матрица . ${\ displaystyle Q (\ lambda) = \ lambda ^ {2} A_ {2} + \ lambda A_ {1} + A_ {0}}$${\ displaystyle A_ {2}, \, A_ {1}, A_ {0} \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ Displaystyle A_ {2} \, \ neq 0}$${\ displaystyle 2n}$${\ Displaystyle Q (\ лямбда)}$

Приложения

Результатом QEP может быть часть динамического анализа конструкций, дискретизированная методом конечных элементов . В этом случае квадратичная функция имеет вид , где - матрица масс , - матрица демпфирования и - матрица жесткости . Другие приложения включают виброакустику и гидродинамику. ${\ Displaystyle Q (\ лямбда)}$${\ Displaystyle Q (\ лямбда) = \ лямбда ^ {2} M + \ лямбда C + K}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle K}$

Методы решения

Прямые методы решения стандартных или обобщенных задач на собственные значения и основаны на преобразовании проблемы в Шур или Обобщенные Шур форме. Однако для квадратичных матричных многочленов аналогичного вида не существует. Один из подходов состоит в том, чтобы преобразовать квадратный матричный полином в линейный матричный пучок ( ) и решить обобщенную задачу на собственные значения. После определения собственных значений и собственных векторов линейной задачи можно определить собственные векторы и собственные значения квадратичной. ${\ displaystyle Ax = \ lambda x}$${\ displaystyle Ax = \ lambda Bx}$${\ displaystyle A- \ lambda B}$

Самая распространенная линеаризация - это первая сопутствующая линеаризация.

${\ displaystyle L (\ lambda) = \ lambda {\ begin {bmatrix} M & 0 \\ 0 & I_ {n} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} C&K \\ - I_ {n} & 0 \ end {bmatrix }},}$

где есть матрица с размерностью единичной матрицы, с соответствующим собственным вектором ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle z = {\ begin {bmatrix} \ lambda x \\ x \ end {bmatrix}}.}$

Мы решаем для и , например, вычисляя обобщенную форму Шура. Затем мы можем взять первые компоненты в качестве собственного вектора исходной квадратичной . ${\ Displaystyle L (\ лямбда) г = 0}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle Q (\ лямбда)}$

Эта статья по прикладной математике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• т
• е

Рекомендации