Доказательство Великой теоремы Ферма для конкретных показателей - Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents

Последняя теорема Ферма - это теорема теории чисел , первоначально сформулированная Пьером де Ферма в 1637 году и доказанная Эндрю Уайлсом в 1995 году. В формулировке теоремы используется целочисленный показатель n, превышающий 2. В столетия после первоначальной формулировки результата и перед его общим доказательством были разработаны различные доказательства для конкретных значений показателя n . Некоторые из этих доказательств описаны ниже, включая доказательство Ферма для случая n = 4, которое является ранним примером метода бесконечного спуска .

Математические предварительные

Последняя теорема Ферма утверждает, что никакие три натуральных числа ( a ,  b ,  c ) не могут удовлетворять уравнению a ⁿ  +  b ⁿ  =  c ⁿ для любого целого значения n больше двух. (Для n, равного 1, уравнение является линейным уравнением и имеет решение для всех возможных a , b . Для n, равного 2, уравнение имеет бесконечно много решений, троек Пифагора .)

Коэффициенты экспоненты

Решение ( a ,  b ,  c ) для данного n приводит к решению для всех факторов n : если h является фактором n, то существует целое число g такое, что n  =  gh . Тогда ( a ^g ,  b ^g ,  c ^g ) является решением для показателя h :

( a ^g ) ^h + ( b ^g ) ^h = ( c ^g ) ^h .

Поэтому, чтобы доказать , что уравнение Ферма не имеет ни одного решения для п  > 2, достаточно , чтобы доказать , что он не имеет решений для п  = 4 и для всех простых нечетных р .

Для любого такого нечетного показателя p каждое положительное целочисленное решение уравнения a ^p  +  b ^p  =  c ^p соответствует общему целочисленному решению уравнения a ^p  +  b ^p  +  c ^p  = 0. Например, если (3, 5, 8) решает первое уравнение, затем (3, 5, −8) решает второе. И наоборот, любое решение второго уравнения соответствует решению первого. Второе уравнение иногда полезно, потому что оно делает симметрию между тремя переменными a , b и c более очевидной.

Примитивные решения

Если два из трех чисел ( a ,  b ,  c ) можно разделить на четвертое число d , то все три числа делятся на d . Например, если a и c делятся на d  = 13, то b также делится на 13. Это следует из уравнения

b ⁿ = c ⁿ - a ⁿ

Если правая часть уравнения делится на 13, то левая сторона также делится на 13. Пусть г представляют собой наибольший общий делитель в виде , б , и с . Тогда ( a ,  b ,  c ) можно записать как a  =  gx , b  =  gy и c  =  gz, где три числа ( x ,  y ,  z ) попарно взаимно просты . Другими словами, наибольший общий делитель (НОД) каждой пары равен одному

НОД ( x , y ) = НОД ( x , z ) = НОД ( y , z ) = 1

Если ( a ,  b ,  c ) является решением уравнения Ферма, то также и ( x ,  y ,  z ), поскольку уравнение

а ^N + B ^N = C ^N = G ^N X ^N + G ^N Y ^N = G ^N Z ^N

следует уравнение

х ^п + у ^п = г ^п .

Попарно взаимно простое решение ( x ,  y ,  z ) называется примитивным решением . Поскольку каждое решение уравнения Ферма может быть сведено к примитивному решению путем деления на их наибольший общий делитель g , Великую теорему Ферма можно доказать, продемонстрировав, что примитивных решений не существует.

Четный и нечетный

Целые числа можно разделить на четные и нечетные, на те, которые без остатка делятся на два, и на те, которые не делятся на два. Четные целые числа - это ...− 4, −2, 0, 2, 4, а нечетные целые числа - это −3, −1, 1, 3, ... Свойство того, является ли целое число четным (или нет), известный как его паритет . Если два числа четные или оба нечетные, они имеют одинаковую четность. Напротив, если один четный, а другой нечетный, у них разная четность.

Сложение, вычитание и умножение четных и нечетных целых чисел подчиняются простым правилам. Сложение или вычитание двух четных чисел или двух нечетных чисел всегда дает четное число, например, 4 + 6 = 10 и 3 + 5 = 8. И наоборот, сложение или вычитание нечетного и четного числа всегда является нечетным, например , 3 + 8 = 11. Умножение двух нечетных чисел всегда нечетное, но умножение четного числа на любое число всегда четное. Нечетное число в степени всегда нечетное, а четное число в степени всегда четное.

В любом примитивном решении ( x ,  y ,  z ) уравнения x ⁿ  +   y ⁿ  =  z ⁿ одно число четное, а два других нечетные. Все они не могут быть равными, иначе они не были бы взаимно простыми; их всех можно было разделить на двоих. Однако все они не могут быть нечетными, поскольку сумма двух нечетных чисел x ⁿ  +  y ⁿ никогда не является нечетным числом z ⁿ . Следовательно, хотя бы одно число должно быть четным и хотя бы одно число должно быть нечетным. Отсюда следует, что третье число тоже нечетное, потому что сумма четного и нечетного числа сама по себе нечетная.

простые множители

Основная теорема арифметики состояний , что любое натуральное число может быть записано только один путь (однозначно) как произведение простых чисел. Например, 42 равно произведению простых чисел 2 × 3 × 7, и никакое другое произведение простых чисел не равно 42, за исключением тривиальных перестановок, таких как 7 × 3 × 2. Это уникальное свойство факторизации является основой, на которой строится большая часть теории чисел .

Одним из следствий этого уникального свойства факторизации является то, что если p- ^я степень числа равна произведению, например

х ^р = УФ

и если u и v взаимно просты (не имеют общих делителей), то u и v сами являются p- ^й степенью двух других чисел, u  =  r ^p и v  =  s ^p .

Однако, как описано ниже, в некоторых системах счисления нет уникальной факторизации. Этот факт привел к провалу общего доказательства Великой теоремы Ферма, проведенного Ламе в 1847 году.

Два случая

Со времен Софи Жермен Великая теорема Ферма была разделена на два случая, которые доказываются отдельно. Первый случай (случай I) - показать, что не существует примитивных решений ( x , y , z ) уравнения x ^p + y ^p = z ^p при условии, что p не делит произведение xyz . Второй случай (случай II) соответствует условию, что p действительно делит произведение xyz . Поскольку x , y и z попарно взаимно просты, p делит только одно из трех чисел.

п = 4

Сохранилось только одно математическое доказательство Ферма, в котором Ферма использует технику бесконечного спуска, чтобы показать, что площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами никогда не может равняться квадрату целого числа. Этот результат известен как теорема Ферма о прямоугольном треугольнике . Как показано ниже, его доказательство эквивалентно демонстрации того, что уравнение

х ⁴ - у ⁴ = г ²

не имеет примитивных решений в целых числах (нет попарно взаимно простых решений). В свою очередь, этого достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма для случая n = 4, поскольку уравнение a ⁴ + b ⁴ = c ⁴ можно записать как c ⁴ - b ⁴ = ( a ² ) ² . Альтернативные доказательства случая n  = 4 были разработаны позже Френклем де Бесси, Эйлером, Кауслером, Барлоу, Лежандром, Шописом, Теркемом, Бертраном, Лебегом, Пепином, Тафельмахером, Гильбертом, Бендцем, Гамбиоли, Кронекером, Бангом, Соммером, Боттари, Рычлик, Нутцхорн, Кармайкл, Хэнкок, Вринчану, Грант и Перелла, Барбара и Долан. Для одного доказательства бесконечным спуском см. Бесконечный спуск # Неразрешимость r ² + s ⁴ = t ⁴ .

Приложение к прямоугольным треугольникам

Доказательство Ферма показывает, что ни один прямоугольный треугольник с целыми сторонами не может иметь площадь, равную квадрату. Пусть прямоугольный треугольник имеет стороны ( u , v , w ), площадь которых равнаУФ/2и, в силу теоремы Пифагора , U ² + v ² = ш ² . Если бы площадь была равна квадрату целого числа s

УФ/2= s ²

давая

2 УФ = 4 с ²

−2 uv = −4 с ² .

Добавление u ² + v ² = w ² к этим уравнениям дает

u ² + 2 uv + v ² = w ² + 4 s ²

u ² - 2 uv + v ² = w ² - 4 s ² ,

что может быть выражено как

( u + v ) ² = w ² + 4 s ²

( u - v ) ² = w ² - 4 s ² .

Умножение этих уравнений вместе дает

( u ² - v ² ) ² = w ⁴ - 2 ⁴ s ⁴ .

Но, как доказал Ферма, не может быть целочисленного решения уравнения

х ⁴ - у ⁴ = г ²

из которых это частный случай с z = ( u ² - v ² ), x = w и y = 2 s .

Первый шаг доказательства Ферма - разложить левую часть на множители

( Икс ² + Y ² ) ( Икс ² - Y ² ) = Z ²

Поскольку x и y взаимно просты (это можно предположить, потому что в противном случае множители можно было бы сократить), наибольший общий делитель x ² + y ² и x ² - y ² равен либо 2 (случай A), либо 1 (случай B). Теорема доказывается отдельно для этих двух случаев.

Доказательство для случая А

В этом случае и x, и y нечетные, а z четные. Поскольку ( y ² , z , x ² ) образуют примитивную пифагорову тройку, их можно записать

z = 2 de

у ² = d ² - е ²

х ² = d ² + е ²

где d и e взаимно просты и d > e > 0. Таким образом,

х ² у ² = д ⁴ - е ⁴

который дает другое решение ( d , e , xy ), которое меньше (0 < d < x ). Как и раньше, должна быть нижняя граница размера решений, в то время как этот аргумент всегда дает меньшее решение, чем любое заданное, и, таким образом, исходное решение невозможно.

Доказательство для случая B

В этом случае два фактора взаимно просты. Поскольку их произведение представляет собой квадрат z ² , каждый из них должен быть квадратом.

х ² + у ² = s ²

х ² - у ² = т ²

Числа s и t оба нечетные, так как s ² + t ² = 2 x ² , четное число, и поскольку x и y не могут быть четными одновременно. Следовательно, сумма и разность s и t также являются четными числами, поэтому мы определяем целые числа u и v как

и = ( s + t ) / 2

v = ( s - t ) / 2

Поскольку s и t взаимно просты, u и v также взаимно просты ; только один из них может быть четным. Поскольку y ² = 2 uv , ровно один из них четный. Для иллюстрации пусть u будет четным; тогда числа можно записать как u = 2 m ² и v = k ² . Поскольку ( u ,  v ,  x ) образуют примитивную пифагорову тройку

( s ² + t ² ) / 2 = u ² + v ² = x ²

они могут быть выражены через меньшие целые числа d и e, используя формулу Евклида

u = 2 de

v = d ² - e ²

х = d ² + е ²

Поскольку u = 2 m ² = 2 de и поскольку d и e взаимно просты, они сами должны быть квадратами, d = g ² и e = h ² . Это дает уравнение

v = d ² - e ² = g ⁴ - h ⁴ = k ²

Решение ( g , h , k ) является другим решением исходного уравнения, но меньшего размера (0 < g < d < x ). Применение той же процедуры к ( g , h , k ) даст другое решение, еще меньшего размера и т. Д. Но это невозможно, поскольку натуральные числа нельзя бесконечно сокращать. Следовательно, исходное решение ( x , y , z ) было невозможно.

п  = 3

Ферма послал письма, в которых он упомянул случай, когда n = 3 в 1636, 1640 и 1657 году. Эйлер послал письмо, в котором он представил доказательство случая, в котором n = 3, Гольдбаху 4 августа 1753 года. Эйлер имел полное и чистое элементарное доказательство в 1760. случай п  = 3 было доказано Эйлера в 1770 независимых доказательств были опубликованы несколько других математиков, в том числе Kausler, Лежандра , Calzolari, Ламе , Тэт , Гюнтер, Gambioli, Krey, Rychlík , Stockhaus, Кармайкл , ван дер Корпут , Туэ и Дуарте.

Хронологическая таблица доказательства n = 3

Дата	результат / доказательство	опубликовано / не опубликовано	Работа	имя
1621	никто	опубликовано	Латинская версия Диофант «S Arithmetica	Баше
около 1630 г.	только результат	не опубликовано	примечание на полях в Арифметике	Ферма
1636, 1640, 1657	только результат	опубликовано	буквы n = 3	Ферма
1670	только результат	опубликовано	примечание на полях в Арифметике	Сын Ферма Самуэль опубликовал « Арифметику» с примечанием Ферма.
4 августа 1753 г.	только результат	опубликовано	письмо к Гольдбаху	Эйлер
1760	доказательство	не опубликовано	полное и чистое элементарное доказательство	Эйлер
1770	доказательство	опубликовано	неполное, но элегантное доказательство в Elements of Algebra	Эйлер

Как и Ферма для случая n  = 4, Эйлер использовал технику бесконечного спуска . Доказательство предполагает решение ( x ,  y ,  z ) уравнения x ³ + y ³ + z ³ = 0, где три ненулевых целых числа x , y и z попарно взаимно просты и не все положительны. Один из трех должен быть четным, а два других - нечетными. Без ограничения общности z можно считать четным.

Поскольку x и y нечетные, они не могут быть равны. Если x  =  y , то 2 x ³  = - z ³ , откуда следует, что x четно; противоречие.

Поскольку x и y нечетные, их сумма и разность - четные числа.

2 и = х + у

2 v = х - у

где ненулевые целые числа u и v взаимно просты и имеют разную четность (одно четное, другое нечетное). Поскольку x  =  u  +  v и y  =  u  -  v , отсюда следует, что

- z ³ = ( u + v ) ³ + ( u - v ) ³ = 2 u ( u ² + 3 v ² )

Поскольку u и v имеют противоположную четность, u ² + 3 v ² всегда является нечетным числом. Следовательно, поскольку z четно, u четно, а v нечетно. Поскольку u и v взаимно просты, наибольший общий делитель 2 u и u ² + 3 v ² равен либо 1 (случай A), либо 3 (случай B).

Доказательство для случая А

В этом случае два множителя - z ³ взаимно просты. Это означает, что три не делит u и что два множителя представляют собой кубы двух меньших чисел, r и s.

2 и = г ³

и ² + 3 v ² = s ³

Поскольку u ² + 3 v ² нечетно, s тоже . Важная лемма показывает, что если s нечетно и удовлетворяет уравнению s ³ = u ² + 3 v ² , то его можно записать в терминах двух целых чисел e и f

s = e ² + 3 f ²

так что

u = e ( e ² - 9 f ² )

v = 3 f ( e ² - f ² )

u и v взаимно просты, поэтому e и f также должны быть взаимно просты. Поскольку u четно, а v нечетно, e четно, а f нечетно. С

r ³ = 2 u = 2 e ( e - 3 f ) ( e + 3 f )

Множители 2 e , ( e –3 f ) и ( e +3 f ) взаимно просты, поскольку 3 не может делить e : если бы e делилось на 3, то 3 делило бы u , нарушая обозначение u и v как взаимно простых. Поскольку три множителя в правой части взаимно просты, они должны по отдельности равняться кубам меньших целых чисел.

−2 e = k ³

е - 3 ж = l ³

е + 3 ж = м ³

что дает меньшее решение k ³ + l ³ + m ³ = 0. Следовательно, по аргументу бесконечного спуска исходное решение ( x ,  y ,  z ) было невозможно.

Доказательство для случая B

В этом случае наибольший общий делитель 2 u и u ² + 3 v ² равен 3. Это означает, что 3 делит u , и можно выразить u  = 3 w через меньшее целое число w . Так как u делится на 4, то и w делится ; следовательно, w также четно. Поскольку u и v взаимно просты, v и w взаимно просты . Следовательно, ни 3, ни 4 не делят v .

Подставляя u на w в уравнение для z ^3, получаем

- z ³ = 6 весов (9 весов ² + 3 v ² ) = 18 весов (3 весов ² + v ² )

Поскольку v и w взаимно просты и 3 не делит v , то 18 w и 3 w ²  +  v ² также взаимно просты. Следовательно, поскольку их продукт является кубом, каждый из них является кубом меньших целых чисел, r и s.

18 Вт = г ³

3 вес ² + v ² = s ³

По лемме выше, поскольку s нечетно и его куб равен числу в форме 3 w ² + v ² , его также можно выразить через меньшие взаимно простые числа e и f .

s = e ² + 3 f ²

Краткий расчет показывает, что

v = e ( e ² - 9 f ² )

w = 3 f ( e ² - f ² )

Таким образом, e нечетно, а f четно, потому что v нечетно. Тогда выражение для 18 w принимает вид

r ³ = 18 w = 54 f ( e ² - f ² ) = 54 f ( e + f ) ( e - f ) = 3 ³ × 2 f ( e + f ) ( e - f ).

Поскольку 3 ³ делит r ^3, мы получаем, что 3 делит r , поэтому ( r / 3) ³ является целым числом, равным 2 f ( e + f ) ( e - f ). Поскольку e и f взаимно просты, то же самое можно сказать о трех множителях 2 f , e + f и e - f ; следовательно, каждый из них является кубом меньших целых чисел, k , l и m .

−2 f = k ³

е + е = l ³

е - е = м ³

что дает меньшее решение k ³ + l ³ + m ³ = 0. Следовательно, по аргументу бесконечного спуска исходное решение ( x ,  y ,  z ) было невозможно.

п  = 5

Последняя теорема Ферма для n  = 5 утверждает, что никакие три взаимно простых целых числа x , y и z не могут удовлетворять уравнению

х ⁵ + у ⁵ + г ⁵ = 0

Это было доказано ни самостоятельно , ни совместно с Дирихле и Лежандра около 1825. Альтернативные доказательства были разработаны Гаусс , Лебегом , Ламэ , Gambioli, Werebrusow, Rychlik , ван - дер - Корпута и Terjanian .

Доказательство Дирихле для n  = 5 разделено на два случая (случаи I и II), определенные Софи Жермен . В случае I показатель 5 не делит произведение xyz . В случае II 5 делит xyz .

1. Случай I для n  = 5 может быть немедленно доказан теоремой Софи Жермен (1823), если вспомогательное простое число θ = 11.
2. Случай II разделен на два случая (случаи II (i) и II (ii)) Дирихле в 1825 году. Случай II (i) - это случай, когда одно из x, y, z делится на 5 и 2. Случай II (ii) - это случай, когда одно из x, y, z делится на 5, а другое из x, y, z делится на 2. В июле 1825 года Дирихле доказал случай II (i) для n  = 5. В сентябре 1825 г. Лежандр доказал случай II (ii) для n  = 5. После доказательства Лежандра Дирихле завершил доказательство для случая II (ii) для n  = 5 расширенными рассуждениями для случая II (i).

Хронологическая таблица доказательства n = 5

Дата	случай I / II	дело II (i / ii)	имя
1823 г.	случай I		Софи Жермен
Июль 1825 г.	случай II	дело II (i)	Дирихле
Сентябрь 1825 г.		дело II (ii)	Legendre
после сентября 1825 г.			Дирихле

Доказательство для случая А

Случай A для n  = 5 может быть немедленно доказан теоремой Софи Жермен, если вспомогательное простое число θ = 11. Более методическое доказательство состоит в следующем. По малой теоремы Ферма ,

х ⁵ ≡ х (мод 5)

y ⁵ ≡ y (mod 5)

z ⁵ ≡ z (mod 5)

и поэтому

x + y + z ≡ 0 (модуль 5)

Это уравнение заставляет два из трех чисел x , y и z быть эквивалентными по модулю 5, что можно увидеть следующим образом: поскольку они неделимы на 5, x , y и z не могут равняться 0 по модулю 5 и должны равняться одному из четыре возможности: ± 1 или ± 2. Если бы все они были разными, два были бы противоположностями, и их сумма по модулю 5 была бы равна нулю (что подразумевает вопреки предположению этого случая, что другой будет 0 по модулю 5).

Без ограничения общности, x и y можно обозначить как два эквивалентных числа по модулю 5. Из этой эквивалентности следует, что

x ⁵ ≡ y ⁵ (mod 25) (обратите внимание на изменение по модулю)

- z ⁵ ≡ x ⁵ + y ⁵ ≡ 2 x ⁵ (модуль 25)

Однако из уравнения x ≡ y (mod 5) также следует, что

- z ≡ x + y ≡ 2 x (мод. 5)

- z ⁵ ≡ 2 ⁵ x ⁵ ≡ 32 x ⁵ (мод 25)

Объединение двух результатов и деление обеих частей на x ⁵ приводит к противоречию.

2 ≡ 32 (мод. 25)

Таким образом, случай A для n  = 5 доказан.

Доказательство для случая B

п  = 7

Случай n  = 7 был доказан Габриэлем Ламе в 1839 году. Его довольно сложное доказательство было упрощено в 1840 году Виктором-Амеде Лебегом , а еще более простые доказательства были опубликованы Анджело Дженокки в 1864, 1874 и 1876 годах. Альтернативные доказательства были разработаны Теофилем Пепеном. и Эдмон Майе.

n  = 6, 10 и 14

Последняя теорема Ферма также была доказана для показателей n  = 6, 10 и 14. Доказательства для n  = 6 были опубликованы Кауслером, Туэ , Тафельмахером, Линдом, Капферером, Свифтом и Бреушем. Аналогичным образом, Дирихле и Терджанян доказали случай n  = 14, а Капферер и Бреуш доказали случай n  = 10. Строго говоря, в этих доказательствах нет необходимости, поскольку эти случаи следуют из доказательств для n  = 3, 5 и 7, соответственно. Тем не менее, рассуждение этих доказательств четной экспоненты отличается от их аналогов для нечетной экспоненты. Доказательство Дирихле для n  = 14 было опубликовано в 1832 году, до доказательства Ламе 1839 года для n  = 7.

Примечания

использованная литература

• Акзель, Амир (1996-09-30). Последняя теорема Ферма: раскрытие секрета древней математической проблемы . Четыре стены восемь окон. ISBN 978-1-56858-077-7.
• Диксон Л. Е. (1919). История теории чисел . Том II. Диофантов анализ . Нью-Йорк: Chelsea Publishing. С. 545–550, 615–621, 731–776.
  • Диксон, Л. Е. (2005) [1920], История теории чисел. Vol. II: Диофантовый анализ , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-44233-4, MR  0245500
• Эдвардс, HM (2008-05-23). Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для выпускников по математике. 50 (3-е изд. 2000 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0.
• Морделл LJ (1921). Три лекции о Великой теореме Ферма . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Рибенбойм П (2000). Последняя теорема Ферма для любителей . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4.
• Сингх С. (октябрь 1998 г.). Загадка Ферма . Нью-Йорк: якорные книги. ISBN 978-0-385-49362-8.
• Старк Х (1978). Введение в теорию чисел . MIT Press. ISBN 0-262-69060-8.

дальнейшее чтение

• Белл, Эрик Т. (1998-08-06) [1961]. Последняя проблема . Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-451-8.
• Бенсон, Дональд К. (2001-04-05). Момент доказательства: математические прозрения . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-513919-8.
• Бергманн, Г. (1966), "Über Eulers Beweis des großen Fermatschen Satzes für den Exponenten 3". , Mathematische Annalen , Спрингер , 164 (2): 159-175, DOI : 10.1007 / BF01429054 , Zbl  +0138,25101
• Бруднер, Харви Дж. (1994). Ферма и недостающие числа . WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3.
• Faltings G (июль 1995 г.). "Доказательство Великой теоремы Ферма Р. Тейлором и А. Уайлсом" (PDF) . Уведомления AMS . 42 (7): 743–746. ISSN  0002-9920 .
• Эйлер, Л. (1822), Элементы алгебры (3-е изд.), Лондон: Лонгман, стр. 399, 401–402
• Моззочи, Чарльз (2000-12-07). Дневник Ферма . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2670-6.
• Рибенбойм П. (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90432-0.
• ван дер Поортен, Альф (1996-03-06). Заметки о Великой теореме Ферма . WileyBlackwell. ISBN 978-0-471-06261-5.

внешние ссылки

• Элкис, Ноам Д. «Таблицы« близких ошибок »Ферма - приближенные решения x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ » .
• Фриман, Ларри (2005). «Блог о Великой теореме Ферма» . Блог, посвященный истории Великой теоремы Ферма от Пьера Ферма до Эндрю Уайлса.
• Рибет, Кен (1995). «Представления Галуа и модульные формы» (PDF) . Обсуждает различный материал, связанный с доказательством Великой теоремы Ферма: эллиптические кривые, модулярные формы, представления Галуа и их деформации, конструкцию Фрея и гипотезы Серра и Таниямы-Шимуры.
• Шей, Дэвид (2003). «Последняя теорема Ферма» . Архивировано из оригинала на 2012-02-27 . Проверено 5 августа 2004 . Рассказ, история и загадка.
• «Путеводитель блефующих к Великой теореме Ферма» .
• Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма» . MathWorld .
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), последняя теорема Ферма , MacTutor History of Mathematical Top, заархивировано из оригинала 16 января 2013 г. , извлечено 2 июня 2009 г.- Университет Сент-Эндрюс .
• «Доказательство» . В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма.
• «Вся история» . Отредактированная версия эссе на 2000 слов, опубликованного в журнале Prometheus, описывающего успешное путешествие Эндрю Уайлса.
• «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)» . Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает захватывающую и эмоциональную историю Эндрю Уайлса.
• «Последняя теорема Ферма» . Подкаст BBC Мелвина Брэгга и нескольких выдающихся математиков