Произведение групповых подмножеств - Product of group subsets

В математике можно естественным образом определить произведение групповых подмножеств . Если S и Т являются подмножествами из в группе G , то их произведение подмножество G определяется

Подмножества S и T не обязательно должны быть подгруппами, чтобы этот продукт был корректно определен. Ассоциативность этого продукта следует из что группы продуктов. Поэтому продукт группы подмножеств определяет естественное моноидное структуру на множестве мощности из G .

В случае, когда S и T - подгруппы, можно сказать гораздо больше . Произведение двух подгрупп S и T группы G само является подгруппой G тогда и только тогда, когда ST = TS .

Продукт подгрупп

Если S и T являются подгруппами G , их продукт не обязательно должен быть подгруппой (например, две различные подгруппы порядка 2 в симметрической группе из 3 символов). Этот продукт иногда называют продуктом Фробениуса . В общем, произведение двух подгрупп S и T является подгруппой тогда и только тогда, когда ST = TS , и две подгруппы называются перестановочными . ( Walter Ледерманн назвал этот факт, теоремой о продукте , но это название, так же , как «фробениусового продукт» никоим образом не стандарт.) В этом случае, ST является группа генерируется с помощью S и T ; то есть, ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩.

Если какой- либо S или Т является нормальным , то условие ST = TS удовлетворяется , и продукт является подгруппой. Если и S, и T в норме, значит и продукт в норме.

Если S и T - конечные подгруппы группы G , то ST - подмножество G размера | ST | дается формулой продукта :

Обратите внимание, что это применимо, даже если ни S, ни T не являются нормальными.

Модульное право

Следующий модулярный закон (для групп) выполняется для любой Q подгруппы группы S , где T любая другая произвольная подгруппа (и обе группы S и T являются подгруппами некоторой группы G ):

Q ( S ∩ T ) = S ∩ ( QT ).

Два продукта, фигурирующие в этом равенстве, не обязательно являются подгруппами.

Если интервала QT является подгруппой ( то же самое, как было отмечено выше, если Q и Т переставить) , то интервала QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ Т ; т.е. интервал QT является объединить из Q и Т в решетке подгрупп из G , и модульный закон для такой пары также может быть записан в виде Q ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ Т ), которая является уравнение , которое определяет модульную решетку , если она имеет место для любых трех элементов решетки с Q ≤ S . В частности, поскольку нормальные подгруппы переставляются друг с другом, они образуют модульную подрешетку .

Группа, в которой каждая подгруппа переставляет, называется группой Ивасавы . Решетка подгрупп группы Ивасавы, таким образом, является модулярной решеткой, поэтому эти группы иногда называют модулярными группами (хотя этот последний термин может иметь другие значения).

Предположение модулярного закона для групп (сформулированное выше) о том, что Q является подгруппой группы S , существенно. Если Q является не подгруппой S , то предварительное, более общее распределительное свойство , что можно считать S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q ) ( S ∩ T ) является ложным .

Произведение подгрупп с тривиальным пересечением

В частности, если S и Т пересекается только в идентичности, то каждый элемент ST имеет уникальное выражение в виде произведения я с й в S и T в T . Если S и T также коммутируют, то ST является группой и называется произведением Заппы – Сепа . Еще дальше, если S или Т является нормальным в ST , то ST совпадает с полупрямому продукта из S и T . И, наконец, если оба S и Т являются нормальными в ST , то ST совпадает с прямым произведением из S и T .

Если S и T - подгруппы, пересечение которых является тривиальной подгруппой (единичным элементом) и дополнительно ST = G , то S называется дополнением к T и наоборот.

Из-за (локально однозначного) злоупотребления терминологией две подгруппы, которые пересекаются только на (в противном случае обязательном) тождестве, иногда называют непересекающимися .

Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением

Вопрос , который возникает в случае нетривиального пересечения между нормальной подгруппой N и подгруппой К является то , что структура фактора НК / N . Хотя один может возникнуть соблазн просто «отменить из» N и сказать ответ K , что не является правильным , так как гомоморфизм с ядром N также будет «коллапс» (карта 1) все элементы K , которые оказались в N . Таким образом, правильный ответ состоит в том, что NK / N изоморфно K / ( N ∩ K ). Этот факт иногда называют второй теоремой об изоморфизме (хотя нумерация этих теорем имеет некоторые различия между авторами); она также была названа теоремой алмаза по I. Martin Айзекс из - за форму подгруппы решетки участвует, а также называется правилом параллелограмма на Paul Moritz Кон , который , таким образом , подчеркнул аналогию с правилом параллелограмма для векторов , так как в результате подгруппе решетки две стороны, которые, как предполагается, представляют фактор-группы ( SN ) /  N и S  / ( S  ∩  N ), «равны» в смысле изоморфизма.

Аргумент Фраттини гарантирует существование продукта подгрупп (порождающего всю группу) в случае, когда пересечение не обязательно тривиально (и по этой последней причине две подгруппы не являются дополнениями). Более конкретно, если G является конечной группой с нормальной подгруппой N , и если Р является Силов р -подгруппой из N , то G = N G ( P ) N , где N G ( P ) обозначает нормализатор из P в G . (Обратите внимание, что нормализатор P включает P , поэтому пересечение между N и N G ( P ) не меньше P. )

Обобщение на полугруппы

В полугруппе S произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на P (S), множество степеней полугруппы S; кроме того, P (S) - это полукольцо со сложением как объединением (подмножеств) и умножением как произведением подмножеств.

Смотрите также

Рекомендации

  • Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Springer-Verlag. ISBN   0-387-94285-8 .