Вентилятор расширения Прандтля – Мейера - Prandtl–Meyer expansion fan

Когда сверхзвуковой поток встречает выпуклый угол, он образует веер расширения, который состоит из бесконечного числа волн расширения с центром в углу. На рисунке показан один такой идеальный вентилятор расширения.

Сверхзвуковой вентилятор расширения, технически известный как вентилятор расширения Прандтля – Мейера , двумерная простая волна , представляет собой процесс центрированного расширения, который происходит, когда сверхзвуковой поток поворачивается вокруг выпуклого угла. Веер состоит из бесконечного числа волн Маха , расходящихся от острого угла. Когда поток поворачивается вокруг гладкого круглого угла, эти волны могут расширяться назад, чтобы встретиться в одной точке.

Каждая волна в расширительном вентиляторе постепенно (небольшими шагами) поворачивает поток. Прохождение потока через одиночную «ударную» волну физически невозможно, поскольку это нарушило бы второй закон термодинамики .

В расширительном вентиляторе поток ускоряется (увеличивается скорость), увеличивается число Маха , а статическое давление , температура и плотность уменьшаются. Поскольку процесс является изэнтропическим , свойства торможения (например, общее давление и общая температура) остаются постоянными для вентилятора.

Теория была описана Теодором Мейером в его диссертационной работе в 1908 году вместе с его научным руководителем Людвигом Прандтлем , который уже обсуждал проблему годом ранее.

Свойства потока

Вентилятор расширения состоит из бесконечного числа волн расширения или линий Маха . Первая линия Маха находится под углом по отношению к направлению потока, а последняя линия Маха находится под углом по отношению к конечному направлению потока. Поскольку поток поворачивается на малые углы и изменения в каждой волне расширения невелики, весь процесс изоэнтропичен. Это значительно упрощает расчет свойств текучести. Поскольку поток изоэнтропичен, свойства торможения, такие как давление торможения ( ), температура торможения ( ) и плотность застоя ( ), остаются постоянными. Конечные статические свойства являются функцией числа Маха конечного потока ( ) и могут быть связаны с начальными условиями потока следующим образом, где - коэффициент теплоемкости газа (1,4 для воздуха): ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {1}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} & = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) \\ [3pt] {\ frac {p_ {2} } {p_ {1}}} & = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma) -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \\ [3pt] {\ frac {\ rho _ {2} } {\ rho _ {1}}} & = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac { \ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}}. \ end {align}}}

Число Маха после поворота ( ) связано с начальным числом Маха ( ) и углом поворота ( ) соотношением ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta}$

{\ Displaystyle \ тета = \ ню (М_ {2}) - \ ню (М_ {1}) \,}

где, - функция Прандтля – Мейера . Эта функция определяет угол, на который должен повернуться звуковой поток ( M = 1), чтобы достичь определенного числа Маха (M). Математически, ${\ Displaystyle \ ню (М) \,}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nu (M) & = \ int {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\, dM} {M}} \\ & = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{ \ frac {\ gamma -1} {\ gamma +1}} \ left (M ^ {2} -1 \ right)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}. \\\ конец {выровнен}}}

Условно, ${\ Displaystyle \ Nu (1) = 0. \,}$

Таким образом, зная начальное число Маха ( ), можно вычислить и с помощью найти угол поворота . Из значения одного можно получить окончательное число Маха ( ) и другие свойства потока. ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ ню (M_ {1}) \,}$ ${\ Displaystyle \ ню (M_ {2}) \,}$ ${\ Displaystyle \ ню (M_ {2}) \,}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$

Максимальный угол поворота

Существует ограничение на максимальный угол ( ), на который может повернуться сверхзвуковой поток.

{\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}}}

Поскольку число Маха изменяется от 1 до , принимает значения от 0 до , где ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ Displaystyle \ ню \,}$ ${\ Displaystyle \ ню _ {\ текст {макс}} \,}$

{\ displaystyle \ nu _ {\ text {max}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left ({\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \верно).}

Это накладывает ограничение на то, сколько может пройти сверхзвуковой поток, с максимальным углом поворота, определяемым как

{\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}} = \ nu _ {\ text {max}} - \ nu (M_ {1}). \,}

Также можно посмотреть на это следующим образом. Поток должен повернуться, чтобы удовлетворить граничным условиям. В идеальном потоке существует два вида граничных условий, которым поток должен удовлетворять:

Граничное условие скорости, которое диктует, что составляющая скорости потока, нормальная к стенке, равна нулю. Это также известно как граничное условие непроникания.
Граничное условие давления, которое гласит, что не может быть скачка статического давления внутри потока (поскольку в потоке нет скачков уплотнения).

Если поток поворачивается настолько, что становится параллельным стене, нам не нужно беспокоиться о граничном условии давления. Однако по мере поворота потока его статическое давление уменьшается (как описано ранее). Если давление не будет достаточным для начала, поток не сможет завершить поворот и не будет параллелен стене. Это отображается как максимальный угол, на который может повернуться поток. Чем меньше число Маха, с которого должно начинаться (т.е. меньше ), тем больше максимальный угол, на который может повернуться поток. ${\ displaystyle M_ {1}}$

Линия тока, разделяющая конечное направление потока и стенку, известна как скользящий поток (показана пунктирной линией на рисунке). Поперек этой линии есть скачок температуры, плотности и тангенциальной составляющей скорости (нормальная составляющая равна нулю). За пределами скользящего потока поток является застойным (что автоматически удовлетворяет граничному условию скорости на стенке). В случае реального течения вместо сдвигового потока наблюдается сдвиговый слой из-за дополнительного граничного условия прилипания .

Заметки

^ ^а ^б

Процесс расширения за счет одного «скачка» невозможен, потому что он нарушит второй закон термодинамики.

Невозможность расширения потока за счет одной «ударной» волны: рассмотрим сценарий, показанный на рисунке рядом. При повороте сверхзвукового потока нормальная составляющая скорости увеличивается ( ), а тангенциальная составляющая остается постоянной ( ). Соответствующее изменение энтропии ( ) можно выразить следующим образом: ${\ displaystyle w_ {2}> w_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2} = v_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s = s_ {2} -s_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta s} {R}} & = \ ln \ left [\ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}} \ right] \\ & \ приблизительно {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left ({\ frac {p_ {2} -p_ {1 }} {p_ {1}}} \ right) ^ {3} \\ & \ приблизительно {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left [{\ frac {\ rho _ {1} w_ {1} ^ {2}} {p_ {1}}} \ left (1 - {\ frac {w_ {2}} {w_ {1}}} \ right) \ right] ^ {3} \ конец {выровнено}}}$

где - универсальная газовая постоянная, - отношение удельных теплоемкостей, - статическая плотность, - статическое давление, - энтропия, - составляющая скорости потока, нормальная к «скачку». Суффиксы «1» и «2» относятся к начальному и конечному условиям соответственно. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle w}$

Так как это будет означать то . Поскольку это невозможно, это означает, что невозможно повернуть поток через одиночную ударную волну. Аргумент может быть расширен, чтобы показать, что такой процесс расширения может происходить, только если мы рассматриваем поворот через бесконечное число волн расширения в пределе . Соответственно, процесс расширения - это изоэнтропический процесс . ${\ displaystyle w_ {2}> w_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s <0}$ ${\ displaystyle \ Delta s \ rightarrow 0}$
^ Мейер, Т. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Георга Августа, Геттинген. OCLC 77709738 .
Перейти ↑ Prandtl, L. (1907). "Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und Dämpfe". Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 8 : 23–30.Перепечатано в Riegels, FW, ed. (1961). Людвиг Прандтль Гезаммельте Абхандлунген . Берлин: Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_78 .
^

Для объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью ( ) при движении из точки A в B (расстояние u · t), возмущения, исходящие из точки A, распространяются на расстояние c · t. Соответствующий угол известен как угол Маха, а линии, охватывающие возмущенную область, известны как линии Маха (в двумерном случае) или конус Маха (в трехмерном случае). ${\ displaystyle u> c}$

Линии Маха (конус) и угол Маха:
Линии Маха - это понятие, обычно встречающееся в двумерных сверхзвуковых потоках (т.е. ). Они представляют собой пару ограничивающих линий, которые отделяют область возмущенного потока от невозмущенной части потока. Эти линии встречаются парами и ориентированы под углом. ${\ Displaystyle M \ geq 1}$

${\ displaystyle \ mu = \ arcsin \ left ({\ frac {c} {u}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M}} \ right)}$

относительно направления движения (также известного как угол Маха ). В случае трехмерного поля потока эти линии образуют поверхность, известную как конус Маха , с углом Маха как половину угла конуса.

Чтобы лучше понять концепцию, рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Мы знаем, что когда объект движется в потоке, он вызывает возмущения давления (которые распространяются со скоростью звука, также известной как волны Маха ). На рисунке показан объект, движущийся из точки A в B по линии AB со сверхзвуковой скоростью ( ). К тому времени, когда объект достигает точки B, возмущения давления из точки A прошли расстояние c · t и теперь находятся на окружности круга (с центром в точке A). Таких кругов бесконечно много с центром на линии AB, каждая из которых представляет местоположение возмущений, вызванных движением объекта. Линии, идущие наружу от точки B и касательные ко всем этим окружностям, известны как линии Маха. ${\ displaystyle u> c}$

Примечание: эти понятия имеют физический смысл только для сверхзвуковых потоков ( ). В случае дозвуковых потоков возмущения будут распространяться быстрее источника, и аргумент функции будет больше единицы. ${\ displaystyle u \ geq c}$ ${\ Displaystyle \ arcsin ()}$