Тангенциальная и нормальная составляющие - Tangential and normal components

Иллюстрация касательной и нормальной составляющих вектора к поверхности.

В математике , учитывая вектор в точке на кривой , этот вектор может быть разложен однозначно как сумма двух векторов, один касательный к кривой, называемый тангенциальным компонентом вектора, а другой перпендикулярный кривой, называемый нормальная составляющая вектора. Точно так же вектор в точке на поверхности может быть разбит таким же образом.

В более общем плане , учитывая подмногообразие N из в многообразии М , и вектор в касательном пространстве к М в точке N , она может быть разложена на компоненты касательной к N и компонент нормали к N .

Формальное определение

Поверхность

Более формально, пусть будет поверхностью и точкой на поверхности. Позвольте быть вектор в Тогда можно записать однозначно в виде суммы ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ parallel} + \ mathbf {v} _ {\ perp}}$

где первый вектор в сумме - это тангенциальная составляющая, а второй - нормальная составляющая. Отсюда сразу следует, что эти два вектора перпендикулярны друг другу.

Для того, чтобы вычислить тангенциальные и нормальные компоненты, рассмотрит блок нормального к поверхности, то есть единичный вектор перпендикулярно по Затем, ${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp} = (\ mathbf {v} \ cdot {\ hat {n}}) {\ hat {n}}}$

и поэтому

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ parallel} = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ perp}}$

где " " обозначает скалярное произведение . Другая формула для тангенциальной составляющей: ${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ parallel} = - {\ hat {n}} \ times ({\ hat {n}} \ times \ mathbf {v}),}$

где " " обозначает перекрестное произведение . ${\ displaystyle \ times}$

Обратите внимание, что эти формулы не зависят от конкретной используемой единичной нормали (существуют две единичные нормали к любой поверхности в данной точке, указывающие в противоположных направлениях, поэтому одна из единичных нормалей является отрицательной по отношению к другой). ${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$

Подмногообразие

В целом, учитывая Подмногообразие N из многообразия M и точки , мы получаем короткую точную последовательность вовлекая касательные пространства : ${\ displaystyle p \ in N}$

${\ displaystyle T_ {p} N \ to T_ {p} M \ to T_ {p} M / T_ {p} N}$

Фактор - пространство является обобщенным пространством нормальных векторов. ${\ displaystyle T_ {p} M / T_ {p} N}$

Если M - риманово многообразие , указанная выше последовательность расщепляется , и касательное пространство к M в точке p разлагается как прямая сумма компонента, касательного к N, и компонента, нормального к N :

${\ Displaystyle T_ {p} M = T_ {p} N \ oplus N_ {p} N: = (T_ {p} N) ^ {\ perp}}$

Таким образом, каждый касательный вектор разбивается как , где и . ${\ displaystyle v \ in T_ {p} M}$${\ Displaystyle v = v _ {\ parallel} + v _ {\ perp}}$${\ displaystyle v _ {\ parallel} \ in T_ {p} N}$${\ displaystyle v _ {\ perp} \ in N_ {p} N: = (T_ {p} N) ^ {\ perp}}$

Расчеты

Предположим, что N задано невырожденными уравнениями.

Если N задается явно через параметрические уравнения (например, параметрическая кривая ), то производная дает остовное множество для касательного пучка (оно является базисом тогда и только тогда, когда параметризация является погружением ).

Если N задано неявно (как в приведенном выше описании поверхности или, в более общем смысле, как гиперповерхность ) как набор уровня или пересечение поверхностей уровня для , то градиенты охватывают нормальное пространство. ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle g_ {i}}$

В обоих случаях мы снова можем вычислить, используя скалярное произведение; Однако крестное произведение является особенным для 3-х измерений.

Приложения

• Множители Лагранжа : критические точки с ограничениями - это точки , в которых тангенциальная составляющая полной производной обращается в нуль.
• Поверхность нормальная

использованная литература

• Рожанский, Владимир (1979). Электромагнитные поля и волны . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-63834-0.

• Бенджамин Кроуэлл (2003) Свет и материя. ( онлайн-версия ).