Псевдориманово многообразие - Pseudo-Riemannian manifold

Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Явления Проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационные волны Перетаскивание кадра Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Мост Эйнштейна – Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Формализмы ADM БССН Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль-Льюис-Папапетру
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В дифференциальной геометрии , А псевдориманово многообразие , также называется пол-риманов многообразие , является дифференцируемым многообразием с метрическим тензором , всюду невырожденные . Это обобщение риманова многообразия, в котором ослаблено требование положительной определенности .

Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .

Частным случаем, используемым в общей теории относительности, является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы могут быть классифицированы как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .

Вступление

Коллекторы

В дифференциальной геометрии , A дифференцируемое многообразие является пространством , которое локально похож на евклидовом пространстве . В n- мерном евклидовом пространстве любую точку можно указать n действительными числами. Они называются координатами точки.

П - мерное дифференцируемое многообразие представляет собой обобщение п - мерное евклидово пространство. В коллекторе возможно только локальное определение координат . Это достигается путем определения координатных фрагментов : подмножеств многообразия, которые могут быть отображены в n- мерное евклидово пространство.

Дополнительные сведения см. В разделах «Коллектор , Дифференцируемый коллектор , Координатный патч» .

Касательные пространства и метрические тензоры

С каждой точкой в качестве n - мерного дифференцируемого многообразия является касательным пространством (обозначается ). Это -мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$

Метрический тензор является невырожденным , гладким, симметричным, билинейной карта , которая присваивает вещественное число для пар касательных векторов на каждом касательном пространстве многообразия. Обозначив метрический тензор, мы можем выразить это как ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g: T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to \ mathbb {R}.}$

Отображение симметрично и билинейно, поэтому, если касательные векторы в точке к многообразию, то мы имеем ${\ displaystyle X, Y, Z \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$

• ${\ Displaystyle \, г (Х, Y) = г (Y, X)}$
• ${\ Displaystyle \, г (aX + Y, Z) = ag (X, Z) + g (Y, Z)}$

для любого реального числа . ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$

То есть невырожденное означает, что не существует ненулевых таких, что для всех . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X \ in T_ {p} M}$${\ Displaystyle \, г (X, Y) = 0}$${\ displaystyle Y \ in T_ {p} M}$

Подписи показателей

Для данного метрического тензора g на n- мерном вещественном многообразии квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ), связанная с метрическим тензором, примененным к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n действительных значений. Согласно закону инерции Сильвестра , количество каждого положительного, отрицательного и нулевого значений, полученных таким образом, является инвариантом метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Подписи ( р , д , г ) метрического тензора дает эти цифры, приведенные в том же порядке. Невырожденный метрический тензор имеет r = 0, и сигнатуру можно обозначить ( p , q ), где p + q = n .

Определение

Псевдориманово многообразием является дифференцируемым многообразием оборудованы всюду невырожденным, гладким, симметричным метрическим тензором . ${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g}$

Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики - ( p ,  q ) , где p и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью означает, что p и q остаются неизменными на всем многообразии (при условии, что оно связно).

Лоренцево многообразие

Лоренцево многообразие является важным частным случаем псевдориманова многообразия , в котором подпись метрики является (1,  п -1) (эквивалентно, ( п -1, 1) , см Знак конвенции ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .

Основная предпосылка общей теории относительности состоит в том, что пространство-время можно моделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что то же самое, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на времениподобные , нулевые или пространственноподобные . Имея сигнатуру ( p , 1) или (1,  q ) , многообразие также является локально (и, возможно, глобально) ориентированным во времени (см. Причинную структуру ).

Свойства псевдоримановых многообразий

Подобно тому, как евклидово пространство можно рассматривать как модельное риманово многообразие , пространство Минковского с плоской метрикой Минковского является модельным лоренцевым многообразием. Аналогичным образом модельное пространство псевдориманова многообразия сигнатуры ( p ,  q ) имеет метрику ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1,1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q}}$

${\ displaystyle g = dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {p} ^ {2} -dx_ {p + 1} ^ {2} - \ cdots -dx_ {p + q} ^ {2} }$

Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии верна и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивиты на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии есть много теорем, которые не верны в обобщенном случае. Например, это не верно , что всякое гладкое многообразие допускает псевдориманово метрику данной подписи; есть определенные топологические препятствия. Более того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в ноль на любой светоподобной кривой . Клифтон-Поль тор представляет собой пример псевдориманова многообразия, компактно , но не полные, сочетание свойств , что Хопфа- Ринова теорема запрещает для риманова многообразия.

Смотрите также

• Условия причинности
• Глобально гиперболическое многообразие
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Ориентируемый коллектор
• Пространство-время

Заметки

Рекомендации

• Бенн, И.М.; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хильгер, ISBN 0-85274-169-3
• Бишоп, Ричард Л .; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ на многообразиях (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Чен, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, [дельта] -инварианты и приложения , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности , чистой и прикладной математике, 103 , Academic Press, ISBN 9780080570570
• Vrănceanu, G .; Рошка Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию , Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с лоренцевыми многообразиями на Викискладе?