Оптическая передаточная функция - Optical transfer function

Иллюстрация оптической передаточной функции (OTF) и ее связи с качеством изображения. Оптическая передаточная функция хорошо сфокусированной (а) и расфокусированной оптической системы визуализации без аберраций (г). Поскольку оптическая передаточная функция этих систем действительна и неотрицательна, оптическая передаточная функция по определению равна передаточной функции модуляции (ФПМ). Изображения точечного источника и мишени-спицы с высокой пространственной частотой показаны на (b, e) и (c, f) соответственно. Обратите внимание, что масштаб точечных исходных изображений (b, e) в четыре раза меньше, чем целевых изображений спиц.

Функция оптической передачи ( OTF ) оптической системы, такой как камера , микроскоп , человеческий глаз или проектор, определяет, как система обрабатывает различные пространственные частоты. Он используется инженерами-оптиками для описания того, как оптика проецирует свет от объекта или сцены на фотопленку, матрицу детекторов , сетчатку , экран или просто следующий элемент в цепи оптической передачи. Вариант, функция передачи модуляции ( MTF ), не учитывает фазовые эффекты, но во многих ситуациях эквивалентен OTF.

Любая передаточная функция определяет реакцию на периодическую синусоидальную волну , проходящую через систему линз, в зависимости от ее пространственной частоты или периода и ее ориентации. Формально ОПФ определяется как преобразование Фурье от функции рассеяния точки (ФРТ, то есть, импульсная характеристика оптики, изображение точечного источника). Как преобразование Фурье, OTF является комплексным; но он будет действительным в обычном случае PSF, симметричной относительно своего центра. MTF формально определяется как величина (абсолютное значение) сложной OTF.

На изображении справа показаны функции оптического переноса для двух разных оптических систем на панелях (а) и (г). Первый соответствует идеальной системе визуализации с ограничением дифракции и круглым зрачком . Его передаточная функция уменьшается приблизительно постепенно с пространственной частотой, пока не достигнет дифракционного предела, в данном случае 500 циклов на миллиметр или период 2 мкм. Поскольку эта система формирования изображений фиксирует периодические особенности, такие как этот период, можно сказать, что ее разрешение составляет 2 мкм. Панель (d) показывает оптическую систему, которая не в фокусе. Это приводит к резкому снижению контрастности по сравнению с системой визуализации с ограничением дифракции. Видно, что контраст равен нулю около 250 циклов / мм или периодов 4 мкм. Это объясняет, почему изображения для системы не в фокусе (e, f) более размыты, чем изображения для системы с дифракционным ограничением (b, c). Обратите внимание, что хотя расфокусированная система имеет очень низкий контраст на пространственных частотах около 250 циклов / мм, контраст на пространственных частотах около дифракционного предела 500 циклов / мм ограничен дифракцией. Внимательное рассмотрение изображения на панели (f) показывает, что структура спиц относительно резкая для большой плотности спиц вблизи центра мишени спицы .

Определение и связанные с ним понятия

Поскольку оптическая передаточная функция (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки (PSF), это, вообще говоря, комплекснозначная функция пространственной частоты . Проекция определенного периодического рисунка представлена ​​комплексным числом с абсолютным значением и сложным аргументом, пропорциональным относительному контрасту и перемещению проецируемой проекции, соответственно.

Различные тесно связанные характеристики оптической системы, демонстрирующие кому - типичную аберрацию, которая возникает вне оси. (а) Функция рассеяния точки (PSF) - это изображение точечного источника. (b) Изображение линии называется функцией растяжения линии, в данном случае вертикальной линией. Функция линейного расширения прямо пропорциональна вертикальной интеграции растянутого изображения. Функция оптической передачи (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки и, таким образом, обычно является двумерной комплексной функцией. Обычно показан только одномерный срез (c), соответствующий преобразованию Фурье функции линейного расширения. Толстая зеленая линия указывает действительную часть функции, а тонкая красная линия - мнимую часть. Часто отображается только абсолютное значение сложной функции, это позволяет визуализировать двумерную функцию (d); однако чаще показана только одномерная функция (e). Последняя обычно нормируется на нулевую пространственную частоту и называется передаточной функцией модуляции (ФПМ). Для полноты картины сложный аргумент иногда предоставляется как функция передачи фазы (PhTF), показанная на панели (f).

Часто наибольший интерес представляет снижение контрастности, и перевод рисунка можно игнорировать. Относительный контраст задается абсолютным значением оптической передаточной функции, функции, обычно называемой передаточной функцией модуляции ( ФПМ ). Его значения показывают, какая часть контраста объекта зафиксирована на изображении как функция пространственной частоты. MTF имеет тенденцию к уменьшению с увеличением пространственной частоты от 1 до 0 (на дифракционном пределе); однако функция часто не бывает монотонной . С другой стороны, когда также важна трансляция паттернов, комплексный аргумент оптической передаточной функции может быть изображен как вторая действительная функция, обычно называемая фазовой передаточной функцией ( PhTF ). Комплексную оптическую передаточную функцию можно рассматривать как комбинацию этих двух действительных функций:

${\ Displaystyle \ mathrm {OTF} (\ nu) = \ mathrm {MTF} (\ nu) е ^ {я \, \ mathrm {PhTF} (\ nu)}}$

куда

${\ Displaystyle \ mathrm {MTF} (\ nu) = \ left \ vert \ mathrm {OTF} (\ nu) \ right \ vert,}$

${\ Displaystyle \ mathrm {PhTF} (\ nu) = \ mathrm {arg} (\ mathrm {OTF} (\ nu)),}$

и представляет функцию комплексного аргумента, а - пространственную частоту периодического шаблона. В общем , это вектор с пространственной частотой для каждого измерения, то есть он также указывает направление периодического рисунка. ${\ Displaystyle \ mathrm {arg} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$

Импульсная характеристика хорошо сфокусированной оптической системы представляет собой трехмерное распределение интенсивности с максимумом в фокальной плоскости и, таким образом, может быть измерена путем записи стопки изображений при смещении детектора в осевом направлении. Следовательно, трехмерная оптическая передаточная функция может быть определена как трехмерное преобразование Фурье импульсной характеристики. Хотя обычно используется только одномерный, а иногда и двухмерный разрез, трехмерная оптическая передаточная функция может улучшить понимание микроскопов, таких как микроскоп со структурированным освещением.

Верный определению передаточной функции , должен указывать долю света, которая была обнаружена от объекта точечного источника. Однако, как правило, наиболее важен контраст по отношению к общему количеству детектируемого света. Таким образом, обычной практикой является нормализация оптической передаточной функции к обнаруженной интенсивности . ${\ Displaystyle \ mathrm {OTF} (0) = \ mathrm {MTF} (0)}$${\ Displaystyle \ mathrm {MTF} (0) \ эквив 1}$

Обычно оптическая передаточная функция зависит от таких факторов, как спектр и поляризация излучаемого света и положение точечного источника. Например, контраст и разрешение изображения обычно оптимальны в центре изображения и ухудшаются к краям поля зрения. Когда происходит значительное изменение, оптическая передаточная функция может быть вычислена для набора репрезентативных положений или цветов.

Иногда более практично определять передаточные функции на основе двоичного рисунка черно-белых полос. Передаточная функция для черно-белого периодического узора одинаковой ширины называется передаточной функцией контраста (CTF) .

Примеры

OTF идеальной системы линз

Идеальная система линз обеспечит высококонтрастную проекцию без смещения периодического рисунка, поэтому оптическая передаточная функция идентична передаточной функции модуляции. Обычно контраст постепенно снижается до нуля в точке, определяемой разрешением оптики. Например, идеальный, не-аберрирован , F / 4 оптическая система формирования изображения используется, на видимой длине волны 500 нм, будет иметь функцию оптической передачи , изображенной в правой фигуре.

Одномерная оптическая передаточная функция системы формирования изображений с ограничением дифракции идентична ее передаточной функции модуляции.

Обозначенная цель, отображаемая системой визуализации с ограничением дифракции.

Передаточная функция и пример изображения идеальной системы визуализации без оптических аберраций (с ограничением дифракции).

Это может быть считан из сюжета , что контраст постепенно снижается и достигает нуля на пространственной частоте 500 циклов на миллиметр, другими словами, оптическое разрешение проекции изображения составляет 1/500 ^го миллиметра, или 2 мкм. Соответственно, для этого конкретного устройства формирования изображения спицы становятся все более и более размытыми по направлению к центру, пока не сливаются в серый неразрешенный диск. Обратите внимание, что иногда оптическая передаточная функция указывается в единицах измерения объекта или пространства образца, угла наблюдения, ширины пленки или нормирована на теоретический максимум. Преобразование между ними обычно происходит путем умножения или деления. Например, микроскоп обычно увеличивает все в 10–100 раз, а зеркальная камера, как правило, уменьшает увеличение объектов на расстоянии 5 метров в 100–200 раз.

Разрешение устройства цифровой обработки изображений ограничено не только оптикой, но и количеством пикселей, в частности, расстоянием между ними. Как объясняется теоремой выборки Найквиста – Шеннона , чтобы соответствовать оптическому разрешению данного примера, пиксели каждого цветового канала должны быть разделены на 1 микрометр, что составляет половину периода в 500 циклов на миллиметр. Большее количество пикселей на датчике того же размера не позволит получить более мелкие детали. С другой стороны, когда расстояние между пикселями превышает 1 микрометр, разрешение будет ограничено расстоянием между пикселями; кроме того, наложение спектров может привести к дальнейшему снижению точности изображения.

OTF несовершенной линзовой системы

Неидеальная, аберрированная система формирования изображения может обладать функцией оптической передачи, изображенной на следующем рисунке.

Реальная часть оптической передаточной функции аберрированной несовершенной системы визуализации.

Функция передачи модуляции аберрированной, несовершенной системы визуализации.

Изображение спицы-мишени, полученное аберрированной оптической системой.

Передаточная функция и пример изображения оптической системы формирования изображений f / 4 на 500 нм со сферической аберрацией со стандартным коэффициентом Цернике 0,25.

В идеальной системе линз контраст достигает нуля при пространственной частоте 500 циклов на миллиметр. Однако на более низких пространственных частотах контраст значительно ниже, чем у совершенной системы в предыдущем примере. Фактически, контраст становится равным нулю в нескольких случаях даже для пространственных частот ниже 500 циклов на миллиметр. Это объясняет серые круглые полосы на изображении спиц, показанном на приведенном выше рисунке. Между серыми полосами спицы, кажется, меняют цвет с черного на белый и наоборот , это называется инверсией контраста, напрямую связано с изменением знака в реальной части оптической передаточной функции и представляет собой сдвиг на полпериода для некоторых периодических моделей.

Хотя можно утверждать, что разрешение как идеальной, так и несовершенной системы составляет 2 мкм или 500 LP / мм, очевидно, что изображения в последнем примере менее резкие. Определение разрешения, которое больше соответствует воспринимаемому качеству, вместо этого будет использовать пространственную частоту, на которой происходит первый ноль, 10 мкм или 100 LP / мм. Определения разрешения даже для идеальных систем визуализации сильно различаются. Более полную однозначную картину дает оптическая передаточная функция.

OTF оптической системы с не вращательной симметричной аберрацией

При просмотре через оптическую систему с аберрацией трилистника изображение точечного объекта будет выглядеть как трехконечная звезда (а). Поскольку функция рассеяния точки не является вращательно-симметричной, только двумерная оптическая передаточная функция может хорошо ее описать (b). Высота графика поверхности указывает абсолютное значение, а оттенок указывает сложный аргумент функции. Спица-мишень, отображаемая таким устройством формирования изображения, показана при моделировании в (c).

Оптические системы и, в частности, оптические аберрации не всегда осесимметричны. Таким образом, периодические узоры с разной ориентацией могут отображаться с разным контрастом, даже если их периодичность одинакова. Таким образом, оптическая передаточная функция или передаточные функции модуляции являются, как правило, двумерными функциями. На следующих рисунках показан двумерный эквивалент идеальной и несовершенной системы, обсуждавшейся ранее, для оптической системы с трилистником , не вращательно-симметричной аберрации.

Оптические передаточные функции не всегда являются действительными. Шаблоны периода могут быть сдвинуты на любую величину, в зависимости от аберрации в системе. Обычно это случается с неосимметричными аберрациями. Оттенок цветов участков поверхности на приведенном выше рисунке указывает фазу. Можно видеть, что в то время как для вращательно-симметричных аберраций фаза равна 0 или π и, таким образом, передаточная функция является действительной, для не вращательно-симметричной аберрации передаточная функция имеет мнимую составляющую, и фаза изменяется непрерывно.

Практический пример - видеосистема высокого разрешения

В то время как оптическое разрешение , обычно используемое в отношении систем камер, описывает только количество пикселей в изображении и, следовательно, возможность показать мелкие детали, передаточная функция описывает способность соседних пикселей изменяться с черного на белый в ответ на паттерны различной пространственной частоты и, следовательно, фактическая способность отображать мелкие детали, будь то с полным или уменьшенным контрастом. Изображение, воспроизводимое с помощью функции оптической передачи, которая «скатывается» на высоких пространственных частотах, будет казаться «размытым» на повседневном языке.

Рассматривая пример современной видеосистемы высокой четкости (HD) с разрешением 1920 на 1080 пикселей, теорема Найквиста утверждает, что в идеальной системе должно быть возможно полностью разрешить (с истинными переходами от черного к белому) в общей сложности 1920 комбинированные черные и белые чередующиеся линии, иначе называемые пространственной частотой 1920/2 = 960 пар линий на ширину изображения, или 960 циклов на ширину изображения (определения в терминах циклов на единицу угла или на мм также возможны, но обычно менее четкий при работе с камерами и более подходящий для телескопов и т. д.). На практике это далеко не так, и пространственные частоты, которые приближаются к частоте Найквиста , обычно воспроизводятся с уменьшающейся амплитудой, так что мелкие детали, хотя их можно увидеть, значительно уменьшаются по контрасту. Это приводит к интересному наблюдению, что, например, телевизионное изображение стандартной четкости, полученное с пленочного сканера, который использует передискретизацию , как описано ниже, может казаться более резким, чем изображение высокой четкости, снятое камерой с плохой функцией передачи модуляции. Эти два изображения демонстрируют интересную разницу, которую часто упускают из виду, первая имеет полный контраст деталей до определенного момента, но затем не имеет действительно мелких деталей, в то время как вторая действительно содержит более мелкие детали, но с таким уменьшенным контрастом, что в целом выглядит хуже.

Трехмерная оптическая передаточная функция

Трехмерные функции рассеяния точки (a, c) и соответствующие функции передачи модуляции (b, d) широкоугольного микроскопа (a, b) и конфокального микроскопа (c, d). В обоих случаях числовая апертура объектива составляет 1,49, а показатель преломления среды 1,52. Предполагается, что длина волны излучаемого света составляет 600 нм, а в случае конфокального микроскопа длина волны возбуждающего света составляет 500 нм с круговой поляризацией. Раздел вырезается для визуализации внутреннего распределения интенсивности. Цвета, показанные на логарифмической цветовой шкале, указывают на освещенность (a, c) и спектральную плотность (b, d), нормированные на максимальное значение.

Хотя обычно изображение воспринимается как плоское или двухмерное, система формирования изображения будет производить трехмерное распределение интенсивности в пространстве изображения, которое в принципе можно измерить. например, двумерный датчик можно преобразовать для захвата трехмерного распределения интенсивности. Изображение точечного источника также представляет собой трехмерное (3D) распределение интенсивности, которое может быть представлено функцией трехмерного рассеяния точки. В качестве примера на рисунке справа показана функция трехмерного рассеяния точки в пространстве объекта широкоугольного микроскопа (а) наряду с функцией конфокального микроскопа (с). Хотя используется тот же объектив микроскопа с числовой апертурой 1,49, ясно, что функция рассеяния конфокальной точки более компактна как по боковым размерам (x, y), так и по осевым размерам (z). Можно справедливо заключить, что разрешение конфокального микроскопа превосходит разрешение широкоугольного микроскопа во всех трех измерениях.

Трехмерная оптическая передаточная функция может быть вычислена как трехмерное преобразование Фурье трехмерной функции рассеяния точки. Его величина с цветовой кодировкой показана на панелях (b) и (d), что соответствует функциям распределения точек, показанным на панелях (a) и (c), соответственно. Передаточная функция широкоугольного микроскопа имеет опору, которая вдвое меньше, чем у конфокального микроскопа во всех трех измерениях, что подтверждает ранее отмеченное более низкое разрешение широкопольного микроскопа. Обратите внимание, что вдоль оси z при x  =  y  = 0 передаточная функция равна нулю везде, кроме начала координат. Это отсутствие конус проблема хорошо известно , что предотвращает оптическое секционирование с использованием широкого поля микроскопа.

Двумерная оптическая передаточная функция в фокальной плоскости может быть рассчитана путем интегрирования трехмерной оптической передаточной функции по оси z . Несмотря на то, передаточная функция 3D в широком поле микроскопа (б) равна нулю на г ось для г  ≠ 0; ее интеграл, двумерная оптическая передача, достигающая максимума при x  =  y  = 0. Это возможно только потому, что трехмерная оптическая передаточная функция расходится в начале координат x  =  y  =  z  = 0. Значения функции вдоль оси z оси Трехмерная оптическая передаточная функция соответствует дельта-функции Дирака .

Расчет

Большая часть программного обеспечения для проектирования оптики имеет функции для вычисления оптической или модуляционной передаточной функции конструкции линзы. Идеальные системы, такие как в примерах здесь, легко вычисляются численно с использованием программного обеспечения, такого как Julia , GNU Octave или Matlab , а в некоторых конкретных случаях даже аналитически. Оптическую передаточную функцию можно рассчитать двумя способами:

1. как преобразование Фурье некогерентной функции рассеяния точки , или
2. как автокорреляция функции зрачка оптической системы

Математически оба подхода эквивалентны. Числовые вычисления обычно наиболее эффективно выполняются с помощью преобразования Фурье; однако аналитический расчет может быть более управляемым при использовании подхода автокорреляции.

Пример

Идеальная система линз с круглой апертурой

Автокорреляция функции зрачка

Так как функция оптической передачи является преобразованием Фурье от функции рассеяния точки , а функция рассеяния точки представляет собой квадрат абсолютного значения обратного преобразования Фурьх функций зрачка , функция оптической передачи также может быть вычислена непосредственно из функции зрачка . Из теоремы свертки можно видеть , что функция оптической передачи является фактически автокорреляцией в функции зрачка .

Функция зрачка идеальной оптической системы с круглой апертурой - это диск единичного радиуса. Таким образом, оптическая передаточная функция такой системы может быть вычислена геометрически из области пересечения двух идентичных дисков на расстоянии , где - пространственная частота, нормированная на наивысшую передаваемую частоту. Обычно оптическая передаточная функция нормализуется до максимального значения, равного единице , поэтому полученную площадь следует разделить на . ${\ displaystyle 2 \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu = 0}$${\ displaystyle \ pi}$

Площадь пересечения можно рассчитать как сумму площадей двух одинаковых круговых сегментов :, где - угол сегмента круга. Подставляя и используя равенства и , уравнение для площади можно переписать как . Следовательно, нормализованная оптическая передаточная функция определяется выражением: ${\ Displaystyle \ тета / 2- \ грех (\ тета) / 2}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle | \ ню | = \ соз (\ тета / 2)}$${\ Displaystyle \ грех (\ тета) / 2 = \ грех (\ тета / 2) \ соз (\ тета / 2)}$${\ Displaystyle 1 = \ ню ^ {2} + \ грех (\ arccos (| \ ню |)) ^ {2}}$${\ Displaystyle \ arccos (| \ ню |) - | \ ню | {\ sqrt {1- \ ню ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {OTF} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left (\ arccos (| \ nu |) - | \ nu | {\ sqrt {1- \ nu ^ { 2}}} \ right).}$

Более подробное обсуждение можно найти в и.

Числовая оценка

Одномерная оптическая передаточная функция может быть вычислена как дискретное преобразование Фурье функции рассеяния линии. Эти данные отображаются на графике в сравнении с данными пространственной частоты . В этом случае полином шестого порядка подбирается к кривой зависимости MTF от пространственной частоты, чтобы показать тенденцию. Частота среза 50% определяется для получения соответствующей пространственной частоты. Таким образом, по этим данным определяется примерное положение наилучшего фокуса тестируемого устройства.

Данные MTF по отношению к пространственной частоте нормализуются путем подгонки к ним полинома шестого порядка, образуя плавную кривую. Определяется 50% частота среза и определяется соответствующая пространственная частота , что дает приблизительное положение наилучшего фокуса .

Преобразование Фурье функции рассеяния линии (LSF) не может быть определено аналитически с помощью следующих уравнений:

${\ displaystyle \ operatorname {MTF} = {\ mathcal {F}} \ left [\ operatorname {LSF} \ right] \ qquad \ qquad \ operatorname {MTF} = \ int f (x) e ^ {- i2 \ pi \, xs} \, dx}$

Следовательно, преобразование Фурье численно аппроксимируется с помощью дискретного преобразования Фурье . ${\ displaystyle {\ mathcal {DFT}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {MTF} = {\ mathcal {DFT}} [\ operatorname {LSF}] = Y_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} y_ {n} e ^ { -ik {\ frac {2 \ pi} {N}} n} \ qquad k \ in [0, N-1]}$

куда

• ${\ displaystyle Y_ {k} \,}$= значение MTF${\ Displaystyle к ^ {\ текст {th}}}$
• ${\ Displaystyle N \,}$ = количество точек данных
• ${\ Displaystyle п \,}$ = индекс
• ${\ Displaystyle к \,}$= член данных LSF${\ Displaystyle к ^ {\ текст {th}}}$
• ${\ Displaystyle у_ {п} \,}$= положение в пикселях${\ Displaystyle п ^ {\ текст {th}} \,}$
• ${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

${\ Displaystyle е ^ {\ pm ia} = \ соз (а) \, \ pm \, я \ грех (а)}$

${\ displaystyle \ operatorname {MTF} = {\ mathcal {DFT}} [\ operatorname {LSF}] = Y_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} y_ {n} \ left [ \ cos \ left (k {\ frac {2 \ pi} {N}} n \ right) -i \ sin \ left (k {\ frac {2 \ pi} {N}} n \ right) \ right] \ qquad k \ in [0, N-1]}$

Затем MTF наносится на график в зависимости от пространственной частоты, и все соответствующие данные, относящиеся к этому тесту, могут быть определены на этом графике.

Векторная передаточная функция

При высоких числовых апертурах, например, в микроскопии, важно учитывать векторную природу полей, переносящих свет. Разложив волны на три независимых компонента, соответствующих декартовым осям, можно вычислить функцию рассеяния точки для каждого компонента и объединить ее в векторную функцию рассеяния точки. Аналогичным образом можно определить векторную оптическую передаточную функцию, как показано на () и ().

Измерение

Оптическая передаточная функция полезна не только для проектирования оптических систем, но и для характеристики производимых систем.

Начиная с функции распределения точки

Функция оптической передачи определяется как преобразование Фурье от импульсной характеристики оптической системы, которая также называется функцией рассеяния точки . Таким образом, оптическую передаточную функцию легко получить, сначала получая изображение точечного источника, и применяя двумерное дискретное преобразование Фурье к дискретизированному изображению. Таким точечным источником может быть, например, яркий свет за экраном с точечным отверстием, флуоресцентная или металлическая микросфера или просто точка, нарисованная на экране. Расчет оптической передаточной функции с помощью функции рассеяния точки является универсальным, поскольку он может полностью охарактеризовать оптику с пространственными изменяющимися и хроматическими аберрациями, повторяя процедуру для различных положений и спектров длин волн точечного источника.

Использование расширенных тестовых объектов для пространственно-инвариантной оптики

Когда можно предположить, что аберрации пространственно инвариантны, можно использовать альтернативные шаблоны для определения оптической передаточной функции, например линий и краев. Соответствующие передаточные функции называются функцией расширения строки и функцией расширения границы соответственно. Такие протяженные объекты освещают больше пикселей на изображении и могут повысить точность измерения за счет большего отношения сигнал / шум. Оптическая передаточная функция в этом случае вычисляется как двумерное дискретное преобразование Фурье изображения и делится на преобразование протяженного объекта. Обычно используется либо линия, либо черно-белый край.

Функция линейного расширения

Двумерное преобразование Фурье линии, проходящей через начало координат, представляет собой прямую, ортогональную ей и проходящую через начало координат. Таким образом, делитель равен нулю для всех измерений, кроме одного, следовательно, оптическая передаточная функция может быть определена только для одного измерения с использованием одной функции линейного рассеяния (LSF). При необходимости двумерную оптическую передаточную функцию можно определить путем повторения измерения с линиями под разными углами.

Функцию растяжения линии можно найти двумя разными способами. Его можно найти непосредственно из аппроксимации идеальной линии, обеспечиваемой щелевой тестовой мишенью, или его можно получить из функции расширения границ, обсуждаемой в следующем подразделе.

Функция разгибания кромки

Двумерное преобразование Фурье края также не равно нулю только на одной линии, ортогональной краю. Эту функцию иногда называют функцией расширения края (ESF). Однако значения в этой строке обратно пропорциональны расстоянию от начала координат. Хотя изображения измерений, полученные с помощью этого метода, освещают большую часть камеры, это в основном улучшает точность на низких пространственных частотах. Как и в случае с функцией рассеяния линии, каждое измерение определяет только одну ось оптической передаточной функции, поэтому необходимы повторные измерения, если оптическая система не может считаться осесимметричной.

При оценке ESF оператор определяет площадь прямоугольника, эквивалентную 10% от общей площади кадра остроконечной тестовой мишени, подсвеченной черным телом сзади . Область определяется так, чтобы охватить край целевого изображения.

Как показано на рисунке справа, оператор определяет область прямоугольника, охватывающую край острого изображения тестовой цели, подсвеченный черным телом сзади . Площадь прямоугольника составляет примерно 10% от общей площади кадра. Изображений пикселя данные переводятся в двумерный массив ( пиксели интенсивности и положение пикселей). Амплитуда (интенсивность пикселей) каждой строки в массиве нормализуется и усредняется. Это дает функцию расширения края.

${\ displaystyle \ operatorname {ESF} = {\ frac {X- \ mu} {\ sigma}} \ qquad \ qquad \ sigma \, = {\ sqrt {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {n -1} (x_ {i} - \ mu \,) ^ {2}} {n}}} \ qquad \ qquad \ mu \, = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {n-1 } x_ {i}} {n}}}$

куда

• ESF = выходной массив нормализованных данных интенсивности пикселей
• ${\ Displaystyle X \,}$ = входной массив данных интенсивности пикселей
• ${\ displaystyle x_ {i} \,}$= i- ^й элемент${\ Displaystyle X \,}$
• ${\ displaystyle \ mu \,}$ = среднее значение данных интенсивности пикселей
• ${\ Displaystyle \ sigma \,}$ = стандартное отклонение данных интенсивности пикселей
• ${\ Displaystyle п \,}$ = количество пикселей, используемых в среднем

Функция размытия линии идентична первой производной функции размытия кромки, которая дифференцируется с использованием численных методов . В случае, если более практично измерить функцию размытия края, можно определить функцию размытия линии следующим образом:

${\ displaystyle \ operatorname {LSF} = {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {ESF} (x)}$

Обычно ESF известен только в дискретных точках, поэтому LSF численно аппроксимируется с использованием конечной разности :

${\ displaystyle \ operatorname {LSF} = {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {ESF} (x) \ приблизительно {\ frac {\ Delta \ operatorname {ESF}} {\ Delta x}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {LSF} \ приблизительно {\ frac {\ operatorname {ESF} _ {i + 1} - \ operatorname {ESF} _ {i-1}} {2 (x_ {i + 1} -x_ { я})}}}$

куда:

• ${\ Displaystyle я \,}$ = индекс ${\ Displaystyle я = 1,2, \ точки, п-1}$
• ${\ displaystyle x_ {i} \,}$= положение пикселя${\ Displaystyle я ^ {\ текст {th}} \,}$${\ Displaystyle я ^ {\ текст {th}} \,}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {ESF} _ {i} \,}$= ESF пикселя${\ Displaystyle я ^ {\ текст {th}} \,}$

Использование сетки из черных и белых линий

Хотя «резкость» часто оценивается по сетке из чередующихся черных и белых линий, ее следует строго измерять с использованием синусоидального изменения от черного к белому (размытая версия обычного рисунка). При использовании прямоугольной волны (простые черные и белые линии) не только повышается риск появления наложений, но и необходимо учитывать тот факт, что основная составляющая прямоугольной волны выше, чем амплитуда самой прямоугольной волны ( гармонические составляющие уменьшают пиковую амплитуду). Таким образом, тестовая диаграмма с прямоугольной волной покажет оптимистичные результаты (более высокое разрешение высоких пространственных частот, чем фактически достигается). Результат прямоугольной волны иногда называют «функцией передачи контраста» (CTF).

Факторы, влияющие на MTF в типичных системах камер

На практике многие факторы приводят к значительному размытию воспроизводимого изображения, так что узоры с пространственной частотой чуть ниже частоты Найквиста могут быть даже не видны, а самые тонкие узоры, которые могут казаться «размытыми» в виде оттенков серого, а не черного и белый. Основным фактором обычно является невозможность создания идеального оптического фильтра «кирпичной стены» (часто реализуемого как « фазовая пластина » или линзы со специфическими свойствами размытия в цифровых камерах и видеокамерах). Такой фильтр необходим для уменьшения наложения спектров за счет устранения пространственных частот, превышающих частоту Найквиста дисплея.

Передискретизация и преобразование с понижением частоты для поддержания функции оптической передачи

Единственный способ на практике приблизиться к теоретической резкости, возможной в системе цифровой обработки изображений, такой как камера, - это использовать больше пикселей в датчике камеры, чем выборок в окончательном изображении, и «преобразовать с понижением частоты» или «интерполировать» с помощью специальной цифровой обработки, которая отсекает выключите высокие частоты выше частоты Найквиста, чтобы избежать наложения спектров, сохраняя при этом достаточно ровную MTF до этой частоты. Этот подход был впервые применен в 1970-х годах, когда были разработаны летающие точечные сканеры, а позже были разработаны линейные сканеры CCD , которые отбирали больше пикселей, чем было необходимо, а затем преобразовывали их с понижением частоты, поэтому фильмы всегда выглядели четче на телевидении, чем другие материалы, снятые с помощью видеокамеры. . Единственный теоретически правильный способ интерполирования или понижающего преобразования - это использование крутого пространственного фильтра нижних частот, реализованного путем свертки с двумерной весовой функцией sin ( x ) / x, которая требует мощной обработки. На практике для уменьшения требований к обработке используются различные математические приближения. Эти приближения теперь широко применяются в системах редактирования видео и в программах обработки изображений, таких как Photoshop .

Подобно тому, как видео стандартной четкости с высококонтрастным MTF возможно только с передискретизацией, телевидение высокой четкости с полной теоретической резкостью возможно только при использовании камеры со значительно более высоким разрешением с последующей цифровой фильтрацией. Теперь, когда фильмы снимаются в формате 4k и даже 8k для кинотеатров, мы можем ожидать увидеть лучшие изображения на HDTV только из фильмов или материалов, снятых по более высоким стандартам. Как бы мы ни увеличивали количество пикселей, используемых в камерах, это всегда будет оставаться верным при отсутствии идеального оптического пространственного фильтра. Точно так же 5-мегапиксельное изображение, полученное с 5-мегапиксельной фотокамеры, никогда не может быть резче, чем 5-мегапиксельное изображение, полученное после понижающего преобразования от 10-мегапиксельной фотокамеры того же качества. Из-за проблемы с поддержанием высококонтрастного MTF, вещательные компании, такие как BBC , долгое время рассматривали возможность сохранения телевидения стандартной четкости, но улучшения его качества за счет съемки и просмотра с большим количеством пикселей (хотя, как упоминалось ранее, такая система, хотя и впечатляет , в конечном итоге не хватает очень мелких деталей, которые, хотя и ослаблены, усиливают эффект истинного просмотра HD).

Еще одним фактором цифровых фотоаппаратов и видеокамер является разрешение объектива. Можно сказать, что объектив «разрешает» 1920 горизонтальных линий, но это не значит, что он делает это с полной модуляцией от черного к белому. «Передаточная функция модуляции» (просто термин для величины оптической передаточной функции без учета фазы) дает истинную меру характеристик линзы и представлена ​​графиком зависимости амплитуды от пространственной частоты.

Дифракция на апертуре объектива также ограничивает MTF. Хотя уменьшение диафрагмы объектива обычно уменьшает аберрации и, следовательно, улучшает плоскостность MTF, существует оптимальная диафрагма для любого размера объектива и датчика изображения, за пределами которой меньшая диафрагма снижает разрешение из-за дифракции, которая распространяет свет по датчику изображения. Во времена плоских фотоаппаратов и даже 35-миллиметровой пленки это не было проблемой, но стало непреодолимым ограничением из-за очень маленьких датчиков формата, используемых в некоторых цифровых фотоаппаратах и ​​особенно в видеокамерах. В потребительских HD-видеокамерах первого поколения использовались 1/4-дюймовые сенсоры, для которых диафрагма меньше примерно f4 начинает ограничивать разрешение. Даже профессиональные видеокамеры в основном используют сенсоры размером 2/3 дюйма, что запрещает использование диафрагмы около f16, что считалось бы нормальным для форматов пленки. Некоторые камеры (например, Pentax K10D ) имеют режим «Автоэкспозиция MTF», в котором выбор диафрагмы оптимизирован для максимальной резкости. Обычно это означает где-то в середине диапазона диафрагмы.

Тенденция к широкоформатным зеркальным фотокамерам и улучшенный потенциал MTF

Недавно произошел сдвиг в сторону использования цифровых однообъективных зеркальных фотоаппаратов с большим форматом изображения, обусловленный необходимостью обеспечения чувствительности при слабом освещении и малой глубины резкости . Это привело к тому, что некоторые производители фильмов и телевизионных программ предпочитают такие камеры даже профессиональным видеокамерам высокой четкости из-за их «кинематографического» потенциала. Теоретически использование камер с 16- и 21-мегапиксельными сенсорами дает возможность почти идеальной резкости за счет понижающего преобразования внутри камеры с цифровой фильтрацией для устранения наложения спектров. Такие камеры дают очень впечатляющие результаты и, по-видимому, лидируют в производстве видео по направлению к понижающему преобразованию большого формата, при этом цифровая фильтрация становится стандартным подходом к реализации плоского MTF с истинной свободой от наложения спектров.

Цифровая инверсия оптической передаточной функции

Из-за оптических эффектов контраст может быть неоптимальным и приближаться к нулю до того, как будет достигнута частота Найквиста дисплея. Уменьшение оптического контраста может быть частично отменено путем выборочного цифрового усиления пространственных частот перед отображением или дальнейшей обработкой. Хотя существуют более совершенные процедуры восстановления цифровых изображений , алгоритм деконволюции Винера часто используется из-за его простоты и эффективности. Поскольку этот метод умножает пространственные спектральные компоненты изображения, он также усиливает шум и ошибки, например, из-за наложения спектров. Поэтому он эффективен только при записи хорошего качества с достаточно высоким отношением сигнал / шум.

Ограничения

Как правило, функция рассеяния точки , изображение точечного источника также зависит от таких факторов, как длина волны ( цвет ) и угол поля зрения (положение точечного источника в поперечном направлении). Когда такое изменение достаточно плавное, оптическая система может быть охарактеризована набором оптических передаточных функций. Однако, когда изображение точечного источника резко изменяется при поперечном перемещении, оптическая передаточная функция не описывает точно оптическую систему.

Смотрите также

• Боке
• Гамма-коррекция
• Минимальный разрешаемый контраст
• Минимальная разрешаемая разница температур
• Оптическое разрешение
• Отношение сигнал шум
• Функция передачи сигнала
• Коэффициент Штреля
• Функция передачи
• Кодирование волнового фронта

использованная литература

внешние ссылки

• «Функция передачи модуляции» , Гленн Д. Бореман на SPIE Optipedia.
• «Как измерить MTF и другие свойства линз» , Optikos Corporation.