Нормальное расширение - Normal extension
В абстрактной алгебре , А нормальное расширение является алгебраическим расширением поля L / K , для которых каждый неприводимый многочлен над K , который имеет корень в L , распадается на линейные множители в L . Это одно из условий того, что алгебраические расширения являются расширением Галуа . Бурбаки называет такое расширение квази- расширением Галуа .
Определение
Пусть алгебраическое расширение (т.е. L является алгебраическим расширением К ), такой , что (т.е. L содержится в алгебраическом замыкании на К ). Тогда следующие условия, любое из которых можно рассматривать как определение нормального расширения , эквивалентны:
- Каждое вложение L в индуцирует автоморфизм L .
- L - поле расщепления семейства многочленов от .
- Каждый неприводимый полином , который имеет корень в L расщепляется на линейные множители в L .
Прочие свойства
Пусть L является расширение поля K . Потом:
- Если L является нормальным расширением K , и если Е является промежуточным расширением (то есть, L ⊃ E ⊃ К ), то L представляет собой нормальное расширение Е .
- Если E и F нормальные расширения К содержится в L , то композит EF и E ∩ F также нормальные расширения К .
Эквивалентные условия нормальности
Позвольте быть алгебраическим. Поле L является нормальным расширением тогда и только тогда, когда выполняется любое из эквивалентных условий, приведенных ниже.
- Минимальный многочлен над K каждого элемента из L расщепляется в L ;
- Существует набор многочленов, которые одновременно разбиваются на L , так что если - поля, то S имеет многочлен, который не разбивается на F ;
- Все гомоморфизмы имеют один и тот же образ;
- Группа автоморфизмов, из L , который фиксирует элементы из K , транзитивно действует на множестве гомоморфизмов
Примеры и контрпримеры
Например, является нормальным расширением, поскольку это поле расщепления. С другой стороны, не является нормальным расширением, поскольку неприводимый многочлен имеет в себе один корень (а именно, ), но не все из них (он не имеет невещественные кубические корни из 2). Напомним , что поле из алгебраических чисел является алгебраическое замыкание , что она содержит С,
Для любого простого расширения нормально степени Это поле расщепления Здесь обозначают любой й примитивный корень из единицы . Поле является нормальным закрытием (см. Ниже)
Нормальное закрытие
Если К является полем и L является алгебраическим расширением К , то есть некоторое алгебраическое расширение М из L такое , что М представляет собой нормальное расширение K . Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое является минимальным, то есть единственное подполе M, которое содержит L и которое является нормальным расширением K, - это само M. Это расширение называется нормальным замыканием удлиняющей L из K .
Если L - конечное расширение K , то его нормальное замыкание также является конечным расширением.
Смотрите также
Цитаты
использованная литература
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), В. Х. Фриман, ISBN 0-7167-1933-9, Руководство по ремонту 1009787