Многокритериальный анализ решений - Multiple-criteria decision analysis

Принятие решений по нескольким критериям ( MCDM ) или анализ решений по нескольким критериям ( MCDA ) - это подраздел исследования операций, который явно оценивает несколько конфликтующих критериев при принятии решений (как в повседневной жизни, так и в таких условиях, как бизнес, правительство и медицина. ). При оценке вариантов типичны противоречивые критерии: стоимость или цена обычно являются одним из основных критериев, а некоторая мера качества обычно является другим критерием, который легко вступает в противоречие со стоимостью. При покупке автомобиля стоимость, комфорт, безопасность и экономия топлива могут быть одними из основных критериев, которые мы принимаем во внимание - необычно, что самый дешевый автомобиль является наиболее удобным и безопасным. В управлении портфелем менеджеры заинтересованы в получении высокой доходности при одновременном снижении рисков; однако акции, которые могут принести высокую доходность, обычно несут в себе высокий риск потери денег. В сфере услуг удовлетворенность клиентов и стоимость предоставления услуг являются фундаментальными противоречащими критериями.

В своей повседневной жизни люди обычно неявно взвешивают несколько критериев и могут быть довольны последствиями таких решений, которые принимаются только на основе интуиции . С другой стороны, когда ставки высоки, важно правильно структурировать проблему и явно оценить несколько критериев. При принятии решения о том, строить ли атомную электростанцию ​​или нет и где ее строить, возникают не только очень сложные вопросы, связанные с множеством критериев, но также есть множество сторон, на которых серьезно влияют последствия.

Хорошая структуризация сложных проблем и учет нескольких критериев явно приводит к более информированным и лучшим решениям. В этой области были достигнуты важные успехи с момента появления современной дисциплины принятия решений по множественным критериям в начале 1960-х годов. Разнообразные подходы и методы, многие из которых реализованы с помощью специализированного программного обеспечения для принятия решений , были разработаны для их применения в самых разных дисциплинах, от политики и бизнеса до окружающей среды и энергетики.

Основы, концепции, определения

MCDM или MCDA являются хорошо известными акронимами для множественных критериев принятия решений и решение нескольких критериев-анализ ; Стэнли Зионтс способствовал популяризации аббревиатуры своей статьей 1979 года «MCDM - Если не римская цифра, то что?», Предназначенной для предпринимательской аудитории.

MCDM занимается структурированием и решением проблем принятия решений и планирования с использованием нескольких критериев. Цель состоит в том, чтобы поддержать лиц, принимающих решения, которые сталкиваются с такими проблемами. Как правило, не существует единственного оптимального решения для таких проблем, и необходимо использовать предпочтения лиц, принимающих решения, чтобы различать решения.

«Решение» можно трактовать по-разному. Это может соответствовать выбору «лучшей» альтернативы из набора доступных альтернатив (где «лучший» может интерпретироваться как «наиболее предпочтительная альтернатива» лица, принимающего решение). Другая интерпретация «решения» может заключаться в выборе небольшого набора хороших альтернатив или группировании альтернатив в различные наборы предпочтений. Крайняя интерпретация может заключаться в том, чтобы найти все «эффективные» или « недоминируемые » альтернативы (которые мы вскоре определим).

Сложность проблемы проистекает из наличия более чем одного критерия. Больше не существует единственного оптимального решения проблемы MCDM, которое можно было бы получить без включения информации о предпочтениях. Понятие оптимального решения часто заменяется набором недоминируемых решений. Решение называется недоминирующим, если его невозможно улучшить ни по одному критерию, не жертвуя по другому. Следовательно, для лица, принимающего решение, имеет смысл выбрать решение из недоминируемого набора. В противном случае он / она могли бы добиться большего успеха по некоторым или всем критериям и не добиться худших результатов по любому из них. Однако, как правило, набор недоминируемых решений слишком велик, чтобы представить их лицу, принимающему решение, для окончательного выбора. Следовательно, нам нужны инструменты, которые помогают лицам, принимающим решения, сосредоточиться на предпочтительных решениях (или альтернативах). Обычно приходится «менять» одни критерии на другие.

MCDM является активной областью исследований с 1970-х годов. Есть несколько организаций, связанных с MCDM, включая Международное общество по многокритериальному принятию решений, Европейскую рабочую группу по MCDA и Секцию INFORMS по MCDM. Историю см .: Köksalan, Wallenius and Zionts (2011). MCDM опирается на знания во многих областях, включая:

• Математика
• Анализ решений
• Экономика
• Компьютерные технологии
• Программная инженерия
• Информационные системы

Типология

Существуют разные классификации задач и методов MCDM. Основное различие между проблемами MCDM основано на том, явно или неявно определены решения.

• Задачи многокритериальной оценки : эти задачи состоят из конечного числа альтернатив, явно известных в начале процесса решения. Каждая альтернатива представлена ​​своей производительностью по нескольким критериям. Проблема может быть определена как поиск лучшей альтернативы для лица, принимающего решения (ЛПР), или поиск набора хороших альтернатив. Также может быть интересна «сортировка» или «классификация» альтернатив. Сортировка относится к размещению альтернатив в наборе упорядоченных по предпочтениям классов (например, присвоение кредитных рейтингов странам), а классификация относится к назначению альтернатив неупорядоченным наборам (например, диагностика пациентов на основе их симптомов). Некоторые методы MCDM в этой категории были сравнительно изучены в книге Триантафиллоу по этому вопросу, 2000.
• Многокритериальные задачи проектирования (многокритериальные задачи математического программирования) : в этих задачах альтернативы явно не известны. Альтернативу (решение) можно найти, решив математическую модель. Число альтернатив либо бесконечно (счетное, либо нет), либо конечно, но обычно экспоненциально велико (по количеству переменных в конечных областях).

Будь то проблема оценки или проблема дизайна, требуется информация о предпочтениях DM, чтобы различать решения. Способы решения проблем MCDM обычно классифицируются на основе времени получения информации о предпочтениях от DM.

Существуют методы, которые требуют информации о предпочтениях DM в начале процесса, превращая проблему по существу в проблему с одним критерием. Утверждается, что эти методы действуют путем «предварительного определения предпочтений». Методы, основанные на оценке функции ценности или использовании концепции «превосходящих отношений», процесса аналитической иерархии и некоторых методов, основанных на правилах принятия решений, пытаются решить проблемы оценки множественных критериев, используя предварительную формулировку предпочтений. Точно так же существуют методы, разработанные для решения задач проектирования с несколькими критериями с использованием предварительной формулировки предпочтений путем построения функции ценности. Пожалуй, самый известный из этих методов - целевое программирование. Как только функция ценности построена, полученная единственная целевая математическая программа решается для получения предпочтительного решения.

Некоторые методы требуют информации о предпочтениях от DM на протяжении всего процесса решения. Они называются интерактивными методами или методами, требующими «прогрессивной формулировки предпочтений». Эти методы были хорошо разработаны как для оценки множественных критериев (см., Например, Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972 и Köksalan and Sagala, 1995), так и для задач проектирования (см. Steuer, 1986).

Задачи многокритериального проектирования обычно требуют решения ряда моделей математического программирования, чтобы выявить неявно определенные решения. Для этих проблем также может представлять интерес представление или приближение «эффективных решений». Эта категория называется «апостериорной артикуляцией предпочтений», подразумевая, что участие DM начинается после явного раскрытия «интересных» решений (см., Например, Karasakal and Köksalan, 2009).

Когда модели математического программирования содержат целочисленные переменные, проблемы проектирования становится труднее решать. Многокритериальная комбинаторная оптимизация (MOCO) составляет особую категорию таких задач, создающих значительные вычислительные трудности (см. Обзор Ehrgott and Gandibleux, 2002).

Представления и определения

Проблема MCDM может быть представлена ​​в пространстве критериев или пространстве решений. В качестве альтернативы, если различные критерии объединены с помощью взвешенной линейной функции, также возможно представить проблему в пространстве весов. Ниже приведены демонстрации критериального и весового пространств, а также некоторые формальные определения.

Представление в пространстве критериев

Предположим, что мы оцениваем решения в конкретной проблемной ситуации по нескольким критериям. Далее предположим, что чем больше, тем лучше по каждому критерию. Тогда среди всех возможных решений мы в идеале заинтересованы в тех решениях, которые хорошо работают по всем рассматриваемым критериям. Однако вряд ли будет какое-то одно решение, которое хорошо работает по всем рассмотренным критериям. Как правило, некоторые решения хорошо работают по одним критериям, а некоторые - по другим. Поиск способа компромисса между критериями - одна из основных задач в литературе MCDM.

Математически задача MCDM, соответствующая приведенным выше аргументам, может быть представлена ​​как

"макс" q

при условии

q ∈ Q

где q - вектор из k целевых функций (целевых функций), а Q - допустимое множество, Q ⊆ R ^k .

Если Q определяется явно (набором альтернатив), результирующая проблема называется задачей оценки с несколькими критериями.

Если Q определяется неявно (набором ограничений), результирующая проблема называется проблемой проектирования с несколькими критериями.

Кавычки используются, чтобы указать, что максимизация вектора не является четко определенной математической операцией. Это соответствует аргументу, что нам нужно будет найти способ решить проблему компромисса между критериями (обычно на основе предпочтений лица, принимающего решения), когда не существует решения, которое хорошо работает по всем критериям.

Представление пространства решений

Пространство решений соответствует набору возможных решений, доступных нам. Значения критериев будут последствиями принимаемых нами решений. Следовательно, мы можем определить соответствующую проблему в пространстве решений. Например, при разработке продукта мы выбираем параметры дизайна (переменные решения), каждый из которых влияет на показатели (критерии) производительности, с помощью которых мы оцениваем наш продукт.

Математически задача проектирования с несколькими критериями может быть представлена ​​в пространстве решений следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ max q & = f (x) = f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \\ {\ text {при условии}} \\ q \ in Q & = \ {f (x): x \ in X, \, X \ substeq \ mathbb {R} ^ {n} \} \ end {align}}}$

где X - допустимый набор, а x - вектор решающей переменной размера n.

Хорошо развитый частный случай получается, когда X - многогранник, определяемый линейными неравенствами и равенствами. Если все целевые функции линейны с точки зрения переменных решения, это изменение приводит к многоцелевому линейному программированию (MOLP), важному подклассу задач MCDM.

Есть несколько определений, которые занимают центральное место в MCDM. Два тесно связанных определения - это недоминантность (определенная на основе представления пространства критериев) и эффективность (определенная на основе представления переменной решения).

Определение 1. q * ∈ Q недоминируем, если не существует другого q ∈ Q такого, что q ≥ q * и q ≠ q * .

Грубо говоря, решение не считается доминирующим до тех пор, пока оно не уступает любому другому доступному решению по всем рассматриваемым критериям.

Определение 2. x * ∈ X эффективно, если не существует другого x ∈ X такого, что f ( x ) ≥ f ( x *) и f ( x ) ≠ f ( x *) .

Если проблема MCDM хорошо представляет ситуацию принятия решения, тогда наиболее предпочтительным решением DM должно быть эффективное решение в пространстве решений, а его изображение - недоминируемая точка в пространстве критериев. Следующие определения также важны.

Определение 3. q * ∈ Q слабо недоминируем, если не существует другого q ∈ Q такого, что q > q * .

Определение 4. x * ∈ X слабоэффективно, если не существует другого x ∈ X такого, что f ( x )> f ( x *) .

Слабо недоминируемые точки включают все недоминированные точки и некоторые особые доминируемые точки. Важность этих особых доминируемых точек проистекает из того факта, что они обычно появляются на практике, и требуется особая осторожность, чтобы отличить их от недоминируемых точек. Если, например, мы максимизируем единственную цель, мы можем в конечном итоге получить слабо недоминируемую точку, над которой доминируют. Доминируемые точки слабо недоминируемого множества расположены либо на вертикальной, либо на горизонтальной плоскостях (гиперплоскостях) в пространстве критериев.

Идеальная точка : (в пространстве критериев) представляет лучшее (максимум для задач максимизации и минимум для задач минимизации) каждой целевой функции и обычно соответствует недопустимому решению.

Точка Надира : (в пространстве критериев) представляет наихудшую (минимум для задач максимизации и максимум для задач минимизации) каждой целевой функции среди точек в недоминируемом наборе и обычно является доминирующей точкой.

Идеальная точка и точка надира полезны для DM, чтобы получить «ощущение» диапазона решений (хотя найти точку надира для задач проектирования, имеющих более двух критериев, непросто).

Иллюстрации пространств решений и критериев

Следующая задача MOLP с двумя переменными в пространстве переменных решения поможет графически продемонстрировать некоторые ключевые концепции.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ max f_ {1} (\ mathbf {x}) & = - x_ {1} + 2x_ {2} \\\ max f_ {2} (\ mathbf {x}) & = 2x_ {1} -x_ {2} \\ {\ text {subject to}} \\ x_ {1} & \ leq 4 \\ x_ {2} & \ leq 4 \\ x_ {1} + x_ {2 } & \ leq 7 \\ - x_ {1} + x_ {2} & \ leq 3 \\ x_ {1} -x_ {2} & \ leq 3 \\ x_ {1}, x_ {2} & \ geq 0 \ конец {выровнено}}}$

На рисунке 1 крайние точки «e» и «b» максимизируют первую и вторую цели соответственно. Красная граница между этими двумя крайними точками представляет собой эффективный набор. Из рисунка видно, что для любого допустимого решения за пределами эффективного набора можно улучшить обе цели на несколько пунктов в эффективном наборе. И наоборот, для любой точки эффективного набора невозможно улучшить обе цели путем перехода к любому другому допустимому решению. В этих решениях нужно пожертвовать одной из целей, чтобы улучшить другую цель.

Благодаря своей простоте, вышеуказанная проблема может быть представлена в пространстве критерия, заменив х «ы с й » S следующим образом :

Макс f ₁

Макс f ₂

при условии

ж ₁ + 2 ж ₂ ≤ 12

2 ж ₁ + ж ₂ ≤ 12

f ₁ + f ₂ ≤ 7

f ₁ - f ₂ ≤ 9

- f ₁ + f ₂ ≤ 9

ж ₁ + 2 ж ₂ ≥ 0

2 ж ₁ + ж ₂ ≥ 0

Мы представляем пространство критериев графически на рисунке 2. В пространстве критериев легче обнаружить недоминируемые точки (соответствующие эффективным решениям в пространстве решений). Северо-восточная область допустимого пространства представляет собой набор недоминируемых точек (для задач максимизации).

Создание недоминированных решений

Есть несколько способов генерировать недоминированные решения. Мы обсудим два из них. Первый подход может генерировать особый класс недоминируемых решений, тогда как второй подход может генерировать любое недоминируемое решение.

• Взвешенные суммы (Гасс и Саати, 1955)

Если мы объединим несколько критериев в один критерий, умножив каждый критерий на положительный вес и суммируя взвешенные критерии, то решение результирующей проблемы с одним критерием станет специальным эффективным решением. Эти специальные эффективные решения появляются в угловых точках множества доступных решений. Эффективные решения, которые не находятся в угловых точках, обладают особыми характеристиками, и этот метод не может найти такие точки. Математически мы можем представить эту ситуацию как

макс ж ^Т . д = ш ^Т . f (x) , w > 0

при условии

x ∈ X

Изменяя веса, взвешенные суммы могут использоваться для генерации эффективных решений экстремальных точек для задач проектирования и поддерживаемых (выпуклых недоминируемых) точек для задач оценки.

• Функция скаляризации достижений (Wierzbicki, 1980)

Функции скаляризации достижений также объединяют несколько критериев в один критерий, взвешивая их особым образом. Они создают прямоугольные контуры, уходящие от ориентира в сторону доступных эффективных решений. Эта специальная структура позволяет функциям масштабирования достижений находить любое эффективное решение. Это мощное свойство, которое делает эти функции очень полезными для решения проблем MCDM.

Математически мы можем представить соответствующую задачу в виде

Min s ( g, q, w, ρ ) = Min {max _i [( g _i - q _i ) / w _i ] + ρ Σ _i ( g _i - q _i ) },

при условии

q ∈ Q

Функция масштабирования достижений может использоваться для проецирования любой точки (выполнимой или недопустимой) на границе эффективности. Любая точка (поддерживаемая или нет) может быть достигнута. Второй член целевой функции необходим, чтобы избежать неэффективных решений. На рисунке 3 показано, как допустимая точка g ₁ и недопустимая точка g ₂ проецируются на недоминируемые точки q ₁ и q ₂ , соответственно, вдоль направления w с использованием скаляризационной функции достижения. Пунктирные и сплошные контуры соответствуют контурам целевой функции со вторым членом целевой функции и без него соответственно.

Решение проблем MCDM

Для решения задач MCDM (как дизайна, так и оценочного типа) сложились разные школы. Библиометрическое исследование, показывающее их развитие с течением времени, см. В Bragge, Korhonen, H. Wallenius и J. Wallenius [2010].

Школа многоцелевого математического программирования

(1) Максимизация вектора : целью максимизации вектора является аппроксимация недоминируемого множества; изначально был разработан для задач линейного программирования с множественными объектами (Evans, Steuer, 1973; Yu and Zeleny, 1975).

(2) Интерактивное программирование : этапы вычислений чередуются с этапами принятия решений (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972; Zionts and Wallenius, 1976; Korhonen and Wallenius, 1988). Не предполагается явного знания функции ценности DM.

Школа программирования целей

Цель состоит в том, чтобы установить априорные целевые значения для целей и минимизировать взвешенные отклонения от этих целей. Использовались как веса важности, так и лексикографические упреждающие веса (Charnes and Cooper, 1961).

Теоретики нечетких множеств

Нечеткие множества были введены Заде (1965) как расширение классического понятия множеств. Эта идея используется во многих алгоритмах MCDM для моделирования и решения нечетких задач.

Теоретики мультиатрибутной полезности

Выявляются многоатрибутные функции полезности или значения, которые используются для определения наиболее предпочтительной альтернативы или для ранжирования альтернатив. Могут использоваться сложные методы интервью, которые существуют для выявления линейных аддитивных функций полезности и мультипликативных нелинейных функций полезности (Keeney and Raiffa, 1976). Другой подход заключается в косвенном выявлении функций ценности, задав лицу, принимающему решение, ряд вопросов попарного ранжирования, включающих выбор между гипотетическими альтернативами ( метод PAPRIKA ; Hansen and Ombler, 2008).

Французская школа

Французская школа фокусируется на решении пособничество, в частности ELECTRE семейство методов, процент выигрышей возникла во Франции в середине 1960-х годов. Метод был впервые предложен Бернардом Роем (Roy, 1968).

Школа эволюционной многокритериальной оптимизации (EMO)

Алгоритмы EMO начинаются с начальной популяции и обновляют ее, используя процессы, разработанные для имитации естественных принципов выживания наиболее приспособленных и операторов генетических вариаций, чтобы улучшить среднюю популяцию от одного поколения к другому. Цель состоит в том, чтобы сойтись к совокупности решений, которые представляют недоминируемое множество (Schaffer, 1984; Srinivas and Deb, 1994). В последнее время предпринимаются попытки включить информацию о предпочтениях в процесс решения алгоритмов EMO (см. Deb and Köksalan, 2010).

Методы, основанные на теории серых систем

В 1980-х Дэн Цзюлун предложил теорию системы Грея (GST) и свою первую модель принятия решений с множеством атрибутов, названную моделью реляционного анализа Дэна Грея (GRA). Позже исследователи серых систем предложили множество методов, основанных на GST, таких как модель Absolute GRA Лю Сифэна, принятие решений по серым целям (GTDM) и анализ абсолютных решений по серым (GADA).

Процесс аналитической иерархии (AHP)

AHP сначала разбивает проблему решения на иерархию подзадач. Затем лицо, принимающее решение, оценивает относительную важность различных его элементов путем попарных сравнений. AHP преобразует эти оценки в числовые значения (веса или приоритеты), которые используются для расчета баллов для каждой альтернативы (Saaty, 1980). Индекс согласованности измеряет степень последовательности в своих ответах лица, принимающего решения. AHP - один из наиболее спорных методов, перечисленных здесь, и некоторые исследователи из сообщества MCDA считают его некорректным. Основная математика также более сложна, хотя она приобрела некоторую популярность в результате появления коммерчески доступного программного обеспечения.

В нескольких статьях рассматривается применение методов MCDM в различных дисциплинах, таких как нечеткая MCDM, классическая MCDM, устойчивая и возобновляемая энергия, техника VIKOR, транспортные системы, качество услуг, метод TOPSIS, проблемы управления энергопотреблением, электронное обучение, туризм и гостеприимство, SWARA и Методы WASPAS.

MCDM методы

Доступны следующие методы MCDM, многие из которых реализуются специализированным программным обеспечением для принятия решений :

• Метод рандомизации агрегированных индексов (AIRM)
• Процесс аналитической иерархии (AHP)
• Аналитический сетевой процесс (ANP)
• Процесс балансировки балки
• Метод базовых критериев (BCM)
• Лучший наихудший метод (BWM)
• Модель Брауна – Гибсона
• Метод характерных объектов (COMET)
• Выбор по преимуществам (CBA)
• Объединенная иерархия значений (CVA)
• Анализ охвата данных
• Решение EXpert (DEX)
• Дезагрегация - подходы к агрегированию (UTA *, UTAII, UTADIS)
• Грубый набор (подход грубого набора)
• Подход грубого набора, основанный на доминировании (DRSA)
• ELECTRE (выигрыш)
• Оценка на основе расстояния от среднего решения (EDAS)
• Доказательный подход к рассуждению (ER)
• Программирование целей (GP)
• Серый реляционный анализ (GRA)
• Внутренний продукт векторов (IPV)
• Измерение привлекательности методом категориальной оценки (MACBETH)
• Простая методика оценки по множеству атрибутов (SMART)
• Стратифицированное многокритериальное принятие решений (SMCDM)
• Глобальный вывод качества с несколькими атрибутами (MAGIQ)
• Теория многоатрибутной полезности (MAUT)
• Теория многоатрибутных значений (MAVT)
• Марковское принятие решений по нескольким критериям
• Новый подход к оценке (NATA)
• Неструктурная система поддержки нечетких решений (NSFDSS)
• Потенциально все попарные ранги всех возможных альтернатив (ПАПРИКА)
• PROMETHEE (выигрышей)
• Рейтинг на основе оптимальных баллов (RBOP)
• Стохастический многокритериальный анализ приемлемости (SMAA)
• Метод ранжирования превосходства и неполноценности (метод SIR)
• Методика расстановки приоритетов по подобию идеальному решению (ТОПСИС)
• Анализ стоимости (VA)
• Ценностная инженерия (VE)
• ВИКОР метод
• Взвешенная модель продукта (WPM)
• Модель взвешенной суммы (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)

Смотрите также

• Метод анализа компромиссов в архитектуре
• Принимать решение
• ПО для принятия решений
• Парадокс принятия решений
• Решающий баланс
• Проблемы многокритериальной классификации
• Смена рангов при принятии решений
• Метод ранжирования превосходства и неполноценности

использованная литература

дальнейшее чтение

• Малиене, В. (2011). «Специализированная оценка имущества: анализ решений по множеству критериев» . Журнал Retail & Leisure Property . 9 (5): 443–50. DOI : 10.1057 / rlp.2011.7 .
• Муллинер Э, Смоллбон К., Малиене В. (2013). «Оценка доступности устойчивого жилья с использованием метода принятия решений по множеству критериев» (PDF) . Омега . 41 (2): 270–79. DOI : 10.1016 / j.omega.2012.05.002 .
• Малиене, В .; и другие. (2002). «Применение нового метода многокритериального анализа при оценке имущества» (PDF) . Международный конгресс FIG XXII : 19–26.
• Краткая история, подготовленная Steuer and Zionts
• Малакути, Б. (2013). Операционные и производственные системы с множеством целей. Джон Вили и сыновья.