Вейвлет Морле - Morlet wavelet

В математике , то вейвлет Морло (или Габор вейвлет ) является вейвлет состоит из комплексной экспоненты ( носители ) , умноженная на гауссовом окно (огибающий). Этот вейвлет тесно связан с человеческим восприятием, как слухом, так и зрением.

История

В 1946 году физик Деннис Габор , применяя идеи квантовой физики , представил использование синусоид с гауссовым окном для частотно-временного разложения, которые он назвал атомами и которые обеспечивают лучший компромисс между пространственным и частотным разрешением. Они используются в преобразовании Габора , разновидности кратковременного преобразования Фурье . В 1984 году Жан Морле представил работу Габора сообществу сейсмологов и вместе с Гупийо и Гроссманном изменил ее, чтобы сохранить ту же форму вейвлета на равных интервалах октавы, что привело к первой формализации непрерывного вейвлет-преобразования .

Определение

Вейвлет определяется как константа, вычтенная из плоской волны и затем локализованная окном Гаусса : ${\ displaystyle \ kappa _ {\ sigma}}$

${\ displaystyle \ Psi _ {\ sigma} (t) = c _ {\ sigma} \ pi ^ {- {\ frac {1} {4}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} t ^ {2}} (е ^ {я \ sigma t} - \ kappa _ {\ sigma})}$

где определяется критерием допустимости, а константа нормировки равна: ${\ Displaystyle \ каппа _ {\ sigma} = е ^ {- {\ гидроразрыва {1} {2}} \ sigma ^ {2}}}$${\ displaystyle c _ {\ sigma}}$

${\ displaystyle c _ {\ sigma} = \ left (1 + e ^ {- \ sigma ^ {2}} - 2e ^ {- {\ frac {3} {4}} \ sigma ^ {2}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

Преобразование Фурье вейвлета Морле:

${\ displaystyle {\ hat {\ Psi}} _ {\ sigma} (\ omega) = c _ {\ sigma} \ pi ^ {- {\ frac {1} {4}}} \ left (e ^ {- { \ frac {1} {2}} (\ sigma - \ omega) ^ {2}} - \ kappa _ {\ sigma} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2}} \Правильно)}$

«Центральная частота» - это положение глобального максимума, которого в данном случае дает положительное решение: ${\ displaystyle \ omega _ {\ Psi}}$${\ Displaystyle {\ шляпа {\ Psi}} _ {\ sigma} (\ omega)}$

${\ displaystyle \ omega _ {\ Psi} = \ sigma {\ frac {1} {1-e ^ {- \ sigma \ omega _ {\ Psi}}}}}$

которое может быть решено итерацией с фиксированной точкой, начиная с ( итерации с фиксированной точкой сходятся к единственному положительному решению для любого начального значения ). ${\ Displaystyle \ omega _ {\ Psi} = \ sigma}$${\ displaystyle \ omega _ {\ Psi}> 0}$

Параметр в вейвлете Морле позволяет менять разрешение по времени и частоте. Обычно ограничение используется, чтобы избежать проблем с вейвлетом Морле при низком (высоком временном разрешении). ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma> 5}$${\ displaystyle \ sigma}$

Для сигналов, содержащих только медленно изменяющиеся частотные и амплитудные модуляции (например, аудио), нет необходимости использовать небольшие значения . В этом случае он становится очень маленьким (например ), и поэтому им часто пренебрегают. При ограничении условно принимается частота вейвлета Морле . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ kappa _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma> 5 \ quad \ Rightarrow \ quad \ kappa _ {\ sigma} <10 ^ {- 5} \,}$${\ displaystyle \ sigma> 5}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ Psi} \ simeq \ sigma}$

Вейвлет существует как сложная версия или версия с чисто действительным знаком. Некоторые проводят различие между «настоящим Морле» и «сложным Морле». Другие считают сложную версию «вейвлетом Габора», а версию с действительным знаком - «вейвлетом Морле».

Использует

Использование в медицине

В визуализации с помощью магнитно-резонансной спектроскопии метод вейвлет-преобразования Морле предлагает интуитивно понятный мост между информацией о частоте и времени, который может уточнить интерпретацию сложных спектров травм головы, полученных с помощью преобразования Фурье . Вейвлет-преобразование Морле, однако, не предназначено в качестве замены преобразования Фурье, а скорее как дополнение, которое обеспечивает качественный доступ к изменениям, связанным со временем, и использует преимущества множества измерений, доступных в анализе затухания свободной индукции .

Применение вейвлет-анализа Морле также используется для определения аномального поведения сердцебиения на электрокардиограмме (ЭКГ). Поскольку изменение аномального сердцебиения является нестационарным сигналом, этот сигнал подходит для анализа на основе вейвлетов.

Использование в музыке

К транскрипции музыки применяется метод вейвлет-преобразования Морле. Он дает очень точные результаты, которые были невозможны с использованием методов преобразования Фурье. Вейвлет-преобразование Морле позволяет захватывать короткие серии повторяющихся и чередующихся музыкальных нот с четким временем начала и окончания для каждой ноты.

Смотрите также

• Преобразование постоянного Q
• Вейвлет Габора

использованная литература

• П. Гупийо, А. Гроссман и Ж. Морле. Цикл-октава и связанные преобразования в анализе сейсмических сигналов . Георазведка, 23: 85-102, 1984
• Н. Дельпра, Б. Эскудье, П. Гиймен, Р. Кронланд-Мартине, П. Чамитчиан и Б. Торресани. Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот. IEEE Trans. Инф. Th., 38: 644-664, 1992.