Моноидное кольцо - Monoid ring

В абстрактной алгебре , Моноид кольцо представляет собой кольцо построено из кольца и моноида , так же , как группа кольцо строится из кольца и группы .

Определение

Пусть R - кольцо и G - моноид. Моноид кольцо или моноид алгебра из G над R , обозначается R [ G ] или RG , есть множество формальных сумм , где для каждого и т _г = 0 для всех , кроме конечного числа г , оборудованных с коэффициентом-накрест Кроме того, и умножение в которой элементы R коммутируют с элементами G . Более формально, R [ G ] - это набор функций φ: G → R таких, что { g : φ ( g ) ≠ 0 } конечно, снабженный сложением функций и умножением, определенным формулой ${\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} r_ {g} g}$ ${\ displaystyle r_ {g} \ in R}$ ${\ displaystyle g \ in G}$

{\ Displaystyle (\ phi \ psi) (g) = \ sum _ {k \ ell = g} \ phi (k) \ psi (\ ell)}

.

Если G является группой , то R [ G ] также называется кольцом группы из G над R .

Универсальная собственность

Для R и G существует гомоморфизм колец α: R → R [ G ], переводящий каждое r в r 1 (где 1 - единичный элемент группы G ), и гомоморфизм моноидов β: G → R [ G ] (где последнее рассматривается как моноид при умножении), переводя каждый g в 1 g (где 1 - мультипликативная единица R ). Мы имеем , что а ( г ) коммутирует с β ( г ) для всех г в R и г в G .

Универсальное свойство моноидного кольца утверждает, что для кольца S , гомоморфизма колец α ': R → S и гомоморфизма моноида β': G → S в мультипликативный моноид кольца S , такие что α '( r ) коммутирует с β '( g ) для всех r в R и g в G существует единственный гомоморфизм колец γ: R [ G ] → S, такой, что составление α и β с γ дает α' и β '.

Увеличение

Увеличение является кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R определяется

{\ displaystyle \ eta \ left (\ sum _ {g \ in G} r_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} r_ {g}.}

Ядро из п называется увеличение идеал . Это свободный R - модуль с базой , состоящей из 1 - г для всех г в G не равно 1.

Примеры

С учетом кольцом R и (аддитивный) моноидом натуральных чисел N (или { х ^п } просматривался мультипликативно), получает кольцо R [{ х ^п }] =: R [ х ] из многочленов над R . Моноид N ⁿ (с добавлением) дает кольцо многочленов с n переменными: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Обобщение

Если G - полугруппа , та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].

Смотрите также

Ссылки

Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . 211 (Rev. 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.

дальнейшее чтение

Р. Гилмер. Коммутативные полугрупповые кольца . Издательство Чикагского университета, Чикаго – Лондон, 1984 г.

Languages

In other projects