Гипотеза Мертенса - Mertens conjecture

График показывает функцию Мертенса и квадратные корни для . Вычислив эти значения, Мертенс предположил, что абсолютное значение всегда ограничено . Эта гипотеза, известная как гипотеза Мертенса, была опровергнута в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риеле . ${\ Displaystyle M (п)}$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {n}}}$${\ Displaystyle п \ leq 10 000}$${\ Displaystyle M (п)}$${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$

В математике , то гипотеза Мертенс является утверждение о том , что функция Мертенс ограничена . Хотя сейчас оно опровергнуто, оно, как было показано, подразумевает гипотезу Римана . Это предположение было высказано Томасом Джоаннесом Стилтьесом в письме 1885 года Чарльзу Эрмиту (перепечатано в Stieltjes  ( 1905 )), затем снова в печати Францем Мертенсом  ( 1897 ) и опровергнуто Эндрю Одлыжко и Германом те Риле  ( 1985 ). Это поразительный пример математической гипотезы, которая оказалась ложной, несмотря на большое количество вычислительных доказательств в ее пользу. ${\ Displaystyle M (п)}$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {n}}}$

Определение

В теории чисел мы определяем функцию Мертенса как

${\ Displaystyle М (п) = \ сумма _ {1 \ Leq К \ Leq N} \ му (к)}$

где μ (k) - функция Мёбиуса ; гипотеза Мертенс является то , что для всех п > 1,

${\ Displaystyle \ влево | М (п) \ вправо | <{\ sqrt {n}}. \,}$

Опровержение гипотезы

Стилтьеса Заявленная в 1885 году оказалась более слабым результат, а именно , что было ограниченным , но не опубликовало доказательство. (С точки зрения гипотезы Мертенса такова .) ${\ Displaystyle м (п) \ эквив М (п) / {\ sqrt {п}}}$${\ Displaystyle м (п)}$${\ Displaystyle -1 <м (п) <1}$

В 1985 году Эндрю Одлыжко и Херман те Риле доказали ложность гипотезы Мертенса, используя алгоритм редукции решеточного базиса Ленстры – Ленстры – Ловаса :

${\ Displaystyle \ liminf ~ м (п) <- 1.009 \ quad}$ и . ${\ Displaystyle \ quad \ limsup ~ м (п)> 1,06 ~}$

Позже было показано, что первый контрпример появляется ниже, но выше 10 ¹⁶ . С тех пор верхняя граница была снижена до или приблизительно, но явный контрпример не известен. ${\ displaystyle ~ e ^ {3,21 \ times 10 ^ {64}} \ приблизительно 10 ^ {1,39 \ times 10 ^ {64}} ~}$${\ displaystyle ~ e ^ {1,59 \ times 10 ^ {40}} ~}$${\ displaystyle ~ 10 ^ {6.91 \ times 10 ^ {39}} ~,}$

Закон повторного логарифма утверждает , что если μ заменяется случайной последовательностью + 1s и -1S то порядок роста частичной суммы первых п слагаемых (с вероятностью 1) о √ н лог - лог н , который предполагает, что порядок роста m ( n ) может быть где-то около √ log log n . Фактический порядок роста может быть несколько меньше; в начале 1990-х годов Гонек предположил, что порядок роста m ( n ) был , который был подтвержден Ng (2004), на основе эвристического аргумента, который предполагал гипотезу Римана и некоторые предположения об усредненном поведении нулей Римана дзета-функция. ${\ Displaystyle (\ журнал {\ журнал {\ журнал {п}}}) ^ {5/4}}$

В 1979 году Коэн и платье найдено наибольшее известное значение для M (7766842813) = 50286, а в 2011 году, Кузнецов нашел наибольшее известное отрицательное значение для M (11609864264058592345) = -1995900927. В 2016 году Херст вычислил M ( n ) для каждого n ≤ 10 ^16, но не нашел больших значений m ( n ) . ${\ Displaystyle ~ м (п) \ приблизительно 0,570591 ~}$${\ displaystyle m (n) \ приблизительно -0,585768}$

В 2006 году Котник и те Риле улучшили верхнюю границу и показали, что существует бесконечно много значений n, для которых m ( n )> 1,2184 , но не дали никакого конкретного значения для такого n . В 2016 году Херст добился дальнейших улучшений, продемонстрировав

${\ Displaystyle \ liminf ~ м (п) <- 1,837625 \ quad}$ и . ${\ displaystyle \ quad \ limsup ~ m (n)> 1.826054 ~}$

Связь с гипотезой Римана

Связь с гипотезой Римана основана на ряде Дирихле для обратной дзета-функции Римана ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}, }$

действует в регионе . Мы можем переписать это как интеграл Стилтьеса${\ displaystyle {\ mathcal {Re}} (s)> 1}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {- s} \ operatorname {d} M (x)}$

и после интегрирования по частям получить обратную величину дзета-функции как преобразование Меллина

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {s \ zeta (s)}} = \ left \ {{\ mathcal {M}} M \ right \} (- s) = \ int _ {0} ^ {\ infty } x ^ {- s} M (x) \, {\ frac {\ operatorname {d} x} {x}}.}$

Используя теорему об обращении Меллина, теперь мы можем выразить M через 1 ⁄ ζ как

${\ displaystyle M (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ sigma -i \ infty} ^ {\ sigma + i \ infty} {\ frac {x ^ {s} } {s \ zeta (s)}} \ operatorname {d} s}$

что справедливо для 1 <σ <2 и справедливо для 1 ⁄ 2 <σ <2 по гипотезе Римана. Отсюда интеграл преобразования Меллина должен сходиться, и, следовательно, M ( x ) должен быть O ( x ^e ) для каждого показателя e, большего, чем 1 / 2 . Из этого следует, что

${\ Displaystyle М (х) = О (х ^ {{\ tfrac {1} {2}} + \ epsilon})}$

для всех положительных ε эквивалентно гипотезе Римана, которая, следовательно, следовала бы из более сильной гипотезы Мертенса, и следует из гипотезы Стилтьеса, что

${\ Displaystyle М (х) = О (х ^ {\ tfrac {1} {2}}) ~}$ .

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Котник, Тадей; те Риле, Герман (2006). «Возвращение к гипотезе Мертенса». В Гессе, Флориане (ред.). Алгоритмическая теория чисел. 7-й международный симпозиум ANTS-VII, Берлин, Германия, 23–28 июля 2006 г. Материалы . Конспект лекций по информатике. 4076 . Берлин: Springer-Verlag . С. 156–167. DOI : 10.1007 / 11792086_12 . ISBN   3-540-36075-1 . Zbl   1143.11345 .
• Котник, Т .; ван де Люн, Дж. (2004). «О порядке функции Мертенса» (PDF) . Экспериментальная математика . 13 (4): 473–481. DOI : 10.1080 / 10586458.2004.10504556 . Архивировано из оригинального (PDF) 3 апреля 2007 года.
• Мертенс, Ф. (1897). "Über eine zahlentheoretische Funktion". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a . 106 : 761–830.
• Одлызко AM ; тэ Riele, HJJ (1985), "Опровержение из Мертенс гипотезы" (PDF) , Journal für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 1985 (357): 138-160, DOI : 10,1515 / crll.1985.357.138 , ISSN   0075-4102 , Руководство по ремонту   0783538 , Zbl   0544.10047
• Пинц, Дж. (1987). «Эффективное опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl   0623.10031 .
• Шандор, Йожеф; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I , Дордрехт: Springer-Verlag , стр. 187–189, ISBN   1-4020-4215-9 , Zbl   1151,11300
• Stieltjes, TJ (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre # 79", в Baillaud, B .; Бурже, Х. (ред.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes , Париж: Готье-Виллар, стр. 160–164.

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Мертенса» . MathWorld .

Внешние ссылки

• «Премьер-сюрприз (гипотеза Мертенса)» . Numberphile . 23 января 2020 г. - через YouTube .