Принцип Мопертюи - Maupertuis's principle

В классической механике , принцип Мопертюй (названный в честь Мопертюй ) утверждает , что путь с последующим физической системой является одним из наималейшей длины (с подходящей интерпретацией пути и длиной ). Это частный случай более общего принципа наименьшего действия . Используя вариационное исчисление , это приводит к формулировке интегрального уравнения уравнений движения для системы.

Математическая формулировка

Принцип гласит Маупертуис о том , что истинный путь системы , описываемые обобщенных координат между двумя указанными состояниями и является стационарной точкой (т.е. экстремум (минимум или максимум) или седло) из укороченного действия функционального ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ left (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} [\ mathbf {q} (t)] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q}}

где - сопряженные импульсы обобщенных координат, определяемые уравнением ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {N} \ right)}$

{\ displaystyle p_ {k} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}}}

где - функция Лагранжа системы. Другими словами, любой первого порядка возмущение результатов траектории в (самое большее) второго порядка изменения . Обратите внимание, что сокращенное действие - это функционал (то есть функция из векторного пространства в его базовое скалярное поле), который в этом случае принимает в качестве входных данных функцию (то есть пути между двумя указанными состояниями). ${\ Displaystyle L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, т)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$

Формулировка Якоби

Для многих систем кинетическая энергия квадратична по обобщенным скоростям ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ \ mathbf {M} \ {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {\ intercal}}

хотя массовый тензор может быть сложной функцией обобщенных координат . Для таких систем простое соотношение связывает кинетическую энергию, обобщенные импульсы и обобщенные скорости ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

{\ displaystyle 2T = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}}

при условии, что в потенциальную энергию не входят обобщенные скорости. Путем определения нормированного расстояния или метрики в пространстве обобщенных координат ${\ Displaystyle V (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle ds}$

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {q} \ \ mathbf {M} \ d \ mathbf {q ^ {\ intercal}}}

можно сразу узнать тензор масс как метрический тензор . Кинетическая энергия может быть записана в безмассовой форме

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2}}

или же,

{\ displaystyle 2Tdt = {\ sqrt {2T}} \ ds.}

Следовательно, сокращенное действие можно записать

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} = \ int ds \ , {\ sqrt {2}} {\ sqrt {E _ {\ text {tot}} - V (\ mathbf {q})}}}

поскольку кинетическая энергия равна (постоянной) полной энергии за вычетом потенциальной энергии . В частности, если потенциальная энергия постоянна, то принцип Якоби сводится к минимизации длины пути в пространстве обобщенных координат, что эквивалентно принципу наименьшей кривизны Герца . ${\ Displaystyle Т = Е _ {\ текст {tot}} - V (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {tot}}}$ ${\ Displaystyle V (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle s = \ int ds}$

Сравнение с принципом Гамильтона

Принцип Гамильтона и принцип Мопертюи иногда путают, и оба они называются принципом наименьшего действия . Они отличаются друг от друга тремя важными способами:

их определение действия ...

Принцип использования Гамильтона , интеграл от лагранжиана по времени , различались между двумя фиксированными конечными временами , и конечными точками , . В отличие от этого, принцип Мопертюи использует сокращенный интеграл действия по обобщенным координатам , изменяемый на всех путях постоянной энергии, заканчивающихся на и .

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int L \, dt}

{\ displaystyle t_ {1}}

{\ displaystyle t_ {2}}

{\ displaystyle q_ {1}}

{\ displaystyle q_ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1}}

{\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2}}

решение, которое они определяют ...

Принцип Гамильтона определяет траекторию как функцию времени, тогда как принцип Мопертюи определяет только форму траектории в обобщенных координатах. Например, принцип Мопертюи определяет форму эллипса, по которому частица движется под действием центральной силы, обратной квадрату, такой как гравитация , но не описывает сам по себе, как частица движется по этой траектории. (Однако эта временная параметризация может быть определена из самой траектории в последующих расчетах с использованием сохранения энергии.) Напротив, принцип Гамильтона прямо определяет движение по эллипсу как функцию времени.

{\ Displaystyle \ mathbf {д} (т)}

... и ограничения на вариацию.

Принцип Мопертюи требует, чтобы были заданы два состояния конечной точки и, а энергия сохранялась вдоль каждой траектории. Напротив, принцип Гамильтона не требует сохранения энергии, но требует, чтобы были указаны конечные моменты времени и, а также конечные состояния и .

{\ displaystyle q_ {1}}

{\ displaystyle q_ {2}}

{\ displaystyle t_ {1}}

{\ displaystyle t_ {2}}

{\ displaystyle q_ {1}}

{\ displaystyle q_ {2}}

История

Мопертюи был первым, кто опубликовал принцип наименьшего действия , в котором он определил действие как , которое должно быть минимизировано на всех путях, соединяющих две указанные точки. Однако Мопертюи применил этот принцип только к свету, а не к материи (см. Ссылку Мопертюи 1744 года ниже ). Он прибыл в принципе, рассматривая закон Снеллиуса для преломления от света , который Ферма был объяснить принцип Ферма , что свет идет по пути кратчайшего времени , а не расстояние. Это беспокоило Мопертюи, поскольку он считал, что время и расстояние должны быть равны: «почему свет должен предпочитать путь кратчайшего времени пути расстояния?» Соответственно, Мопертюи утверждает без дальнейшего обоснования принцип наименьшего действия как эквивалентный, но более фундаментальный, чем принцип Ферма , и использует его для вывода закона Снеллиуса . Мопертюи особо отмечает, что свет не подчиняется тем же законам, что и материальные объекты. ${\ displaystyle \ int v \, ds}$

Несколько месяцев спустя, задолго до того, как работа Мопертюи появилась в печати, Леонард Эйлер независимо определил действие в его современной сокращенной форме и применил его к движению частицы, но не к свету (см. Ссылку Эйлера 1744 года ниже ). Эйлер также признал, что принцип действовал только тогда, когда скорость была функцией только положения, то есть когда сохранялась общая энергия. (Фактор массы в действии и требование сохранения энергии не имели отношения к Мопертюи, которого интересовал только свет.) Эйлер использовал этот принцип, чтобы вывести уравнения движения частицы в однородном движении, в однородном и неоднородном. однородное силовое поле и в центральном силовом поле. Подход Эйлера полностью соответствует современному пониманию принципа Мопертюи, описанному выше, за исключением того, что он настаивал на том, что действие всегда должно быть минимальным, а не стационарной точкой. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int mv \, ds \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=} } \ \ int p \, dq}$

Два года спустя Мопертюи цитирует работу Эйлера 1744 года как «прекрасное приложение моего принципа к движению планет» и продолжает применять принцип наименьшего действия к проблеме рычага в механическом равновесии и к идеально упругим и совершенно неупругим столкновениям ( см. публикацию 1746 года ниже ). Таким образом, Мопертюи считает, что принцип наименьшего действия является общим принципом, применимым ко всем физическим системам (а не только к свету), тогда как исторические данные свидетельствуют о том, что Эйлер был тем, кто совершил этот интуитивный скачок. Примечательно, что определения действия Мопертюи и протоколы его минимизации в этой статье несовместимы с современным подходом, описанным выше. Таким образом, опубликованная работа Мопертюи не содержит ни одного примера, в котором он использовал бы принцип Мопертюи (в его нынешнем понимании).

В 1751 году приоритет Мопертюи принципа наименьшего действия был оспорен в печати ( Nova Acta Eruditorum of Leipzig) старый знакомый Иоганн Самуэль Кениг, который процитировал письмо 1707 года, предположительно от Лейбница, в котором описаны результаты, аналогичные результатам, полученным Эйлером в 1744 году. Однако Мопертюи и другие потребовали, чтобы Кениг предъявил оригинал письма для подтверждения того, что оно было написано Лейбницем. У Кенига была только копия, но он не знал, где находится оригинал. Следовательно, Берлинская академия под руководством Эйлера объявила письмо подделкой и что ее президент Мопертюи может продолжать требовать приоритета за изобретение этого принципа. Кениг продолжал бороться за приоритет Лейбница, и вскоре Вольтер и король Пруссии Фридрих II были вовлечены в ссору. Однако никакого прогресса не было достигнуто до рубежа двадцатого века, когда были обнаружены другие независимые копии письма Лейбница.

Смотрите также

Аналитическая механика
Принцип Гамильтона
Принцип наименьшего принуждения Гаусса (также описывает принцип наименьшей кривизны Герца )
Уравнение Гамильтона – Якоби

Languages

In other projects