Принцип стационарного действия - Stationary-action principle

В этой статье обсуждается история принципа наименьшего действия. По поводу приложения обратитесь к действию (физика) .

Принцип действия стационарной - также известный как принцип наименьшего действия - это вариационный принцип , что, когда применяется к действию в виде механической системы, дает уравнения движения для этой системы. Этот принцип гласит , что траектории (т.е. решения уравнений движения) являются стационарными точками из системы функционала действия . Термин «наименьшее действие» является исторически неправильным, поскольку принцип не имеет требования минимальности: значение функционала действия не обязательно должно быть минимальным (даже локально) на траекториях.

Этот принцип может быть использован для вывода ньютоновских , лагранжевых и гамильтоновых уравнений движения и даже общей теории относительности (см. Действие Эйнштейна – Гильберта ). В теории относительности необходимо минимизировать или максимизировать другое действие.

Классическая механика и электромагнитные выражения являются следствием квантовой механики. Метод стационарного действия помог в развитии квантовой механики. В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип может быть использован в квантовых вычислениях, выявив квантово-механическую основу принципа квантовой интерференции амплитуд. Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо применили этот принцип в квантовой электродинамике.

Этот принцип остается центральным в современной физике и математике , применяется в термодинамике , механике жидкости , теории относительности , квантовой механике , физике элементарных частиц и теории струн и является центром современных математических исследований в теории Морса . Принцип Мопертюи и принцип Гамильтона иллюстрируют принцип стационарного действия.

Принципу действия предшествуют более ранние идеи в оптике . В Древней Греции , Евклид написал в своем Catoptrica , что, по пути света , отражаясь от зеркала, то угол падения равняется углу отражения . Позже герой Александрии показал, что этот путь был кратчайшим по длине и по времени.

Ученые часто приписывают Пьеру Луи Мопертюи формулировку принципа наименьшего действия, поскольку он писал об этом в 1744 и 1746 годах. Однако Леонард Эйлер обсуждал этот принцип в 1744 году, и данные показывают, что Готфрид Лейбниц опередил обоих на 39 лет.

Общее заявление

По мере развития системы q отслеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие ( δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы ( δ q ).

Отправной точкой является действие физической системы , обозначаемое (каллиграфически S). Это определяется как интеграл от лагранжиана L между двумя моментами времени T 1 и T 2 - технически функционал из N обобщенных координат д = ( д 1 , д 2 , ..., д Н ) , которые являются функциями времени и определим конфигурацию системы:

где точка обозначает производную по времени , а t - время.

Математически принцип

где δ (строчная греческая дельта ) означает небольшое изменение. На словах это гласит:

Путь, пройденный системой между моментами времени t 1 и t 2 и конфигурациями q 1 и q 2, является тем, для которого действие является стационарным (без изменений) до первого порядка .

Стационарное действие не всегда является минимумом, несмотря на историческое название наименьшего действия. Это принцип минимума для достаточно коротких конечных отрезков пути.

В приложениях заявление и определение действия взяты вместе:

И действие, и лагранжиан содержат динамику системы на все времена. Термин «путь» просто относится к кривой, начерченной системой в терминах координат в пространстве конфигурации , то есть кривой q ( t ), параметризованной временем (см. Также параметрическое уравнение для этой концепции).

Истоки, утверждения и противоречия

Ферма

В 1600-х годах Пьер де Ферма постулировал, что « свет проходит между двумя заданными точками по пути кратчайшего времени », что известно как принцип наименьшего времени или принцип Ферма .

Мопертюи

Кредит за формулировку принципа наименьшего действия обычно отдается Пьеру Луи Мопертюи , который считал, что «Природа бережлив во всех своих действиях», и широко применял этот принцип:

Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности такие же, как и наблюдаемые в природе, мы можем восхищаться применением его ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений ... это только его последствия; и зрелище вселенной становится настолько грандиознее, красивее, достойнее своего Автора, когда известно, что небольшого числа законов, установленных самым мудрым образом, достаточно для всех движений.

-  Пьер Луи Мопертюи

Это понятие Мопертюи, хотя и несколько детерминированное сегодня, действительно отражает большую часть сути механики.

Применительно к физике Мопертюи предположил, что минимизируемая величина является произведением продолжительности (времени) движения внутри системы на « vis viva »,

Принцип Мопертюи

который является интегралом удвоенной величины того, что мы теперь называем кинетической энергией T системы.

Эйлер

Леонард Эйлер сформулировал принцип действия в 1744 году в очень узнаваемых терминах в Additamentum 2 к его Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes . Начиная со второго абзаца:

Пусть масса снаряда равна M , а его скорость будет равна v при перемещении на бесконечно малое расстояние ds . У тела будет импульс Mv, который, умноженный на расстояние ds , даст Mv ds , импульс тела, проинтегрированный по расстоянию ds . Теперь я утверждаю, что кривая, описанная таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих те же конечные точки), которая минимизирует

или, при условии, что M постоянно на пути,

.
-  Леонард Эйлер

Как утверждает Эйлер, ∫ Mv d s - это интеграл количества движения от пройденного расстояния, который в современных обозначениях равен сокращенному или сокращенному действию

Принцип Эйлера

Таким образом, Эйлер сделал эквивалентное и (очевидно) независимое утверждение вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и несколько позже. Любопытно, что Эйлер не претендовал на приоритет, как показывает следующий эпизод.

Спорный приоритет

Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Сэмюэлем Кенигом , который утверждал, что он был изобретен Готфридом Лейбницем в 1707 году. Хотя этот принцип подобен многим аргументам Лейбница, сам принцип не был задокументирован в трудах Лейбница. Сам Кениг показал копию письма 1707 года от Лейбница Якову Герману с принципом, но оригинал письма был утерян. В ходе судебного разбирательства Кенига обвинили в подделке документов, и даже король Пруссии вступил в дебаты, защищая Мопертюи (главу его Академии), в то время как Вольтер защищал Кенига.

Эйлер, вместо того, чтобы претендовать на приоритет, был стойким защитником Мопертюи, и сам Эйлер преследовал Кенига за подделку документов перед Берлинской академией 13 апреля 1752 года. Заявления о подделке документов были пересмотрены 150 лет спустя, а архивные работы - К.И. Герхардтом в 1898 году. и В. Кабиц в 1913 г. обнаружили в архивах Бернулли другие копии этого письма и три других, цитируемых Кенигом .

Дальнейшее развитие

Эйлер продолжал писать на эту тему; в своих « Рефлексиях о келькес женераль-де-ла-природа» (1748) он назвал количество «усилием». Его выражение соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией , так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в состоянии покоя примет конфигурацию, которая минимизирует общую потенциальную энергию.

Лагранж и Гамильтон

Большая часть вариационного исчисления была изложена Жозефом-Луи Лагранжем в 1760 году, и он применил его к задачам динамики. В « Mécanique analytique» (1788 г.) Лагранж вывел общие уравнения движения механического тела. Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 годах применил вариационный принцип к классической функции Лагранжа.

получить уравнения Эйлера – Лагранжа в их нынешнем виде.

Якоби, Морс и Каратеодори

В 1842 году Карл Густав Якоби занялся проблемой, всегда ли вариационный принцип находит минимумы по сравнению с другими стационарными точками (максимумами или стационарными седловыми точками ); большая часть его работ была сосредоточена на геодезических на двумерных поверхностях. Первые четкие общие утверждения были сделаны Марстоном Морсом в 1920-х и 1930-х годах, что привело к тому, что сейчас известно как теория Морса . Например, Морс показал, что количество сопряженных точек на траектории равно количеству отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана. Особенно элегантный вывод уравнения Эйлера-Лагранжа был сформулирован Константином Каратеодори и опубликован им в 1935 году.

Гаусс и Герц

Были сформулированы другие экстремальные принципы классической механики , такие как принцип наименьшего принуждения Гаусса и его следствие принцип наименьшей кривизны Герца .

Споры о возможных телеологических аспектах

Математическая эквивалентность дифференциальных уравнений движения и их интегрального аналога имеет важные философские последствия. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или одном моменте времени. Например, второй закон Ньютона

утверждает, что мгновенная сила F, приложенная к массе m, вызывает ускорение a в тот же момент . Напротив, принцип действия не ограничен определенной точкой; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) по расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классических принципов действия начальное и конечное состояния системы фиксированы, например,

Учитывая, что частица начинается в позиции x 1 в момент времени t 1 и заканчивается в позиции x 2 в момент времени t 2 , физическая траектория, которая соединяет эти две конечные точки, является экстремумом интеграла действия.

В частности, фиксация конечного состояния была интерпретирована как придающая принципу действия телеологический характер, который исторически был спорным. Однако, согласно У. Юрграу и С. Мандельштаму, телеологический подход ... предполагает, что сами вариационные принципы обладают математическими характеристиками, которыми они фактически не обладают. Кроме того, некоторые критики утверждают, что эта очевидная телеология возникает из-за того, как был задан вопрос. Определяя некоторые, но не все аспекты как начальных, так и конечных условий (положения, но не скорости), мы делаем некоторые выводы о начальных условиях из конечных условий, и именно этот «обратный» вывод можно рассматривать как телеологическое объяснение. Телеологию также можно преодолеть, если рассматривать классическое описание как предельный случай квантового формализма интегрирования путей , в котором стационарные пути получаются в результате интерференции амплитуд вдоль всех возможных путей.

Рассказ « История твоей жизни » писателя-фантаста Теда Чанга содержит визуальные изображения Принципа Ферма, а также обсуждение его телеологического измерения. Книга Кита Девлина « Математический инстинкт» содержит главу «Элвис, валлийский корги, умеющий проводить вычисления», в которой обсуждаются вычисления, «встроенные» в некоторых животных, поскольку они решают проблему «наименьшего времени» в реальных ситуациях.

Смотрите также

Примечания и ссылки

внешние ссылки