Лагранжева механика - Lagrangian mechanics

Часть серии о
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История Лента новостей Учебники
ветви
Основы
Составы
Основные темы
Вращение
Ученые
Физический портал  Категория
v т е

Представленная итало-французским математиком и астрономом Жозефом-Луи Лагранжем в 1788 году из его работы Mécanique analytique , лагранжева механика представляет собой формулировку классической механики и основана на принципе стационарного действия .

Механика Лагранжа определяет механическую систему , чтобы быть парой из конфигурационного пространства и гладкая функция называется лагранжиан . По соглашению, где и - кинетическая и потенциальная энергия системы соответственно. Здесь и - вектор скорости при касательной к (Для тех, кто знаком с касательными расслоениями , и${\ Displaystyle (М, L)}$ ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle L = L (д, v, т)}$${\ displaystyle L = TV,}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle q \ in M,}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle (v}$${\ displaystyle M).}$${\ displaystyle L: TM \ times \ mathbb {R} _ {t} \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle v \ in T_ {q} M).}$

Учитывая моменты времени и механика Лагранжа постулаты , что гладкий путь описывает временную эволюцию данной системы , если и только если это стационарная точка из функционала действия${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle t_ {2},}$${\ displaystyle x_ {0}: [t_ {1}, t_ {2}] \ to M}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle {\ cal {S}} [x] \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (x (t), {\ dot {x}} (t), t) \, dt.}$

Если - открытое подмножество и конечны, то гладкий путь является стационарной точкой, если все его производные по направлению равны нулю, т. Е. Для каждого гладкого пути.${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle t_ {1},}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle {\ cal {S}}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ delta: [t_ {1}, t_ {2}] \ to \ mathbb {R} ^ {n},}$

${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}} \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ frac {d} {d \ varepsilon}} {\ Biggl |} _ {\ varepsilon = 0} {\ cal {S}} \ left [x_ {0} + \ varepsilon \ delta \ right] = 0.}$

Функция в правой части называется возмущением или виртуальным перемещением . Производная по направлению слева известна как вариация в физике и производная Гато в математике. ${\ Displaystyle \ дельта (т)}$${\ displaystyle \ delta {\ cal {S}}}$

Лагранжева механика была расширена, чтобы учесть неконсервативные силы.

Вступление

Предположим, что существует шарик, скользящий по проволоке, или качающийся простой маятник и т. Д. Если отслеживать каждый из массивных объектов (шарик, маятник и т. Д.) Как частицу, расчет движения частицы с использованием ньютоновской механики потребует решения для изменяющейся во времени сдерживающей силы, необходимой для удержания частицы в ограниченном движении (сила реакции, оказываемая проволокой на валик, или натяжение стержня маятника). Для той же задачи с использованием лагранжевой механики можно посмотреть, какой путь может пройти частица, и выбрать удобный набор независимых обобщенных координат, которые полностью характеризуют возможное движение частицы. Такой выбор избавляет от необходимости вводить силу ограничения в результирующую систему уравнений. Уравнений меньше, поскольку нельзя напрямую вычислять влияние ограничения на частицу в данный момент.

Для самых разных физических систем, если размер и форма массивного объекта незначительны, полезно рассматривать его как точечную частицу . Для системы N точечных частиц с массами т ₁ , т ₂ , ..., м _N , каждая частица имеет вектор позиции , обозначаемую г ₁ , г ₂ , ..., г _N . Часто бывает достаточно декартовых координат , поэтому r ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), r ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) и так далее. В трехмерном пространстве каждый вектор положения требует трех координат для однозначного определения местоположения точки, поэтому существует 3 N координат для однозначного определения конфигурации системы. Все это определенные точки в космосе, в которых можно найти частицы; общая точка в пространстве записывается r = ( x , y , z ). Скорость каждой частицы, как быстро частица движется вдоль его пути движения, и является производной по времени от его положения, таким образом ,

В механике Ньютона уравнения движения задаются законами Ньютона . Второй закон «чистая сила равна массе, умноженной на ускорение »,применяется к каждой частице. Для системы N частиц в 3 измерениях существует 3 N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в положениях частиц, которые необходимо решить.

Лагранжиан

Вместо сил лагранжева механика использует энергии в системе. Центральным параметром лагранжевой механики является лагранжиан , функция, которая суммирует динамику всей системы. В целом, в лагранжиане есть единицы энергии, но нет единого выражения для всех физических систем. Любая функция, которая генерирует правильные уравнения движения в соответствии с физическими законами, может быть принята в качестве лагранжиана. Тем не менее, можно построить общие выражения для больших классов приложений. Нерелятивистский Лагранж для системы частиц может быть определен

${\ displaystyle L = TV}$

куда

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} v_ {k} ^ {2}}$

- полная кинетическая энергия системы, равная сумме Σ кинетических энергий частиц, а V - потенциальная энергия системы.

Кинетическая энергия - это энергия движения системы, а v _k ² = v _k · v _k - квадрат величины скорости, эквивалентный скалярному произведению скорости на себя. Кинетическая энергия зависит только от скоростей v _k , а не от положений r _k и времени t , поэтому T = T ( v ₁ , v ₂ , ...).

Потенциальная энергия системы отражает энергию взаимодействия между частицами, т.е. сколько энергии любой частицы будет иметь из - за всех других людей и других внешних воздействий. Для консервативных сил (например, ньютоновской гравитации ) это функция только векторов положения частиц, поэтому V = V ( r ₁ , r ₂ , ...). Для тех неконсервативных сил, которые могут быть получены из соответствующего потенциала (например, электромагнитного потенциала ), скорости также появятся, V = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ...) . Если есть какое-то внешнее поле или внешняя движущая сила, изменяющаяся со временем, потенциал будет меняться со временем, поэтому в большинстве случаев V = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ..., t ) .

Приведенная выше форма L не выполняется в релятивистской лагранжевой механике и должна быть заменена функцией, совместимой со специальной или общей теорией относительности. Кроме того , для диссипативных сил другая функция должна быть введена вместе с L .

Одна или несколько частиц могут быть подвержены одной или нескольким голономным ограничениям ; такое ограничение описывается уравнением вида f ( r , t ) = 0. Если количество ограничений в системе равно C , то каждое ограничение имеет уравнение, f ₁ ( r , t ) = 0, f ₂ ( r , t ) = 0, ... f _C ( r , t ) = 0, каждая из которых может применяться к любой из частиц. Если на частицу k действует ограничение i , то f _i ( r _k , t ) = 0. В любой момент времени координаты связанной частицы связаны друг с другом и не являются независимыми. Уравнения ограничений определяют допустимые пути, по которым частицы могут двигаться, но не то, где они находятся или с какой скоростью они движутся в каждый момент времени. Неголономные связи зависят от скоростей частиц, ускорений или более высоких производных положения. Лагранжева механика может применяться только к системам, чьи связи, если они есть, все голономны . Три примера неголономных связей: когда уравнения связей неинтегрируемы, когда связи имеют неравенства, или со сложными неконсервативными силами, такими как трение. Неголономные связи требуют специального рассмотрения, и, возможно, придется вернуться к ньютоновской механике или использовать другие методы.

Если T или V или оба явно зависят от времени из-за изменяющихся во времени ограничений или внешних воздействий, лагранжиан L ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ... t ) явно зависит от времени . Если ни потенциал, ни кинетическая энергия не зависят от времени, то лагранжиан L ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ...) явно не зависит от времени . В любом случае лагранжиан всегда будет иметь неявную зависимость от времени через обобщенные координаты.

С этими определениями уравнения Лагранжа первого рода имеют вид

где k = 1, 2, ..., N обозначает частицы, существует множитель Лагранжа λ _i для каждого уравнения связи f _i , и

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} \ Equiv \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}}, {\ frac { \ partial} {\ partial y_ {k}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {k}}} \ right) \ ,, \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} \ Equiv \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {x}} _ {k}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {y}} _ {k}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {z}} _ {k}}} \ right)}$

каждая является сокращением для вектора частных производных ∂ / ∂ по указанным переменным (не производной по всему вектору). Каждая точка является сокращением производной по времени . Эта процедура увеличивает количество решаемых уравнений по сравнению с законами Ньютона с 3 N до 3 N + C , потому что существует 3 N связанных дифференциальных уравнений второго порядка в координатах положения и множителях, а также C уравнений ограничений. Однако при решении вместе с координатами положения частиц множители могут дать информацию о силах связи. Координаты не нужно исключать, решая уравнения связей.

В лагранжиане координаты положения и компоненты скорости - все независимые переменные , и производные лагранжиана берутся по ним отдельно в соответствии с обычными правилами дифференцирования (например, производная L по компоненту скорости z частицы 2 , v _{z 2} = d z ₂ / d t , именно так; не нужно использовать неуклюжие цепные правила или полные производные, чтобы связать компонент скорости с соответствующей координатой z ₂ ).

В каждом уравнении ограничения одна координата является избыточной, потому что она определяется из других координат. Количество независимых поэтому координат п = 3 Н - С . Мы можем преобразовать каждый вектор положения к общему набору п обобщенных координат , удобно записать в виде п -кратного д = ( д ₁ , д ₂ , ... д _п ), выражая каждый вектор положения, и , следовательно, координаты положения, как функции обобщенных координат и времени,

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {r} _ {k} (\ mathbf {q}, t) = (x_ {k} (\ mathbf {q}, t), y_ {k } (\ mathbf {q}, t), z_ {k} (\ mathbf {q}, t), t) \ ,.}$

Вектор q - это точка в конфигурационном пространстве системы. Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями, и для каждой частицы преобразование ее вектора скорости, полная производная ее положения по времени, равно

${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm {d} t}} \ ,, \ quad \ mathbf {v} _ { k} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j } + {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial t}} \ ,.}$

Учитывая это v _k , кинетическая энергия в обобщенных координатах зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени, если векторы положения явно зависят от времени из-за изменяющихся во времени ограничений, поэтому T = T ( q , d q / d t , т ).

С этими определениями уравнения Эйлера – Лагранжа или уравнения Лагранжа второго рода

представляют собой математические результаты вариационного исчисления , которые также могут быть использованы в механике. Подстановка в лагранжиан L ( q , d q / d t , t ) дает уравнения движения системы. Количество уравнений уменьшилось по сравнению с механикой Ньютона, с 3 N до n = 3 N - C связанных дифференциальных уравнений второго порядка в обобщенных координатах. Эти уравнения вообще не включают в себя силы связи, необходимо учитывать только силы, не являющиеся связями.

Хотя уравнения движения включают частные производные , результаты частных производных по-прежнему являются обыкновенными дифференциальными уравнениями в координатах положения частиц. Полная производная по времени , обозначаемый д / д т часто включает в себя неявное дифференцирование . Оба уравнения линейны по лагранжиану, но, как правило, будут нелинейными связанными уравнениями по координатам.

От ньютоновской механики к лагранжевой

Законы Ньютона

Для простоты законы Ньютона можно проиллюстрировать для одной частицы без особой потери общности (для системы из N частиц все эти уравнения применимы к каждой частице в системе). Уравнение движения для частицы массы т является вторым законом Ньютона из 1687, в современной векторной записи

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = м \ mathbf {а} \ ,,}$

где a - его ускорение, а F - действующая на него равнодействующая сила . В трех пространственных измерениях это система трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые необходимо решить, поскольку в этом векторном уравнении есть три компонента. Растворы положение векторов г частиц в момент времени Т , с учетом начальных условий в г и V при т = 0.

Законы Ньютона легко использовать в декартовых координатах, но декартовы координаты не всегда удобны, а для других систем координат уравнения движения могут стать сложными. В наборе криволинейных координат ξ = ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ) закон в обозначении тензорных индексов является «лагранжевой формой»

${\ Displaystyle F ^ {a} = m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ xi ^ {a}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ Gamma ^ {a} {} _ {bc} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {b}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {c}} {\ mathrm {d} t}} \ right) = g ^ {ak} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {\ xi}} ^ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial \ xi ^ {k}}} \ right) \ ,, \ quad {\ dot {\ xi} } ^ {а} \ Equiv {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {a}} {\ mathrm {d} t}} \ ,,}$

где F ^a - a- я контравариантная составляющая результирующей силы, действующей на частицу, Γ ^a _bc - символы Кристоффеля второго рода,

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} mg_ {bc} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {b}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {c}} {\ mathrm {d} t}}}$

кинетическая энергия частицы, а г _{до н.э.} в ковариантном компоненте этого метрического тензора в криволинейной системе координат. Все индексы a , b , c принимают значения 1, 2, 3. Криволинейные координаты не то же самое, что обобщенные координаты.

Представление закона Ньютона в такой форме может показаться чрезмерным усложнением, но у него есть свои преимущества. Компоненты ускорения в терминах символов Кристоффеля можно избежать, вычислив вместо этого производные кинетической энергии. Если на частицу не действует равнодействующая сила, F = 0 , она не ускоряется, а движется с постоянной скоростью по прямой. Математически решения дифференциального уравнения - это геодезические , кривые экстремальной длины между двумя точками в пространстве (они могут оказаться минимальными, так что это кратчайшие пути, но это не обязательно). В плоском трехмерном реальном пространстве геодезические - это просто прямые линии. Итак, для свободной частицы второй закон Ньютона совпадает с уравнением геодезических, и состояния свободных частиц следуют геодезическим, экстремальным траекториям, по которым они могут двигаться. Если на частицу действуют силы, F ≠ 0 , частица ускоряется из-за сил, действующих на нее, и отклоняется от геодезических, если бы она была свободна. С соответствующими расширениями величин , приведенных здесь в плоском 3D пространстве 4D искривленного пространства - времени , такая форма закона Ньютона также переносится на Эйнштейна «с общей теории относительности , в этом случае свободной частицы следуют геодезическими в искривленном пространстве - времени, которые больше не«прямые "в обычном смысле.

Однако нам все еще необходимо знать полную результирующую силу F, действующую на частицу, которая, в свою очередь, требует результирующей силы N без ограничения плюс результирующая сила ограничения C ,

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {C} + \ mathbf {N} \ ,.}$

Силы ограничения могут быть сложными, поскольку они обычно зависят от времени. Кроме того, при наличии ограничений криволинейные координаты не являются независимыми, а связаны одним или несколькими уравнениями ограничений.

Силы связи могут быть либо исключены из уравнений движения, так что остаются только силы, не являющиеся связями, либо включены путем включения уравнений связи в уравнения движения.

Принцип Даламбера

Фундаментальным результатом аналитической механики является принцип Даламбера , введенный в 1708 году Жаком Бернулли для понимания статического равновесия и разработанный Даламбером в 1743 году для решения динамических задач. Принцип утверждает, что для N частиц виртуальная работа, то есть работа вдоль виртуального смещения, δ r _k , равна нулю.

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {N} (\ mathbf {N} _ {k} + \ mathbf {C} _ {k} -m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \ ,.}$

Эти виртуальные перемещения , δ т _к , являются изменения определения бесконечно малых в конфигурации системы в соответствии с ограничением силы , действующие на систему в момент времени , то есть таким образом , что ограничение силы поддерживать движение ограниченный. Это не то же самое, что фактические смещения в системе, которые вызваны результирующими ограничивающими и не ограничивающими силами, действующими на частицу для ее ускорения и перемещения. Виртуальная работа - это работа, выполняемая при виртуальном перемещении для любой силы (ограничения или отсутствия ограничения).

Поскольку силы ограничения действуют перпендикулярно движению каждой частицы в системе, чтобы поддерживать ограничения, общая виртуальная работа сил ограничения, действующих на систему, равна нулю;

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {N} \ mathbf {C} _ {k} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \ ,,}$

так что

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {N} (\ mathbf {N} _ {k} -m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \ ,.}$

Таким образом, принцип Даламбера позволяет нам сосредоточиться только на приложенных силах, не являющихся связями, и исключить силы связи в уравнениях движения. Показанная форма также не зависит от выбора координат. Однако его нелегко использовать для составления уравнений движения в произвольной системе координат, поскольку смещения δ r _k могут быть связаны уравнением связи, которое не позволяет нам установить N отдельных слагаемых равными 0. Поэтому мы будем искать система взаимно независимых координат, для которой общая сумма будет равна 0 тогда и только тогда, когда отдельные слагаемые равны 0. Установка каждого слагаемого на 0 в конечном итоге даст нам наши разделенные уравнения движения.

Уравнения движения из принципа Даламбера

Если есть ограничения на частицу k , то, поскольку координаты положения r _k = ( x _k , y _k , z _k ) связаны вместе уравнением связи , то же самое происходит и с координатами виртуальных перемещений δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k ). Поскольку обобщенные координаты независимы, мы можем избежать сложностей с δ r _k , преобразовав в виртуальные перемещения в обобщенных координатах. Они связаны в той же форме, что и полный дифференциал ,

${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j} }} \ delta q_ {j} \ ,.}$

Не существует частной производной по времени по времени, умноженной на приращение времени, поскольку это виртуальное смещение, одно по ограничениям в момент времени.

Первый член в приведенном выше принципе Даламбера - это виртуальная работа, совершаемая силами N _k, не являющимися связями, вдоль виртуальных перемещений δ r _k , и может без потери общности быть преобразована в обобщенные аналоги с помощью определения обобщенных сил

${\ displaystyle Q_ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {N} _ {k} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} \ ,,}$

так что

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {N} _ {k} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {N} _ {k} \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} \ delta q_ {j} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} Q_ {j} \ delta q_ {j} \ ,.}$

Это половина преобразования в обобщенные координаты. Осталось преобразовать член ускорения в обобщенные координаты, что не сразу очевидно. Вспоминая форму Лагранжа второго закона Ньютона, можно найти частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам и скоростям, чтобы получить желаемый результат;

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}} \ ,.}$

Теперь принцип Даламбера находится в необходимых обобщенных координатах:

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left [Q_ {j} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ частичное T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}} \ right) \ right] \ delta q_ {j} = 0 \ ,,}$

и поскольку эти виртуальные перемещения δq _j независимы и не равны нулю, коэффициенты могут быть приравнены к нулю, что приводит к уравнениям Лагранжа или обобщенным уравнениям движения ,

${\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}} } - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}}}$

Эти уравнения эквивалентны законам Ньютона для сил, не являющихся связующими . Обобщенные силы в этом уравнении выводятся только из сил, не связанных с ограничениями - силы связи исключены из принципа Даламбера, и их не нужно находить. Обобщенные силы могут быть неконсервативными, если они удовлетворяют принципу Даламбера.

Уравнения Эйлера – Лагранжа и принцип Гамильтона.

Для неконсервативной силы , которая зависит от скорости, то может быть возможно найти потенциальную функцию энергии V , которая зависит от положений и скоростей. Если обобщенные силы Q _i могут быть получены из потенциала V, такого что

${\ displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}} } - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}} \ ,,}$

приравнивая к уравнениям Лагранжа и определяя лагранжиан как L = T - V, получаем уравнения Лагранжа второго рода или уравнения движения Эйлера – Лагранжа

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ частичное {\ dot {q}} _ {j}}} = 0 \ ,.}$

Однако уравнения Эйлера – Лагранжа могут учитывать неконсервативные силы только в том случае, если потенциал может быть найден, как показано. Это не всегда возможно для неконсервативных сил, и уравнения Лагранжа не включают никаких потенциальных, а только обобщенные силы; поэтому они более общие, чем уравнения Эйлера – Лагранжа.

Уравнения Эйлера – Лагранжа также следуют из вариационного исчисления . Вариации лагранжиана является

${\ displaystyle \ delta L = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} \ delta q_ {j} + {\ frac { \ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta {\ dot {q}} _ {j} \ right) \ ,, \ quad \ delta {\ dot {q}} _ {j} \ Equiv \ delta {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm {d} t}} \ Equiv {\ frac {\ mathrm {d} (\ delta q_ {j}) } {\ mathrm {d} t}} \ ,,}$

который имеет форму , подобную полный дифференциал из L , но виртуальные перемещения и их производные по времени замене дифференциалов, и нет приращения времени в соответствии с определением виртуальных перемещений. Интегрирование по частям по времени может передавать производную по времени & delta ; q _J к ∂ L / ∂ (д д _J / д т ), в процессе обмена г ( & delta ; q _J ) / д т в & delta ; q _J , что позволяет независимо виртуальные смещения, которые нужно факторизовать из производных лагранжиана,

${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ delta L \, \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} \ delta q_ {j} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ right) - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ right) \, \ mathrm {d } t \, = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({ \ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ right) \ delta q_ {j} \, \ mathrm {d} t \ ,.}$

Теперь, если условие δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0 выполняется для всех j , неинтегрированные члены равны нулю. Если вдобавок весь интеграл по времени от δL равен нулю, то, поскольку δq _j независимы, и единственный способ для определенного интеграла быть нулем - это если подынтегральное выражение равно нулю, каждый из коэффициентов δq _j также должен быть равен нулю. Тогда получаем уравнения движения. Это можно резюмировать с помощью принципа Гамильтона ;

${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ delta L \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,.}$

Интеграл по времени от лагранжиана - это еще одна величина, называемая действием , определяемая как

${\ Displaystyle S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, \ mathrm {d} t \ ,,}$

который является функционалом ; он принимает функцию Лагранжа все время между t ₁ и t ₂ и возвращает скалярное значение. Его размеры такие же, как [ угловой момент ], [энергия] · [время] или [длина] · [импульс]. С этим определением принцип Гамильтона таков:

${\ Displaystyle \ дельта S = 0 \ ,.}$

Таким образом, вместо того, чтобы думать о частицах, ускоряющихся в ответ на приложенные силы, можно подумать о том, что они выбирают путь с помощью стационарного действия, с конечными точками пути в конфигурационном пространстве, фиксированными в начальный и конечный моменты времени. Принцип Гамильтона иногда называют принципом наименьшего действия , однако функционал действия должен быть только стационарным , а не обязательно максимальным или минимальным значением. Любая вариация функционала дает увеличение функционального интеграла действия.

Исторически сложилось так, что идея найти кратчайший путь, по которому частица может пройти под действием силы, послужила причиной первых применений вариационного исчисления к механическим задачам, таким как проблема Брахистохрона, решенная Жаном Бернулли в 1696 году, а также Лейбницем , Даниэлем Бернулли , Примерно в то же время L'Hôpital , а в следующем году Newton . Сам Ньютон мыслил в духе вариационного исчисления, но не опубликовал. Эти идеи, в свою очередь, приводят к вариационным принципам механики Ферма , Мопертюи , Эйлера , Гамильтона и других.

Принцип Гамильтона может быть применен к неголономным связям, если уравнения связей могут быть представлены в определенной форме - линейной комбинации дифференциалов первого порядка по координатам. Полученное уравнение связи можно преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка. Здесь это не приводится.

Множители и ограничения Лагранжа

Лагранжиан L можно варьировать в декартовых координатах r _k для N частиц,

${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {r}) _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ { k}}} \ right) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,.}$

Принцип Гамильтона остается в силе, даже если координаты L , выраженные в, не являются независимыми, здесь r _k , но ограничения по-прежнему считаются голономными. Как всегда, конечные точки зафиксированы δ r _k ( t ₁ ) = δ r _k ( t ₂ ) = 0 для всех k . Что нельзя сделать, так это просто приравнять коэффициенты при δ r _k к нулю, потому что δ r _k не являются независимыми. Вместо этого можно использовать метод множителей Лагранжа для включения ограничений. Умножение каждого уравнения ограничений f _i ( r _k , t ) = 0 на множитель Лагранжа λ _i для i = 1, 2, ..., C и добавление результатов к исходному лагранжиану дает новый лагранжиан

${\ displaystyle L '= L (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {1}, {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {2}, \ ldots, t) + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} (t) f_ {i} (\ mathbf {r} _ {k}, t) \ ,.}$

Множители Лагранжа являются произвольными функциями времени t , но не функциями координат r _k , поэтому множители равны координатам положения. Варьируя этот новый лагранжиан и интегрируя по времени, получаем

${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ delta L '\ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ { k = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} \ right) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,.}$

Введенные множители могут быть найдены так, что коэффициенты при δ r _k равны нулю, даже если r _k не являются независимыми. Уравнения движения следуют. Из предыдущего анализа получение решения этого интеграла эквивалентно утверждению

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L '} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ partial L '} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k }}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} = 0 \ ,,}$

которые являются уравнениями Лагранжа первого рода . Кроме того, уравнения Эйлера-Лагранжа λ _i для нового лагранжиана возвращают уравнения связи

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L '} {\ partial \ lambda _ {i}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {\ lambda}} _ {i}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad f_ {i} (\ mathbf {r} _ {k}, t) = 0 \ ,.}$

Для случая консервативной силы, задаваемой градиентом некоторой потенциальной энергии V , функция только координат r _k , замена лагранжиана L = T - V дает

${\ displaystyle \ underbrace {{\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}}} _ {- \ mathbf {F} _ {k}} + \ underbrace {- {\ frac {\ частичное V} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}}} _ {\ mathbf {N} _ {k}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} { \ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} = 0 \ ,,}$

и идентифицируя производные кинетической энергии как (отрицательные для) результирующей силы, а производные потенциала, равные силе без ограничения, следует, что силы ограничения равны

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial \ mathbf {r} _ {k}}} \ ,,}$

таким образом, давая силы связи в явном виде в терминах уравнений связей и множителей Лагранжа.

Свойства лагранжиана

Неединственность

Лагранжиан данной системы не единственен. Лагранжево л можно умножить на постоянной от нуля а , произвольная постоянная Ь могут быть добавлены, и новый лагранжиан аЬ + Ь будет описывать точно такое же движение как L . Если, кроме того, мы ограничимся, как мы сделали выше, траекториями, ограниченными заданным интервалом времени и имеющими свои конечные точки и фиксированными, то два лагранжиана, описывающие одну и ту же систему, могут отличаться "полной производной по времени" функции , т.е. ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle [т _ {\ текст {st}}, т _ {\ текст {фин}}]}$${\ displaystyle P _ {\ text {st}} = \ mathbf {q} (t _ {\ text {st}})}$${\ displaystyle P _ {\ text {fin}} = \ mathbf {q} (t _ {\ text {fin}})}$${\ Displaystyle е (\ mathbf {q}, т)}$

${\ displaystyle L '(\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) + {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {q}, t)} {\ mathrm {d} t}},}$

где сокращение для${\ Displaystyle \ textstyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} f (\ mathbf {q}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ partial f (\ mathbf {q}, t)} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {q}, t )} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i}.}$

Оба лагранжиана и производят одни и те же уравнения движения, поскольку соответствующие действия и связаны соотношением${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L '}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S '}$

${\ displaystyle {\ begin {align} S '[\ mathbf {q}] = \ int \ limits _ {t _ {\ text {st}}} ^ {t _ {\ text {fin}}} L' (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt = \ int \ limits _ {t _ {\ text {st}}} ^ {t _ {\ text { fin}}} L (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt + \ int _ {t _ {\ text {st}}} ^ { t _ {\ text {fin}}} {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {q} (t), t)} {\ mathrm {d} t}} \, dt \\ = S [\ mathbf {q}] + f (P _ {\ text {fin}}, t _ {\ text {fin}}) - f (P _ {\ text {st}}, t _ {\ text {st}}), \ end {выровнено}}}$

с двумя последними компонентами и не зависит от${\ displaystyle f (P _ {\ text {fin}}, t _ {\ text {fin}})}$${\ displaystyle f (P _ {\ text {st}}, t _ {\ text {st}})}$${\ displaystyle \ mathbf {q}.}$

Инвариантность относительно точечных преобразований

Учитывая набор обобщенных координат q , если мы изменим эти переменные на новый набор обобщенных координат s в соответствии с точечным преобразованием q = q ( s , t ), новый лагранжиан L ′ будет функцией новых координат

${\ Displaystyle L (\ mathbf {q} (\ mathbf {s}, t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {s}, {\ dot {\ mathbf {s}}}, t), t) = L '(\ mathbf {s}, {\ dot {\ mathbf {s}}}, t) \ ,,}$

и по цепному правилу частичного дифференцирования уравнения Лагранжа инвариантны относительно этого преобразования;

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {s}} _ {i}}} = {\ frac {\ partial L '} {\ partial s_ {i}}} \ ,.}$

Это может упростить уравнения движения.

Циклические координаты и сохраняющиеся импульсы

Важным свойством лагранжиана является то, что по нему легко считываются сохраняющиеся величины . Обобщенный импульс «канонически сопряженные с» координатной д _я определяется

${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}.}$

Если лагранжиан L никак не зависит от некоторой координаты Q _I , непосредственно следует из уравнений Эйлера-Лагранжа , что

${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q }} _ {i}}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} = 0 \,}$

а интегрирование показывает, что соответствующий обобщенный импульс равен постоянной, сохраняющейся величине. Это частный случай теоремы Нётер . Такие координаты называются «циклическими» или «игнорируемыми».

Например, система может иметь лагранжиан

${\ displaystyle L (г, \ theta, {\ dot {s}}, {\ dot {z}}, {\ dot {r}}, {\ dot {\ theta}}, {\ dot {\ phi}) }, t) \ ,,}$

где r и z - длины по прямым линиям, s - длина дуги по некоторой кривой, а θ и φ - углы. Обратите внимание, что z , s и φ отсутствуют в лагранжиане, хотя их скорости отсутствуют. Тогда импульсы

${\ displaystyle p_ {z} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {z}}}} \ ,, \ quad p_ {s} = {\ frac {\ partial L} {\ partial { \ dot {s}}}} \ ,, \ quad p _ {\ phi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} \ ,,}$

все являются сохраняющимися величинами. Единицы и характер каждого обобщенного импульса будут зависеть от соответствующей координаты; в этом случае p _z - это поступательный импульс в направлении z , p _s - это также поступательный момент, измеряемый вдоль кривой s , а p _φ - момент количества движения в плоскости, в которой измеряется угол φ . Каким бы сложным ни было движение система, все координаты и скорости будут изменяться таким образом, что эти импульсы сохраняются.

Энергия

Определение

Учитывая лагранжиан энергии соответствующей механической системы, по определению, ${\ displaystyle L,}$

${\ displaystyle E = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - L.}$

Инвариантность относительно преобразований координат

В каждый момент времени энергия инвариантна относительно изменения координат конфигурационного пространства , т.е. ${\ displaystyle t,}$${\ displaystyle \ mathbf {q} \ to \ mathbf {Q}}$

${\ displaystyle E (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = E (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t).}$

Помимо этого результата, приведенное ниже доказательство показывает, что при такой замене координат производные изменяются как коэффициенты линейной формы. ${\ displaystyle \ partial L / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$

Доказательство

Для преобразования координат имеем ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} = F (\ mathbf {q}),}$ ${\ Displaystyle д \ mathbf {Q} = F _ {*} (\ mathbf {q}) d \ mathbf {q},}$ где - касательная карта векторного пространства ${\ Displaystyle F _ {*} (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \ cdot \ left (\ partial / \ partial q_ {i} {\ Bigl |} _ {\ mathbf {q}} \ right) \ {\ biggl |} \ {\ dot {q}} _ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \}}$ в векторное пространство ${\ displaystyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {Q}} _ {i} \ cdot \ left (\ partial / \ partial Q_ {i} {\ Bigl |} _ {F (\ mathbf {q})} \ right) \ {\ biggl |} \ {\ dot {Q}} _ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \},}$ а также ${\ displaystyle \ textstyle F _ {*} (\ mathbf {q}) = {\ bigl (} \ partial F_ {i} / \ partial q_ {j} {\ bigl |} _ {\ mathbf {q}} {\ bigr)} _ {я, j = 1} ^ {n}}$ - якобиан. В координатах и предыдущая формула для имеет вид После дифференцирования с использованием правила произведения ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ dot {Q}} _ {i},}$${\ displaystyle d \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {Q}}} = F _ {*} (\ mathbf {q}) {\ dot {\ mathbf {q}}}.}$ ${\ displaystyle d {\ dot {\ mathbf {Q}}} = G (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) d \ mathbf {q} + F _ {*} (\ mathbf {q}) d {\ dot {\ mathbf {q}}},}$ куда ${\ displaystyle {\ begin {align} G (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) d \ mathbf {q} & \, {\ stackrel {\ text {def}} {= }} \, d (F _ {*} (\ mathbf {q})) {\ dot {\ mathbf {q}}} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {i}} {\ partial q_ {j} \ partial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} dq_ {k} \ right) _ {i, j = 1} ^ {n} {\ dot {\ mathbf {q}}} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {j} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {i}} {\ partial q_ {j} \ partial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} dq_ {k} \ right) _ {i = 1, \ ldots, n} ^ {T} \\ & = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} dq_ {k} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} F_ {i}} {\ partial q_ {j} \ partial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} {\ dot {q}} _ {j} \ right) _ {i = 1, \ ldots, n} ^ {T} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ частичный ^ {2} F_ {i}} {\ partial q_ {j} \ partial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} {\ dot {q}} _ {j} \ справа) _ {i, k = 1} ^ {n} d \ mathbf {q}. \ end {align}}}$ В векторных обозначениях ${\ displaystyle {\ begin {align} dL (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t) & = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {Q}} } d \ mathbf {Q} + {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} d {\ dot {\ mathbf {Q}}} + {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} dt \\ & = \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {Q}}} F _ {*} (\ mathbf {q}) + {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} G (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) \ right) d \ mathbf {q} + {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} F _ {*} (\ mathbf {q}) d {\ dot {\ mathbf {q}}} + { \ frac {\ partial L} {\ partial t}}. \ end {align}}}$ С другой стороны, ${\ displaystyle dL (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} d \ mathbf {q} + {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} d {\ dot {\ mathbf {q}}} + {\ frac {\ partial L} {\ partial t }} dt.}$ Ранее упоминалось, что лагранжианы не зависят от выбора координат конфигурационного пространства, т.е. одним из следствий этого является то, что и ${\ displaystyle L (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t) = L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t).}$${\ displaystyle dL (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t) = dL (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t),}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} F _ {*} (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}.}$ Это демонстрирует, что для каждого и является четко определенной линейной формой, коэффициенты которой являются контравариантными 1-тензорами. Применяя обе части уравнения и используя приведенную выше формулу для доходности ${\ displaystyle \ mathbf {q},}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}},}$${\ displaystyle t,}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} d {\ dot {q} }_{я}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {Q}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {Q}}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}.}$ Из этого следует неизменность энергии . ${\ displaystyle E}$

Сохранение

В лагранжевой механике система замкнута тогда и только тогда, когда ее лагранжиан не зависит явно от времени. Закон сохранения энергии гласит, что энергия замкнутой системы является интегралом движения . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle E}$

Точнее, пусть - экстремаль . (Другими словами, удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа). Взяв полную производную по времени вдоль этой экстремали и используя уравнения EL, мы получим ${\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ mathbf {q} (т)}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q} (t)} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ left [E {\ biggl |} _ {\ mathbf {q} (t)} \ right].}$

Если лагранжиан явно не зависит от времени, то так , в самом деле, является интегралом движения, а это означает , что ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle \ partial L / \ partial t = 0,}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle E (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) = {\ text {const}}.}$

Следовательно, энергия сохраняется.

Кинетическая и потенциальная энергии

Отсюда также следует, что кинетическая энергия является однородной функцией степени 2 от обобщенных скоростей. Если, кроме того, потенциал V является только функцией координат и не зависит от скоростей, то прямым вычислением или использованием теоремы Эйлера для однородных функций следует , что

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = 2T \ ,.}$

При всех этих обстоятельствах постоянная

${\ displaystyle E = T + V}$

- полная энергия системы. Кинетическая и потенциальная энергии все еще изменяются по мере развития системы, но движение системы будет таким, что их сумма, полная энергия, будет постоянной. Это ценное упрощение, поскольку энергия E - это постоянная интегрирования, которая считается произвольной константой для задачи, и можно интегрировать скорости из этого отношения энергии, чтобы решить для координат. В случае, если скорость или кинетическая энергия или и то и другое зависит от времени, энергия не сохраняется.

Механическое сходство

Если потенциальная энергия является однородной функцией координат и не зависит от времени, и все векторы положения масштабируются одной и той же ненулевой константой α , r _k ′ = α r _k , так что

${\ displaystyle V (\ alpha \ mathbf {r} _ {1}, \ alpha \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, \ alpha \ mathbf {r} _ {N}) = \ alpha ^ {N } V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})}$

и время масштабируется с коэффициентом β , t ′ = βt , затем скорости v _k масштабируются с коэффициентом α / β, а кинетическая энергия T - с коэффициентом ( α / β ) ² . Весь лагранжиан был масштабирован с тем же коэффициентом, если

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ beta ^ {2}}} = \ alpha ^ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad \ beta = \ alpha ^ {1 - {\ frac {N} } {2}}} \ ,.}$

Поскольку длины и времена были масштабированы, траектории частиц в системе следуют геометрически подобным путям, различающимся по размеру. Длина l, пройденная за время t на исходной траектории, соответствует новой длине l ′, пройденной за время t ′ на новой траектории, заданной соотношениями

${\ displaystyle {\ frac {t '} {t}} = \ left ({\ frac {l'} {l}} \ right) ^ {1 - {\ frac {N} {2}}} \ ,. }$

Взаимодействующие частицы

Для данной системы, если две подсистемы A и B не взаимодействуют, лагранжиан L всей системы является суммой лагранжианов L _A и L _B для подсистем:

${\ Displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} \ ,.}$

Если они действительно взаимодействуют, это невозможно. В некоторых ситуациях может оказаться возможным разделить лагранжиан системы L на сумму невзаимодействующих лагранжианов плюс еще один лагранжиан L _AB, содержащий информацию о взаимодействии,

${\ Displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} + L_ {AB} \ ,.}$

Это может быть физически мотивировано, если принять невзаимодействующие лагранжианы только за кинетические энергии, в то время как лагранжиан взаимодействия - это полная потенциальная энергия системы. Кроме того, в предельном случае пренебрежимо малого взаимодействия L _AB стремится к нулю, что сводится к описанному выше случаю невзаимодействия.

Расширение на более чем две невзаимодействующие подсистемы несложно - общий лагранжиан представляет собой сумму отдельных лагранжианов для каждой подсистемы. Если есть взаимодействия, то могут быть добавлены лагранжианы взаимодействия.

Примеры

Следующие ниже примеры применяют уравнения Лагранжа второго рода к механическим задачам.

Консервативная сила

Частица массы m движется под действием консервативной силы, производной от градиента ∇ скалярного потенциала ,

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V (\ mathbf {r}) \ ,.}$

Если частиц больше, в соответствии с приведенными выше результатами, полная кинетическая энергия представляет собой сумму по всем кинетическим энергиям частиц, а потенциал является функцией всех координат.

Декартовы координаты

Лагранжиан частицы можно записать

${\ displaystyle L (x, y, z, {\ dot {x}}, {\ dot {y}}, {\ dot {z}}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ точка {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2}) - V (x, y, z) \ ,.}$

Уравнения движения частицы находятся с помощью уравнения Эйлера – Лагранжа для координаты x

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = { \ frac {\ partial L} {\ partial x}} \ ,,}$

с производными

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x}} = - {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} \ ,, \ quad {\ frac {\ partial L} {\ partial { \ dot {x}}}} = m {\ dot {x}} \ ,, \ quad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = m {\ ddot {x}} \ ,,}$

следовательно

${\ Displaystyle м {\ ddot {x}} = - {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} \ ,,}$

аналогично для координат y и z . Собирая уравнения в векторной форме, находим

${\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {r}}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V}$

что является вторым законом движения Ньютона для частицы, подверженной действию консервативной силы.

Полярные координаты в 2D и 3D

Лагранжиан для указанной выше задачи в сферических координатах (двумерные полярные координаты могут быть восстановлены путем задания ) с центральным потенциалом имеет вид ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$

${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) - V (r) \ ,,}$

так что уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид

${\ displaystyle м {\ ddot {r}} - господин ({\ точка {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) + {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} = 0 \ ,,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}) - mr ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ тета \, {\ точка {\ varphi}} ^ {2} = 0 \ ,,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (мистер ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}}) = 0 \ ,.}$

Ф координат циклично , так как он не появляется в лагранжиан, так сохраняющийся импульс в системе угловой момент

${\ displaystyle p _ {\ varphi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ varphi}}}} = mr ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ varphi }} \ ,,}$

в котором r , θ и dφ / dt могут изменяться со временем, но только таким образом, чтобы p _{φ было} постоянным.

Маятник на подвижной опоре

Рассмотрим маятник массы m и длины ℓ , который прикреплен к опоре с массой M , которая может двигаться вдоль линии в направлении оси x . Пусть x - координата вдоль линии опоры, и обозначим положение маятника углом θ от вертикали. Координаты и компоненты скорости качения маятника равны

${\ displaystyle {\ begin {array} {rll} & x _ {\ mathrm {pend}} = x + \ ell \ sin \ theta & \ quad \ Rightarrow \ quad {\ dot {x}} _ {\ mathrm {pend}} = {\ dot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \\ & y _ {\ mathrm {pend}} = - \ ell \ cos \ theta & \ quad \ Rightarrow \ quad {\ точка {y}} _ {\ mathrm {pend}} = \ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \,. \ end {array}}}$

В качестве обобщенных координат можно взять x и θ . Тогда кинетическая энергия системы равна

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} M {\ dot {x}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} _ {\ mathrm {pend}} ^ {2} + {\ dot {y}} _ {\ mathrm {pend}} ^ {2} \ right)}$

а потенциальная энергия равна

${\ displaystyle V = mgy _ {\ mathrm {pend}}}$

давая лагранжиан

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} L & = & T-V \\ & = & {\ frac {1} {2}} M {\ dot {x}} ^ {2} + {\ frac {1 } {2}} m \ left [\ left ({\ dot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right) ^ {2} + \ left (\ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \ right) ^ {2} \ right] + mg \ ell \ cos \ theta \\ & = & {\ frac {1} {2}} \ left (M + m \ right ) {\ dot {x}} ^ {2} + m {\ dot {x}} \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + mg \ ell \ cos \ theta \,. \ End {array}}}$

Поскольку x отсутствует в лагранжиане, это циклическая координата. Сохраняющийся импульс равен

${\ displaystyle p_ {x} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} = (M + m) {\ dot {x}} + m \ ell {\ dot {\ тета}} \ соз \ тета \,}$

а уравнение Лагранжа для опорной координаты x имеет вид

${\ displaystyle (M + m) {\ ddot {x}} + m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta -m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ тета = 0 \ ,.}$

Уравнение Лагранжа для угла θ имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [m ({\ dot {x}} \ ell \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}}) \ right] + m \ ell ({\ dot {x}} {\ dot {\ theta}} + g) \ sin \ theta = 0;}$

и упрощение

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {\ ddot {x}} {\ ell}} \ cos \ theta + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0. }$

Эти уравнения могут выглядеть довольно сложными, но нахождение их с помощью законов Ньютона потребовало бы тщательного определения всех сил, что было бы гораздо труднее и подвержено ошибкам. Рассматривая предельные случаи, можно проверить правильность этой системы: например, необходимо дать уравнения движения для простого маятника, который находится в покое в некоторой инерциальной системе отсчета , в то время как следует дать уравнения для маятника в постоянно ускоряющейся системе, Кроме того, легко получить результаты численно, при подходящих начальных условиях и выбранном временном шаге, последовательно просматривая результаты . ${\ displaystyle {\ ddot {x}} \ to 0}$${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} \ to 0}$

Задача двух тел центральной силы

Два тела массами т ₁ и т ₂ с векторами положения г ₁ и г ₂ находятся в орбите вокруг друг друга из - за привлекательного центрального потенциала V . Мы можем записать лагранжиан в терминах координат положения, как они есть, но это установленная процедура для преобразования задачи двух тел в задачу одного тела следующим образом. Введем координаты Якоби ; разделение тел r = r ₂ - r ₁ и расположение центра масс R = ( m ₁ r ₁ + m ₂ r ₂ ) / ( m ₁ + m ₂ ) . Тогда лагранжиан равен

${\ displaystyle L = \ underbrace {{\ frac {1} {2}} M {\ dot {\ mathbf {R}}} ^ {2}} _ {L _ {\ text {cm}}} + \ underbrace { {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {\ mathbf {r}}} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} |)} _ {L _ {\ text {rel}}} }$

где M = m ₁ + m ₂ - общая масса, μ = m ₁ m ₂ / ( m ₁ + m ₂ ) - приведенная масса , а V - потенциал радиальной силы, который зависит только от величины разделения. | г | = | r ₂ - r ₁ | . Лагранжевы распадается в системе центра масс термина L _см и относительное движение термин L _отн .

Уравнение Эйлера – Лагранжа для R просто

${\ Displaystyle М {\ ddot {\ mathbf {R}}} = 0 \ ,,}$

в котором говорится, что центр масс движется по прямой с постоянной скоростью.

Поскольку относительное движение зависит только от величины разделения, идеально использовать полярные координаты ( r , θ ) и взять r = | г | ,

${\ displaystyle L _ {\ text {rel}} = {\ frac {1} {2}} \ mu ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}) - V (г) \ ,,}$

поэтому θ - циклическая координата с соответствующим сохраняющимся (угловым) моментом

${\ displaystyle p _ {\ theta} = {\ frac {\ partial L _ {\ text {rel}}} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ тета}} = \ ell \ ,.}$

Радиальная координата r и угловая скорость d θ / d t могут изменяться со временем, но только так, чтобы ℓ было постоянным. Уравнение Лагранжа для r имеет вид

${\ displaystyle \ mu r {\ dot {\ theta}} ^ {2} - {\ frac {dV} {dr}} = \ mu {\ ddot {r}} \ ,.}$

Это уравнение идентично радиальному уравнению, полученному с использованием законов Ньютона в совместно вращающейся системе отсчета, то есть в системе отсчета, вращающейся с уменьшенной массой, поэтому она кажется неподвижной. Исключая угловую скорость d θ / d t из этого радиального уравнения,

${\ displaystyle \ mu {\ ddot {r}} = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} r}} + {\ frac {\ ell ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} \ ,.}$

которое является уравнением движения для одномерной задачи, в которой частица массы μ подвергается действию центральной внутренней силы - d V / d r и второй внешней силы, называемой в этом контексте центробежной силой

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {cf}} = \ mu r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = {\ frac {\ ell ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} \ ,.}$

Конечно, если он остается полностью в пределах одномерной постановки, ℓ входит лишь в качестве некоторого введенного параметра внешней внешней силы, и его интерпретация в качестве углового момента зависит от более общей двумерный задачи , из которой одномерная задача возникла .

Если прийти к этому уравнению, используя ньютоновскую механику в совместно вращающейся системе отсчета, интерпретация очевидна как центробежная сила в этой системе отсчета из-за вращения самой системы отсчета. Если прийти к этому уравнению напрямую, используя обобщенные координаты ( r , θ ) и просто следуя формулировке Лагранжа, вообще не думая о системе отсчета, интерпретация такова, что центробежная сила является результатом использования полярных координат . Как говорит Хильдебранд:

«Поскольку такие величины не являются истинными физическими силами, их часто называют силами инерции . Их присутствие или отсутствие зависит не от конкретной проблемы, а от выбранной системы координат ». В частности, если выбраны декартовы координаты, центробежная сила исчезает, и формулировка включает только центральную силу, которая обеспечивает центростремительную силу для криволинейного движения.

Эта точка зрения, что фиктивные силы возникают в выборе координат, часто выражается пользователями метода Лагранжа. Этот взгляд естественным образом возникает в лагранжевом подходе, потому что система отсчета (возможно, неосознанно) выбирается путем выбора координат. Например, см. Сравнение лагранжианов в инерциальной и неинерциальной системе отсчета. См. Также обсуждение «полной» и «обновленной» формулировок Лагранжа в. К сожалению, такое использование «силы инерции» противоречит ньютоновской идее силы инерции. С точки зрения Ньютона, сила инерции возникает в ускорении системы наблюдения (тот факт, что она не является инерциальной системой отсчета ), а не в выборе системы координат. Для ясности, безопаснее всего называть лагранжевые силы инерции обобщенными силами инерции, чтобы отличать их от векторных сил инерции Ньютона. То есть, следует избегать следования Хильдебранду, когда он говорит (стр. 155) «мы всегда имеем дело с обобщенными силами, скоростями, ускорениями и импульсами. Для краткости прилагательное« обобщенный »будет часто опускаться».

Известно, что лагранжиан системы не единственен. В рамках лагранжевого формализма ньютоновские фиктивные силы могут быть идентифицированы по существованию альтернативных лагранжианов, в которых фиктивные силы исчезают, иногда обнаруживаемых путем использования симметрии системы.

Электромагнетизм

Пробная частица - это частица, масса и заряд которой считаются настолько малыми, что ее влияние на внешнюю систему незначительно. Часто это гипотетическая упрощенная точечная частица, не имеющая других свойств, кроме массы и заряда. Реальные частицы, такие как электроны и ап-кварки , более сложны и имеют дополнительные члены в своих лагранжианах.

Лагранжиан заряженной частицы с электрическим зарядом q , взаимодействующей с электромагнитным полем , является прототипом потенциала, зависящего от скорости. Электрический скалярный потенциал ϕ = ϕ ( r , t ) и магнитный векторный потенциал A = A ( r , t ) определяются из электрического поля E = E ( r , t ) и магнитного поля B = B ( r , t ) как следует;

${\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A} \ ,.}$

Лагранжиан массивной заряженной пробной частицы в электромагнитном поле

${\ Displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} м {\ точка {\ mathbf {r}}} ^ {2} + q \, {\ точка {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {A} -q \ phi \ ,,}$

называется минимальной связью . В сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа это дает закон силы Лоренца

${\ Displaystyle м {\ ddot {\ mathbf {r}}} = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {B}}$

Под калибровочным преобразованием :

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + {\ boldsymbol {\ nabla}} f \ ,, \ quad \ phi \ rightarrow \ phi - {\ dot {f}} \ ,,}$

где f ( r , t) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан преобразуется как:

${\ displaystyle L \ rightarrow L + q \ left ({\ dot {\ mathbf {r}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) f = L + q {\ frac {df} {dt}} \ ,,}$

который по-прежнему дает тот же закон силы Лоренца.

Обратите внимание, что канонический импульс (сопряженный с положением r ) - это кинетический импульс плюс вклад от поля A (известный как потенциальный импульс):

${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} + q \ mathbf {A} \ ,.}$

Это соотношение также используется в предписании минимальной связи в квантовой механике и квантовой теории поля . Из этого выражения мы можем видеть, что канонический импульс p не является калибровочно-инвариантным и, следовательно, не является измеримой физической величиной; Однако, если r является циклическим (т. Е. Лагранжиан не зависит от положения r ), что происходит, если поля ϕ и A однородны, то этот канонический импульс p, данный здесь, является сохраняющимся импульсом, в то время как измеримый физический кинетический импульс m v - нет.

Расширения для включения неконсервативных сил

Диссипацию (т.е. неконсервативные системы) также можно рассматривать с помощью эффективного лагранжиана, сформулированного посредством определенного удвоения степеней свободы.

В более общей формулировке силы могут быть как консервативными, так и вязкими . Если соответствующее преобразование можно найти из F _я , Рэлей предлагает использовать функцию рассеивания , D , следующий вид:

${\ displaystyle D = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {k = 1} ^ {m} C_ {jk} {\ dot {q}} _ {j} {\ dot {q}} _ {k} \,}$

где C _jk - константы, которые связаны с коэффициентами демпфирования в физической системе, хотя и не обязательно равны им. Если D определяется таким образом, то

${\ displaystyle Q_ {j} = - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {j}}} - {\ frac {\ partial D} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}} }}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} \ справа) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} + {\ frac {\ partial D} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = 0 \ ,. }$

Другие контексты и формулировки

Идеи лагранжевой механики имеют множество приложений в других областях физики и могут принимать обобщенные результаты вариационного исчисления.

Альтернативные формулировки классической механики

Близко родственная формулировка классической механики - это гамильтонова механика . Гамильтониан определяется как

${\ displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - L \,}$

и может быть получен путем выполнения преобразования Лежандра в лагранжиане, которое вводит новые переменные, канонически сопряженные с исходными переменными. Например, для заданного набора обобщенных координат переменные, канонически сопряженные, являются обобщенными импульсами. Это удваивает количество переменных, но делает дифференциальные уравнения первого порядка. Гамильтониан - это особенно повсеместная величина в квантовой механике (см. Гамильтониан (квантовая механика) ).

Механика Рута - это гибридная формулировка лагранжевой и гамильтоновой механики, которая не часто используется на практике, но является эффективной формулировкой для циклических координат.

Формулировка пространства импульса

Уравнения Эйлера – Лагранжа также могут быть сформулированы в терминах обобщенных импульсов, а не обобщенных координат. Выполнение преобразования Лежандра на обобщенном координатном лагранжиане L ( q , d q / d t , t ) дает обобщенный импульсный лагранжиан L ′ ( p , d p / d t , t ) в терминах исходного лагранжиана, а также EL уравнения через обобщенные импульсы. Оба лагранжиана содержат одинаковую информацию, и любой из них может использоваться для определения движения системы. На практике обобщенные координаты удобнее использовать и интерпретировать, чем обобщенные импульсы.

Высшие производные от обобщенных координат

Нет причин ограничивать производные обобщенных координат только первым порядком. Можно вывести модифицированные уравнения EL для лагранжиана, содержащего производные более высокого порядка, подробности см. В уравнении Эйлера – Лагранжа .

Оптика

Лагранжева механика может быть применена к геометрической оптике , применяя вариационные принципы к лучам света в среде, а решение уравнений электролюминесценции дает уравнения путей, по которым следуют световые лучи.

Релятивистская формулировка

Лагранжева механика может быть сформулирована в специальной теории относительности и общей теории относительности . Некоторые черты лагранжевой механики сохраняются в релятивистских теориях, но вскоре возникают трудности в других отношениях. В частности, уравнения EL принимают ту же форму, и связь между циклическими координатами и сохраняющимися импульсами все еще применяется, однако лагранжиан должен быть изменен, и это не просто кинетическая минус потенциальная энергия частицы. Кроме того, непросто работать с многочастичными системами явно ковариантным способом, это может быть возможным, если выделить конкретную систему отсчета.

Квантовая механика

В квантовой механике , действия и квантово-механического фазы связаны с помощью постоянной Планка , а принцип стационарного действия могут быть поняты с точки зрения конструктивной интерференции от волновых функций .

В 1948 году Фейнман открыл формулировку интеграла по путям, распространив принцип наименьшего действия на квантовую механику для электронов и фотонов . В этой формулировке частицы проходят все возможные пути между начальным и конечным состояниями; вероятность конкретного конечного состояния получается суммированием всех возможных траекторий, ведущих к нему. В классическом режиме формулировка интеграла по путям полностью воспроизводит принцип Гамильтона и принцип Ферма в оптике .

Классическая теория поля

В лагранжевой механике обобщенные координаты образуют дискретный набор переменных, которые определяют конфигурацию системы. В классической теории поля физическая система - это не набор дискретных частиц, а скорее непрерывное поле ϕ ( r , t ), определенное в области трехмерного пространства. С полем связана плотность лагранжиана

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ фи, \ набла \ фи, \ частичный \ фи / \ частичный т, \ mathbf {г}, т)}$

определяется в терминах поля и его производных по пространству и времени в точке r и времени t . Аналогично случаю с частицами, для нерелятивистских приложений плотность лагранжиана также является плотностью кинетической энергии поля за вычетом его плотности потенциальной энергии (в общем случае это неверно, и плотность лагранжиана должна быть «реконструирована»). Тогда лагранжиан является объемным интегралом плотности лагранжиана в трехмерном пространстве.

${\ Displaystyle L (т) = \ int {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}}$

где d ³ r - трехмерный элемент дифференциального объема . Лагранжиан является функцией времени, поскольку плотность лагранжиана имеет неявную пространственную зависимость через поля и может иметь явную пространственную зависимость, но они удаляются в интеграле, оставляя только время в качестве переменной для лагранжиана.

Теорема Нётер

Принцип действия и формализм Лагранжа тесно связаны с теоремой Нётер , которая связывает физические сохраняющиеся величины с непрерывными симметриями физической системы.

Если лагранжиан инвариантен относительно симметрии, то результирующие уравнения движения также инвариантны относительно этой симметрии. Эта характеристика очень полезна для демонстрации того, что теории согласуются либо со специальной теорией относительности, либо с общей теорией относительности .

Смотрите также

Сноски

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

• Гупта, Киран Чандра, Классическая механика частиц и твердых тел (Wiley, 1988).
• Кассель, Кевин (2013). Вариационные методы с приложениями в науке и технике . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-02258-4.
• Гольдштейн , Герберт и др. Классическая механика . 3-е изд., Пирсон, 2002.

внешние ссылки

• Дэвид Тонг. «Кембриджские конспекты лекций по классической динамике» . ДАМТП . Проверено 8 июня 2017 .
• Принцип наименьшего действия интерактивного Отличное интерактивное объяснение / веб-страница
• Жозеф Луи де Лагранж - uvres complete (Gallica-Math)
• Ограниченное движение и обобщенные координаты , стр. 4