Поле матрицы - Matrix field

В абстрактной алгебре , А поле матрицы представляет собой поле с матрицами в качестве элементов. В теории поля мы сталкиваемся с двумя типами полей: конечными полями и бесконечными полями. Есть несколько примеров матричных полей разной характеристики и мощности .

Существует конечная матрица поле мощности р для каждого положительного простого  р . Можно найти несколько конечных матричных полей характеристики p для любого данного простого числа p . В общем случае каждому конечному полю соответствует матричное поле. Так как любые два конечных поля равной мощности являются изоморфными , то элементы из более конечного поля могут быть представлены матрицами.

В отличие от общего случая матричного умножения , умножение коммутативно в матричном поле (если используются обычные операции). Поскольку сложение и умножение матриц обладают всеми необходимыми свойствами для полевых операций, за исключением коммутативности умножения и существования мультипликативных обратных , один из способов проверить, является ли набор матриц полем с обычными операциями суммирования и умножения матриц, - это проверить, не является ли

1. множество закрывается при сложении, вычитании и умножении;
2. нейтральный элемент для сложения матриц (то есть нулевая матрица ) включен;
3. умножение коммутативно;
4. набор содержит мультипликативную единицу (обратите внимание, что это не обязательно должна быть единичная матрица ); и
5. каждая матрица, не являющаяся нулевой, имеет мультипликативную обратную матрицу .

Примеры

1. Возьмем множество всех матриц вида ${\ Displaystyle п \ раз п}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}$

with - то есть матрицы, заполненные нулями, за исключением первой строки, которая заполнена той же действительной константой . Эти матрицы коммутативны для умножения: ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} b & b & \ cdots & b \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} ab & ab & \ cdots & ab \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} b & b & \ cdots & b \\ 0 & 0 && 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}$.

Мультипликативная идентичность . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & \ cdots & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}$

Мультипликативная обратная матрица с задается формулой${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & a & \ cdots & a \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {a}} & {\ frac {1} {a}} & \ cdots & {\ frac {1} {a}} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}.}$

2. Набор матриц вида

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & -b \\ b & a \ end {pmatrix}},}$

где и диапазон над полем действительных чисел, образует поле матрицы , которая изоморфна поле из комплексных чисел : соответствует действительной части числа, в то время как соответствует мнимой части. Таким образом, число , например, будет представлено как ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 2 + 3i}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \ end {pmatrix}}.}$

Легко убедиться, что : ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}},}$

а также, вычисляя экспоненту матрицы , это тождество Эйлера${\ Displaystyle е ^ {я \ pi} = - 1}$ является действительным:

${\ displaystyle e ^ {{\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ pi & 0 \\ 0 & \ pi \ end {pmatrix}}} = {\ begin { pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$.

Смотрите также

Ссылки