Треугольник Шварца - Schwarz triangle

В геометрии , А Шварц треугольник , названный в честь Hermann Schwarz , является сферическим треугольником , который может быть использован для плитки в сфере ( сферический плиточный ), возможно , перекрываются посредством отражения в его краях. Они были классифицированы в ( Schwarz 1873 ).

В более общем смысле их можно определить как мозаику сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу , а на евклидовой или гиперболической плоскости они определяют бесконечную группу.

Треугольник Шварца представлен тремя рациональными числами ( p q r ), каждое из которых представляет угол при вершине. Значение n / d означает, что угол при вершине полукруга равен d / n . «2» означает прямоугольный треугольник. Когда это целые числа, то треугольник называется треугольником Мебиуса, и соответствует Неправительственному -overlapping черепицы, а группа симметрии называется треугольник группой . На сфере три треугольника Мёбиуса плюс одно однопараметрическое семейство; на плоскости есть три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве есть трехпараметрическое семейство треугольников Мёбиуса и нет исключительных объектов .

Пространство решений

Треугольник в фундаментальной области ( p q r ) с углами при вершинах $π$ / p , $π$ / q и $π$ / r может существовать в разных пространствах в зависимости от значения суммы обратных величин этих целых чисел:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} &> 1 {\ text {: сфера }} \\ [8pt] {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} & = 1 {\ text {: евклидова плоскость} } \\ [8pt] {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} & <1 {\ text {: гиперболическая плоскость}} \ конец {выровнено}}}

Это просто способ сказать, что в евклидовом пространстве внутренние углы треугольника в сумме $равны π$ , в то время как на сфере они суммируются до угла, превышающего $π$ , а в гиперболическом пространстве они суммируются до меньшего.

Графическое представление

Шварц треугольник представлена графически треугольного графа . Каждый узел представляет собой край (зеркало) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, то есть π / угол при вершине .

Треугольник Шварца ( p q r ) на сфере	График треугольника Шварца

Ребра порядка 2 представляют собой перпендикулярные зеркала, которые на этой диаграмме можно игнорировать. Диаграмма Кокстера-Дынкина представляет этот треугольный граф с порядком-2 ребрами скрытых.

Группа Кокстера может использоваться для более простых обозначений, как ( p q r ) для циклических графов, и ( p q 2) = [ p , q ] для (прямоугольных треугольников) и ( p 2 2) = [ p ] × [].

Список треугольников Шварца

Треугольники Мебиуса для сферы

(2 2 2) или [2,2]	(3 2 2) или [3,2]	...
(3 3 2) или [3,3]	(4 3 2) или [4,3]	(5 3 2) или [5,3]

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса , включают одно семейство с одним параметром и три исключительных случая:

[ p , 2] или ( p 2 2) - диэдральная симметрия ,
[3,3] или (3 3 2) - Тетраэдрическая симметрия ,
[4,3] или (4 3 2) - октаэдрическая симметрия ,
[5,3] или (5 3 2) - икосаэдрическая симметрия ,

Треугольники Шварца для сферы по плотности

Треугольники Шварца ( p q r ), сгруппированные по плотности :

Плотность	Двугранный	Тетраэдр	Восьмигранный	Икосаэдр
d	( 2 2 н / д )
1		( 2 3 3)	( 2 3 4)	( 2 3 5)
2		(3/2 3 3)	(3/2 4 4)	(3/2 5 5), (5/2 3 3)
3		( 2 3/2 3)		( 2 5/2 5)
4			(3 4/3 4)	(3 5/3 5)
5		( 2 3/2 3/2)	( 2 3/2 4)
6		(3/2 3/2 3/2)		(5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7			( 2 3 4/3)	( 2 3 5/2)
8				(3/2 5/2 5)
9				( 2 5/3 5)
10				(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11			( 2 3/2 4/3)	( 2 3/2 5)
13				( 2 3 5/3)
14			(3/2 4/3 4/3)	(3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16				(3 5/4 5/2)
17				( 2 3/2 5/2)
18				(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19				( 2 3 5/4)
21 год				( 2 5/4 5/2)
22				(3/2 3/2 5/2)
23				( 2 3/2 5/3)
26 год				(3/2 5/3 5/3)
27				( 2 5/4 5/3)
29				( 2 3/2 5/4)
32				(3/2 5/4 5/3)
34				(3/2 3/2 5/4)
38				(3/2 5/4 5/4)
42				(5/4 5/4 5/4)

Треугольники на евклидовой плоскости

(3 3 3)	(4 4 2)	(6 3 2)

Плотность 1:

(3 3 3) - 60-60-60 ( равносторонний ),
(4 4 2) - 45-45-90 (равнобедренный вправо),
(6 3 2) - 30-60-90 ,

Плотность 2:

(6 6 3/2) - треугольник 120-30-30

Плотность ∞:

(4 4/3 ∞)
(3 3/2 ∞)
(6 6/5 ∞)

Треугольники для гиперболической плоскости

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Фундаментальные области ( p q r ) треугольников

Плотность 1:

(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
(2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
(3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
(3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
(3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
...
(∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

(3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
(5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
(7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
(9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
...

Плотность 3:

(2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Плотность 4:

(7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Плотность 6:

(7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
(7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

Плотность 10:

(3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и как таковой представляет особый интерес. Ее треугольная группа (или, точнее, группа фон Дейка индекса 2 изометрий, сохраняющих ориентацию) является (2, 3, 7) треугольной группой , которая является универсальной группой для всех групп Гурвица - максимальных групп изометрий римановых поверхностей . Все группы Гурвица являются факторами группы треугольников (2,3,7), и все поверхности Гурвица замощены треугольником Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица - это простая группа порядка 168, вторая по величине неабелева простая группа , которая изоморфна PSL (2,7) , а ассоциированная поверхность Гурвица (рода 3) является квартикой Клейна .

Треугольник (2 3 8) покрывает поверхность Больца , высокосимметричную (но не гурвицевскую) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, были впервые классифицированы Энтони В. Кнаппом . Список треугольников с несколькими нецелыми углами приведен в.

Languages

In other projects

Треугольник Шварца - Schwarz triangle

СОДЕРЖАНИЕ