Самый длинный элемент группы Кокстера - Longest element of a Coxeter group
В математике самый длинный элемент группы Кокстера - это единственный элемент максимальной длины в конечной группе Кокстера относительно выбранного порождающего множества, состоящего из простых отражений. Его часто обозначают w 0 . См. ( Хамфрис, 1992 г. , раздел 1.8: Простая транзитивность и самый длинный элемент, стр. 15–16 ) и ( Дэвис, 2007 г. , раздел 4.6, стр. 51–53).
Характеристики
- Группа Кокстера имеет самый длинный элемент тогда и только тогда, когда он конечен; «только если» означает, что размер группы ограничен количеством слов, длина которых меньше или равна максимальной.
- Самый длинный элемент группы Кокстера - это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа .
- Самый длинный элемент - это инволюция (имеет порядок 2 :) по уникальности максимальной длины (обратный элемент имеет ту же длину, что и элемент).
- Для любой длины удовлетворяет
- Сокращенное выражение для самого длинного элемента, как правило, не уникально.
- В сокращенном выражении для самого длинного элемента каждое простое отражение должно происходить хотя бы один раз.
- Если группа Кокстера конечна, то длина w 0 равна количеству положительных корней .
- С открытыми порами Bw 0 В в разложении Брюо в виде полупростой алгебраической группы G плотно в топологии Зарисской ; топологически это ячейка разложения высшей размерности, представляющая фундаментальный класс .
- Самый длинный элемент - это центральный элемент –1, за исключением ( ), для нечетного n и для нечетного p , когда он равен –1, умноженному на автоморфизм 2-го порядка диаграммы Кокстера .
Смотрите также
- Элемент Кокстера , другой выдающийся элемент
- Число Кокстера
- Функция длины
Рекомендации
- Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2
- Хамфрис, Джеймс Э. (1992), группы отражения и группы Кокстера , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43613-7