Заказ Брюа - Bruhat order

В математике порядок Брюа (также называемый сильным порядком, или сильным порядком Брюа, или порядком Шевалле, или порядком Брюа – Шевалле или порядком Шевалле – Брюа ) - это частичный порядок на элементах группы Кокстера , который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта. .

История

Брюа порядок на многообразиях Шуберта одного многообразия флагов или грассманиане впервые был изучен Эресмана (1934) , и аналог для более общих полупростых алгебраических групп был изучен Chevalley (1958) . Верма (1968) начал комбинаторное исследование порядка Брюа на группе Вейля и ввел название «порядок Брюа» из-за связи с разложением Брюа, введенным Франсуа Брюа .

Левый и правый слабые порядки Брюа были изучены Бьёрнером ( 1984 ).

Определение

Если ( W , S ) представляет собой систему Косетер с образующими S , то Брюа порядок частичный порядок на группе W . Напомним , что приведенное слово для элемента ш из W является минимальным выражением длина ж как произведение элементов S , а длина ℓ ( ж ) от ж длина уменьшенном слова.

  • (Сильный) порядок Брюа определяется как u  ≤  v, если некоторая подстрока некоторого (или каждого) сокращенного слова для v является сокращенным словом для  u . (Обратите внимание, что здесь подстрока не обязательно является последовательной подстрокой.)
  • Слабый левый (Брюа) порядок определяется как u  ≤ L   v, если некоторая конечная подстрока некоторого сокращенного слова для v является сокращенным словом для  u .
  • Слабый правый (Брюа) порядок определяется как u  ≤ R   v, если некоторая начальная подстрока некоторого сокращенного слова для v является сокращенным словом для  u .

Дополнительные сведения о слабых порядках см. В статье слабый порядок перестановок .

Граф Брюа

Граф Брюа - это ориентированный граф, связанный с (сильным) порядком Брюа. Множество вершин - это множество элементов группы Кокстера, а множество ребер состоит из направленных ребер ( u ,  v ), если u  =  tv для некоторого отражения t и ℓ ( u ) <  ℓ ( v ). Можно рассматривать граф как ориентированный граф, помеченный ребрами, с метками ребер, исходящими из набора отражений. (Можно также определить граф Брюа, используя умножение справа; как графы, результирующие объекты изоморфны, но разметка ребер различна.)

Сильный порядок Брюа на симметрической группе (перестановки) имеет функцию Мёбиуса, заданную формулой , и, таким образом, этот ч.у.м. является эйлеровым, что означает, что его функция Мёбиуса производится функцией ранга на ч.у.

Рекомендации