Линейная функция (исчисление) - Linear function (calculus)

В исчислении и смежных областях математики линейная функция от действительных чисел к действительным числам - это функция, график которой (в декартовых координатах ) представляет собой линию на плоскости. Характерным свойством линейных функций является то, что при изменении входной переменной изменение на выходе пропорционально изменению на входе.

Линейные функции связаны с линейными уравнениями .

Характеристики

Линейная функция - это полиномиальная функция, в которой переменная x имеет степень не выше единицы:

${\ displaystyle f (x) = ax + b}$ .

Такая функция называется линейной, потому что ее график , набор всех точек на декартовой плоскости , представляет собой линию . Коэффициент a называется наклоном функции и прямой (см. Ниже). ${\ Displaystyle (х, е (х))}$

Если наклон равен , это постоянная функция, определяющая горизонтальную линию, которую некоторые авторы исключают из класса линейных функций. С этим определением степень линейного многочлена будет ровно один, а его график будет линией, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Однако в этой статье это обязательное условие, поэтому постоянные функции будут считаться линейными. ${\ displaystyle a = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = b}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

Если тогда линейная функция называется однородной . Такая функция определяет линию, проходящую через начало системы координат, то есть точку . В текстах по продвинутой математике термин линейная функция часто обозначает специфически однородные линейные функции, в то время как термин аффинная функция используется для общего случая, который включает . ${\ displaystyle b = 0}$${\ Displaystyle (х, у) = (0,0)}$${\ displaystyle b \ neq 0}$

Естественный домен линейной функции , набор допустимых входных значений для х , это все множества действительных чисел , можно также рассматривать такие функции , с й в произвольном поле , принимая коэффициенты A, B в этой области. ${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R}.}$

График не является вертикальной линией , имеющей ровно один пересечением с у -Axis, его у -intercept точки у -intercept значения также называется начальное значением из Если граф не является горизонтальной линией , имеющей ровно один пересечения с х оси х, то х -intercept точка X -intercept значение решение уравнения также называется корень или ноль из ${\ Displaystyle у = е (х) = топор + Ь}$${\ displaystyle (x, y) = (0, b).}$${\ displaystyle y = f (0) = b}$${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle a \ neq 0,}$${\ displaystyle (x, y) = (- {\ tfrac {b} {a}}, 0).}$${\ displaystyle x = - {\ tfrac {b} {a}},}$${\ displaystyle f (x) = 0,}$${\ displaystyle f (x).}$

Склон

Наклон от невертикальной линии представляет собой число, меры , как круто наклонена линия (подъем заскоки). Если линия является графиком линейной функции , этот наклон задается константой a . ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$

Данные наклона измеряет постоянную скорость изменения на единицу изменения в х : всякий раз , когда входной сигнал х увеличивается на единицу, выход изменяется на течение единицы: и в более общем случае для любого числа . Если наклон положительный , то функция возрастает; если , то убывает ${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle е (х {+} 1) = е (х) + а}$${\ Displaystyle е (х {+} \ дельта х) = е (х) + а \ дельта х}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle a <0}$${\ displaystyle f (x)}$

В исчислении производная общей функции измеряет скорость ее изменения. Линейная функция имеет постоянную скорость изменения, равную ее наклону a , поэтому ее производная является постоянной функцией . ${\ displaystyle f (x) = ax + b}$${\ Displaystyle е \, '(х) = а}$

Фундаментальная идея дифференциального исчисления состоит в том, что любую гладкую функцию (не обязательно линейную) можно точно аппроксимировать вблизи заданной точки единственной линейной функцией. Производное представляет собой наклон этой линейной функции, а приближение: для . График линейной аппроксимации - это касательная линия графика в точке . Наклон производной обычно меняется в зависимости от точки c . Линейные функции можно охарактеризовать как единственные действительные функции, производная которых постоянна: если для всех x , то для . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x = c}$ ${\ displaystyle f \, '(c)}$${\ Displaystyle е (х) \ приблизительно е \, '(с) (х {-} с) + е (с)}$${\ Displaystyle х \ приблизительно с}$${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ Displaystyle (с, е (с))}$${\ displaystyle f \, '(c)}$${\ Displaystyle е \, '(х) = а}$${\ displaystyle f (x) = ax + b}$${\ displaystyle b = f (0)}$

Уклон-пересечение, точечный уклон и двухточечные формы

Данную линейную функцию можно записать в виде нескольких стандартных формул, отображающих ее различные свойства. Самая простая - это форма с пересечением наклона : ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = ax + b}$ ,

из которого можно сразу увидеть наклон a и начальное значение , которое является пересечением оси y графика . ${\ displaystyle f (0) = b}$${\ Displaystyle у = е (х)}$

Учитывая наклон a и одно известное значение , запишем форму точки наклона : ${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$

${\ displaystyle f (x) = a (x {-} x_ {0}) + y_ {0}}$ .

С графической точки зрения это дает линию с наклоном а, проходящую через точку . ${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Образуют две точки начинается с двух известных значений и . Один вычисляет уклон и вставляет его в форму точечного уклона: ${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$${\ displaystyle a = {\ tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}$

${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} (x {-} x_ {0} \!) + y_ {0 }}$ .

Его график представляет собой единственную прямую, проходящую через точки . Уравнение также можно записать, чтобы подчеркнуть постоянный наклон: ${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0} \!), (x_ {1}, y_ {1} \!)}$${\ Displaystyle у = е (х)}$

${\ displaystyle {\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} }$ .

Связь с линейными уравнениями

Линейные функции обычно возникают из практических задач, связанных с переменными с линейной зависимостью, то есть подчиняющимися линейному уравнению . Если можно решить это уравнение относительно y , получив ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle Ax + By = C}$${\ displaystyle B \ neq 0}$

${\ displaystyle y = - {\ tfrac {A} {B}} x + {\ tfrac {C} {B}} = ax + b,}$

где обозначены и . То есть, можно считать , у в качестве зависимого переменного (выхода) , полученных от независимого переменного (входа) х через линейную функцию: . В координатной плоскости xy возможные значения образуют линию, график функции . Если в исходном уравнении результирующая линия является вертикальной и не может быть записана как . ${\ displaystyle a = - {\ tfrac {A} {B}}}$${\ displaystyle b = {\ tfrac {C} {B}}}$${\ Displaystyle у = е (х) = топор + Ь}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle B = 0}$${\ Displaystyle х = {\ tfrac {C} {A}}}$${\ Displaystyle у = е (х)}$

Характеристики графика можно интерпретировать в терминах переменных x и y . У -intercept является начальным значением в . Наклон а измеряет скорость изменения выхода y на единицу изменения входа x . На графике, перемещая одну единицу вправо (увеличение х на 1) перемещает у -value вверх : то есть . Отрицательный наклон a указывает на уменьшение y для каждого увеличения x . ${\ Displaystyle у = е (х) = топор + Ь}$${\ displaystyle y = f (0) = b}$${\ displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle е (х {+} 1) = е (х) + а}$

Например, линейная функция имеет наклон , точку пересечения по оси Y и точку пересечения по оси x . ${\ displaystyle y = -2x + 4}$${\ displaystyle a = -2}$${\ displaystyle (0, b) = (0,4)}$${\ displaystyle (2,0)}$

Пример

Предположим, салями и колбаса стоят 6 и 3 евро за килограмм, а мы хотим купить на сумму 12 евро. Сколько каждого из них мы можем купить? Если x килограммов салями и y килограммов колбасы стоит в сумме 12 евро, то 6 x x + 3 x y = 12 евро. Решение для y дает форму точки наклона , как указано выше. То есть, если мы сначала выберем количество салями x , количество колбасы можно будет вычислить как функцию . Поскольку салями стоит вдвое дороже, чем колбаса, добавление одного килограмма салями уменьшает колбасу на 2 кг:, и наклон составляет −2. Точка пересечения y соответствует покупке всего 4 кг колбасы; в то время как точка пересечения x соответствует покупке всего 2 кг салями. ${\ displaystyle y = -2x + 4}$${\ Displaystyle у = е (х) = - 2x + 4}$${\ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) -2}$${\ Displaystyle (х, у) = (0,4)}$${\ Displaystyle (х, у) = (2,0)}$

Обратите внимание, что на графике есть точки с отрицательными значениями x или y , которые не имеют значения с точки зрения исходных переменных (если только мы не представляем себе продажу мяса мяснику). Таким образом, мы должны ограничить нашу функцию доменом . ${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle 0 \ Leq х \ Leq 2}$

Кроме того, мы могли бы выбрать y в качестве независимой переменной и вычислить x с помощью обратной линейной функции: по области . ${\ Displaystyle х = г (у) = - {\ tfrac {1} {2}} у + 2}$${\ Displaystyle 0 \ Leq Y \ Leq 4}$

Связь с другими классами функций

Если коэффициент переменной не равен нулю ( a ≠ 0 ), то линейная функция представлена полиномом 1 степени (также называемым линейным полиномом ), в противном случае это постоянная функция - также полиномиальная функция, но нулевой степени. .

Прямая линия, нарисованная в другой системе координат, может представлять другие функции.

Например, он может представлять экспоненциальную функцию, когда ее значения выражены в логарифмической шкале . Это означает, что когда log ( g ( x )) является линейной функцией от x , функция g экспоненциальна. В линейных функциях увеличение ввода на одну единицу приводит к увеличению вывода на фиксированную величину, которая представляет собой наклон графика функции. При использовании экспоненциальных функций увеличение ввода на одну единицу приводит к увеличению вывода на фиксированное кратное значение, которое известно как основание экспоненциальной функции.

Если и аргументы, и значения функции находятся в логарифмической шкале (т. Е. Когда log ( y ) является линейной функцией log ( x ) ), тогда прямая линия представляет собой степенной закон :

${\ displaystyle \ log _ {r} y = a \ log _ {r} x + b \ quad \ Rightarrow \ quad y = r ^ {b} \ cdot x ^ {a}}$

С другой стороны, график линейной функции в полярных координатах :

${\ Displaystyle г = е (\ тета) = а \ тета + Ь}$

является спиралью Архимеда, если и окружностью в противном случае. ${\ displaystyle a \ neq 0}$

Смотрите также

• Аффинное отображение , обобщение
• Арифметическая прогрессия , линейная функция от целочисленного аргумента

Примечания

Рекомендации

• Джеймс Стюарт (2012), Calculus: Early Transcendentals , edition 7E, Brooks / Cole. ISBN   978-0-538-49790-9
• Своковски, Эрл У. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативный редактор), Бостон: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN   0871503417

внешняя ссылка

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf