Предельная функция (теория порядка) - Limit-preserving function (order theory)

В математической области теории порядка часто говорят о функциях, которые сохраняют определенные пределы, то есть определенные верхние или нижние границы . Грубо говоря, эти функции отображают верхнюю / нижнюю грань набора в верхнюю / нижнюю грань изображения набора. В зависимости от типа множеств, для которых функция удовлетворяет этому свойству, она может сохранять конечные, направленные, непустые или просто произвольные верхние или нижние границы. Каждое из этих требований естественно и часто возникает во многих областях теории порядка, и между этими концепциями и другими понятиями, такими как монотонность, существуют различные важные отношения . Если импликация сохранения пределов инвертируется, так что существование пределов в диапазоне функции подразумевает существование пределов в области, тогда получаются функции, отражающие предел .

Цель данной статьи - прояснить определение этих основных понятий, что необходимо, поскольку литература не всегда согласована в этом месте, а также дать общие результаты и пояснения по этим вопросам.

Предпосылки и мотивация

Во многих специализированных областях теории порядка ограничиваются классами частично упорядоченных множеств , которые полны относительно определенных предельных конструкций. Например, в теории решеток интересуются порядками, в которых все конечные непустые множества имеют как наименьшую верхнюю, так и наибольшую нижнюю границу. В теории предметной области , с другой стороны, основное внимание уделяется частично упорядоченным множествам, в которых каждое направленное подмножество имеет верхнюю грань. Полные решетки и порядки с наименьшим элементом («пустой супремум») предоставляют дополнительные примеры.

Во всех этих случаях ограничения играют центральную роль для теорий, поддерживаемые их интерпретациями в практических приложениях каждой дисциплины. Также интересно указать соответствующие сопоставления между такими порядками. С алгебраической точки зрения это означает, что нужно найти адекватные понятия гомоморфизмов для рассматриваемых структур. Это достигается за счет учета тех функций, которые совместимы с конструкциями, характерными для соответствующих порядков. Например, решеточные гомоморфизмы - это те функции, которые сохраняют непустые конечные верхние и нижние грани, т. Е. Образ супремума / инфимума двух элементов - это просто верхняя / нижняя грань их образов. В теории областей часто встречаются так называемые непрерывные по Скотту функции, сохраняющие все направленные супремумы.

Предпосылки для приведенных ниже определений и терминологии можно найти в теории категорий , где рассматриваются пределы (и совместные ограничения ) в более общем смысле. Категориальная концепция функторов, сохраняющих и отражающих предел, полностью согласуется с теорией порядка, поскольку порядки можно рассматривать как малые категории, определяемые как определенные категории с определенной дополнительной структурой.

Формальное определение

Рассмотрим два частично упорядоченных множеств P и Q , а также функцию п от Р до Q . Кроме того, пусть S - подмножество P , имеющее наименьшую верхнюю границу s . Тогда f сохраняет супремум S, если множество f ( S ) = { f ( x ) | x в S } имеет точную верхнюю границу в Q, которая равна f ( s ), т. е.

f (sup S ) = sup f ( S )

Следует отметить , что это определение состоит из двух требований: верхняя грань множества F ( S ) существует , и она равна F ( ов ). Это соответствует вышеупомянутой аналогии с теорией категорий, но не всегда требуется в литературе. Фактически, в некоторых случаях можно ослабить определение, требуя, чтобы только существующая верхняя граница была равна f ( s ). Однако Википедия работает с общим понятием, данным выше, и при необходимости явно указывает другое условие.

Из фундаментального определения, данного выше, можно вывести широкий спектр полезных свойств. Говорят, что функция f между множествами P и Q сохраняет конечную, непустую, направленную или произвольную супрему, если она сохраняет супрему всех конечных, непустых, направленных или произвольных множеств соответственно. Сохранение непустых конечных супремумов также может быть определено тождеством f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), справедливым для всех элементов x и y , где мы предполагаем, что v - полная функция на оба заказа.

В двойственном образом, один определяют свойства для сохранения нижних граней.

«Противоположное» условие сохранению пределов называется отражением. Рассмотрим функцию F , как указано выше , и подмножество S из Р , такой , что зир е ( S ) существует в Q и равна F ( ы ) для некоторого элемента s из P . Тогда f отражает супремум S, если sup S существует и равен s . Как уже было продемонстрировано для сохранения, можно получить много дополнительных свойств, рассматривая определенные классы множеств S и дуализуя определение до infima.

Особые случаи

Некоторые частные случаи или свойства, полученные из приведенной выше схемы, известны под другими названиями или имеют особое значение для некоторых областей теории порядка. Например, функции, сохраняющие пустую верхнюю грань, - это те, которые сохраняют наименьший элемент. Кроме того, из-за мотивации, объясненной ранее, многие функции, сохраняющие предел, появляются как особые гомоморфизмы для определенных порядковых структур. Некоторые другие известные случаи приведены ниже.

Сохранение всех лимитов

Интересная ситуация возникает, если функция сохраняет все верхние (или нижние) символы. Точнее, это выражается в том, что функция сохраняет все существующие супремумы (или инфиму), и вполне может оказаться, что рассматриваемые множества не являются полными решетками. Например, (монотонные) связи Галуа обладают этим свойством. И наоборот, согласно теореме о присоединенном функторе теории порядка , отображения, сохраняющие все верхние и нижние границы, могут быть гарантированы как часть уникальной связности Галуа, если выполняются некоторые дополнительные требования.

Распределительность

Решетка L является дистрибутивной , если для всех х , у и г в L , мы находим

${\ Displaystyle х \ клин \ влево (у \ ви г \ вправо) = \ влево (х \ клин у \ вправо) \ ви \ влево (х \ клин г \ вправо)}$

Но это просто говорит о том, что функция meet ^: L -> L сохраняет двоичную супрему . В теории решеток известно, что это условие равносильно двойственному ему, то есть функции v: L -> L, сохраняющей двоичную инфиму. Точно так же видно, что закон бесконечной дистрибутивности

${\ Displaystyle х \ клин \ bigvee S = \ bigvee \ left \ {x \ wedge s \ mid s \ in S \ right \}}$

из полных алгебр гейтинговых (см также бессмысленные топологии ) эквивалентно функции встречается ^ сохраняющей произвольных супремумов. Это условие, однако, не подразумевает его двойственности.

Скотт-преемственность

Функции, сохраняющие направленную супрему, называются непрерывными по Скотту или иногда просто непрерывными , если это не вызывает путаницы с соответствующими концепциями анализа и топологии . Аналогичное использование термина непрерывный для сохранения пределов можно также найти в теории категорий.

Важные свойства и результаты

Приведенное выше определение сохранения предела довольно строгое. В самом деле, любая функция, сохраняющая хотя бы верхнюю или нижнюю границу двухэлементных цепочек, то есть наборов из двух сравнимых элементов, обязательно монотонна. Следовательно, все указанные выше специальные свойства сохранения вызывают монотонность.

На основании того факта, что одни ограничения могут быть выражены через другие, можно вывести связи между свойствами сохранения. Например, функция f сохраняет направленную супрему тогда и только тогда, когда она сохраняет супрему всех идеалов. Более того, отображение f из ч.у.набора, в котором существует каждая непустая конечная супремум (так называемая суп-полурешетка), сохраняет произвольную супрему тогда и только тогда, когда оно сохраняет как направленную, так и конечную (возможно, пустую) супрему.

Однако неверно, что функция, сохраняющая все супремы, также сохраняла бы все инфиму или наоборот.