Классификация Ленглендса - Langlands classification

В математике , то классификация Langlands является описанием неприводимых представлений редуктивной группы Ли G , предложенного Ленглендсом (1973). Есть две несколько разные версии классификации Ленглендса. Один из них описывают неприводимый допустимый ( г , K ) - модули , для г в алгебру Ли редуктивной группы Ли G , с максимальной компактной подгруппой K , в терминах отпущенных представлений меньших групп. Закаленные изображения, в свою очередь, были классифицированы Энтони Кнаппом и Греггом Цукерманом . Другая версия классификации Ленглендса делит неприводимые представления на L-пакеты , а также классифицирует L-пакеты в терминах некоторых гомоморфизмов группы Вейля из R или C в Ленглендсе двойной группы .

Обозначение

• g - алгебра Ли вещественной редуктивной группы Ли G в классе Хариш-Чандры .
• K - максимальная компактная подгруппа группы G с алгеброй Ли k .
• ω является картановская инволюции из G , фиксируя K .
• p - собственное подпространство Картана инволюции g .
• a - максимальное абелево подпространство в p .
• Σ является корневой системой из в в г .
• Δ - множество простых корней Σ.

Классификация

Классификация Ленглендса утверждает, что неприводимые допустимые представления ( g , K ) параметризованы троек

( F , σ, λ)

где

• F - подмножество Δ
• Q - стандартная параболическая подгруппа в F с разложением Ленглендса Q = MAN
• σ - неприводимое умеренное представление полупростой группы Ли M (с точностью до изоморфизма)
• λ является элементом Хом ( в _F , С ) с α (Re (λ))> 0 для всех простых корней альфа не в F .

Точнее, неприводимое допустимое представление, данное приведенными выше данными, является неприводимым фактором параболически индуцированного представления.

Пример классификации Ленглендса см. В теории представлений SL2 (R) .

Вариации

Есть несколько незначительных вариаций классификации Ленглендса. Например:

• Вместо неприводимого фактора можно взять неприводимый подмодуль.
• Поскольку умеренные представления, в свою очередь, задаются как определенные представления, индуцированные из дискретных серий или предела представлений дискретных серий, можно провести обе индукции одновременно и получить классификацию Ленглендса, параметризованную дискретными сериями или пределом представлений дискретных серий вместо умеренных представлений. Проблема с этим состоит в том, что сложно решить, когда два неприводимых представления совпадают.

Рекомендации

• Адамс, Джеффри; Барбаш, Дэн; Воган, Дэвид А. (1992), Классификация Ленглендса и неприводимые характеры для реальных редуктивных групп , Progress in Mathematics, 104 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-0-8176-3634-0 , Руководство по ремонту   1162533
• Е. П. ван ден Бан, Индуцированные представления и классификация Ленглендса, в ISBN   0-8218-0609-2 (Т. Бейли и А. В. Кнапп, ред.).
• Борель А. и Валлах Н. Непрерывные когомологии, дискретные подгруппы и представления редуктивных групп . Второе издание. Математические обзоры и монографии, 67. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2000. xviii + 260 стр. ISBN   0-8218-0851-6
• Лэнглендс, Роберт П. (1989) [1973], «О классификации неприводимых представлений вещественных алгебраических групп» , Салли, Пол Дж .; Воган, Дэвид А. (ред.), Теория представлений и гармонический анализ на полупростых группах Ли , Math. Surveys Monogr., 31 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 101–170, ISBN   978-0-8218-1526-7 , MR   1011897
• Воган, Дэвид А. (2000), «Классификация Ленглендса для унитарных представлений» (PDF) , в Кобаяси, Тошиюки; Кашивара, Масаки ; Мацуки, Тошихико; Нишияма, Кё; Осима, Тосио (ред.), Анализ однородных пространств и теория представлений групп Ли, Окаяма - Киото (1997) , Adv. Stud. Чистая математика, 26 , Токио: Математика. Soc. Япония, стр. 299–324, ISBN.   978-4-314-10138-7 , Руководство по ремонту   1770725
• Д. Воган, Представления реальных редуктивных групп Ли , ISBN   3-7643-3037-6