Допустимое представление - Admissible representation

В математике, допустимые представления являются выдрессированным классом представлений , используемых в теории представлений о восстанавливающих группах Ли и локально компактных вполне несвязных группах . Их представил Хариш-Чандра .

Реальные или комплексные редуктивные группы Ли

Пусть G - связная редуктивная (вещественная или комплексная) группа Ли. Пусть K - максимальная компактная подгруппа. Непрерывное представление (π,  V ) группы G в комплексном гильбертовом пространстве V называется допустимым, если π, ограниченное на K , унитарно и каждое неприводимое унитарное представление K встречается в нем с конечной кратностью. Прототипический примером является то , что неприводимым унитарным представлением группы G .

Допустимое представление π индуцирует -модуль, с которым легче иметь дело, поскольку это алгебраический объект. Два допустимых представления называются бесконечно эквивалентными, если их ассоциированные -модули изоморфны. Хотя для общих допустимых представлений это понятие отличается от обычной эквивалентности, важным результатом является то, что два понятия эквивалентности совпадают для унитарных (допустимых) представлений. Кроме того, существует понятие унитарности -модулей. Это сводит изучение классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы G к изучению бесконечно малых классов эквивалентности допустимых представлений и определению того, какие из этих классов являются бесконечно малыми унитарными. Проблема параметризации бесконечно малых классов эквивалентности допустимых представлений была полностью решена Робертом Ленглендсом и называется классификацией Ленглендса .

Полностью отключенные группы

Пусть G быть локально компактной вполне несвязной группа (такие как восстановительная алгебраической группа над неархимедовский локальным полем или над конечным аделями одного глобального поля ). Представление (π,  V ) группы G в комплексном векторном пространстве V называется гладким, если подгруппа группы G, фиксирующая любой вектор из V , открыта . Если к тому же пространство векторов, фиксируемых любой компактной открытой подгруппой, конечномерно, то π называется допустимым . Приемлемые представления р -адических групп допускают более алгебраическое описание посредством действия алгебры Гекка локально постоянных функций на G .

Глубокие исследования допустимых представлений p -адических редуктивных групп были предприняты Кассельманом , Бернштейном и Зелевинским в 1970-х годах. Совсем недавно прогресс был достигнут Хоу , Мой, Гопалом Прасадом, Бушнеллом и Куцко, которые разработали теорию типов и классифицировали допустимые двойственные (т. Е. Множество классов эквивалентности неприводимых допустимых представлений) во многих случаях.

Примечания

использованная литература

  • Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 335 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, Руководство по ремонту  2234120
  • Бушнелл, Колин Дж .; Филип К. Куцко (1993). Допустимое двойственное к GL (N) через компактные открытые подгруппы . Анналы математических исследований 129. Princeton University Press. ISBN 0-691-02114-7.
  • Глава VIII Кнаппа, Энтони В. (2001). Теория представлений полупростых групп: обзор на примерах . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-09089-0.