Условия интегрируемости дифференциальных систем - Integrability conditions for differential systems

В математике некоторые системы дифференциальных уравнений в частных производных полезно формулировать с точки зрения лежащих в их основе геометрической и алгебраической структуры в терминах системы дифференциальных форм . Идея заключается в том, чтобы воспользоваться способом дифференциальной формы ограничивает к подмногообразию , а также тот факт , что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым более-системам определяются , например, в том числе Лакса пара из интегрируемых систем . Система Пфаффа определяется только 1-формами , но теория включает другие типы примеров дифференциальной системы . Чтобы уточнить, система Пфаффа - это набор 1-форм на гладком многообразии (который устанавливается равным 0, чтобы найти решения системы).

Учитывая набор дифференциальных 1-форм на -мерном многообразии , интегральное многообразие представляет собой погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке аннулируется (обратным образом) каждого . ${\ displaystyle \ textstyle \ alpha _ {i}, i = 1,2, \ dots, k}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ textstyle p \ in N}$${\ displaystyle \ textstyle \ alpha _ {я}}$

Максимальное интегральное многообразие является погруженным (не обязательно вложено) Подмногообразие

${\ displaystyle i: N \ subset M}$

такое, что ядро ​​отображения ограничения на формах

${\ displaystyle i ^ {*}: \ Omega _ {p} ^ {1} (M) \ rightarrow \ Omega _ {p} ^ {1} (N)}$

натянуто на каждую точку из . Если к тому же линейно независимы, то ( ) -мерна. ${\ displaystyle \ textstyle \ alpha _ {я}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ textstyle \ alpha _ {я}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle nk}$

Пфаффова система называется вполне интегрируемой, если допускает слоение на максимальные интегральные многообразия. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть правильным , т. Е. Слои слоения могут не быть вложенными подмногообразиями.) ${\ displaystyle M}$

Условие интегрируемости является условие на для гарантии того, что там будет интегральными подмногообразиями достаточно большой размерности. ${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$

Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости системы Пфаффа даются теоремой Фробениуса . Одна из версий гласит, что если идеал, алгебраически порожденный набором α _i внутри кольца Ω ( M ), дифференциально замкнут, другими словами ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$

${\ displaystyle d {\ mathcal {I}} \ subset {\ mathcal {I}},}$

то система допускает слоение на максимальные интегральные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)

Пример неинтегрируемой системы

Не всякая пфаффова система полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одну форму на R ³ - (0,0,0) :

${\ displaystyle \ theta = z \, dx + x \, dy + y \, dz.}$

Если бы dθ находилось в идеале, порожденном θ , то из-за асимметрии произведения клина

${\ Displaystyle \ тета \ клин д \ тета = 0.}$

Но прямой расчет дает

${\ Displaystyle \ тета \ клин д \ тета = (х + у + z) \, dx \ клин dy \ клин dz}$

который ненулевой кратен стандартной форме объема на R ³ . Следовательно, нет двумерных листов, и система не является полностью интегрируемой.

С другой стороны, для кривой, определяемой

${\ displaystyle x = t, \ quad y = c, \ qquad z = e ^ {- t / c}, \ quad t> 0}$

тогда θ, определенный, как указано выше, равен 0, и, следовательно, кривая легко проверяется как решение (т.е. интегральная кривая ) вышеупомянутой системы Пфаффа для любой ненулевой постоянной c .

Примеры приложений

В римановой геометрии мы можем рассматривать задачу нахождения ортогонального кофрейма θ ⁱ , т. Е. Набора 1-форм, образующих базис кокасательного пространства в каждой точке, с которой замыкаются (dθ ⁱ = 0, i  = 1, 2 , ...,  п ). По лемме Пуанкаре θ ⁱ локально будет иметь вид d x ⁱ для некоторых функций x ⁱ на многообразии и, таким образом, обеспечить изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R ⁿ . Такое многообразие называется локально плоским.${\ Displaystyle \ langle \ theta ^ {i}, \ theta ^ {j} \ rangle = \ delta ^ {ij}}$

Эта задача сводится к вопросу о корепер пачке из М . Допустим, у нас был такой закрытый каркас

${\ displaystyle \ Theta = (\ theta ^ {1}, \ dots, \ theta ^ {n}).}$

Если бы у нас был другой coframe , то два coframe были бы связаны ортогональным преобразованием ${\ Displaystyle \ Phi = (\ phi ^ {1}, \ точки, \ phi ^ {n})}$

${\ Displaystyle \ Phi = M \ Theta}$

Если 1-форма связности - это ω , то имеем

${\ Displaystyle д \ Фи = \ омега \ клин \ Фи}$

С другой стороны,

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} d \ Phi & = (dM) \ клин \ Theta + M \ wedge d \ Theta \\ & = (dM) \ клин \ Theta \\ & = (dM) M ^ {- 1} \ клин \ Phi. \ End {выровненный}}}$

Но есть форма Маурера – Картана для ортогональной группы . Следовательно, оно подчиняется структурному уравнению, и это просто кривизна M: после применения теоремы Фробениуса можно сделать вывод, что многообразие M является локально плоским тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю. ${\ Displaystyle \ omega = (дМ) М ^ {- 1}}$${\ Displaystyle д \ омега + \ омега \ клин \ омега = 0,}$${\ displaystyle \ Omega = d \ omega + \ omega \ wedge \ omega = 0.}$

Обобщения

Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождаются одноформными. Наиболее известными из них являются теорема Картана – Келера , которая работает только для вещественно аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана – Кураниши о продолжении . См. Дополнительную информацию в разделе « Дальнейшее чтение» . Теорема Ньюлендера-Ниренберга дает условия интегрируемости для почти комплексной структуры.

дальнейшее чтение

• Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , публикации Института математических наук, Springer-Verlag, ISBN   0-387-97411-3
• Олвер П., Эквивалентность, инварианты и симметрия , Кембридж, ISBN   0-521-47811-1
• Айви, Т., Ландсберг, Дж. М., Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся рамок и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3375-8
• Дунайски, М., Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN   978-0-19-857063-9