Идеализатор - Idealizer

В абстрактной алгебре , то идеализаторное из подполугруппы Т о наличии полугруппы S является самой большой подполугруппой S , в которой Т представляет собой идеальный . Такой идеализатор дает

${\ displaystyle \ mathbb {I} _ {S} (T) = \ {s \ in S \ mid sT \ substeq T {\ text {and}} Ts \ substeq T \}.}$

В теории колец , если является аддитивной подгруппой кольца R , то (определено в мультипликативной полугруппы R ) является наибольшим подкольцо R , в которой является двусторонним идеалом. ${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (А)}$

В алгебре Ли , если L - кольцо (или алгебра Ли ) с произведением Ли [ x , y ], а S - аддитивная подгруппа группы L , то множество

${\ Displaystyle \ {г \ в L \ середине [г, S] \ substeq S \}}$

классический называются нормализатор из S , однако, очевидно , что этот набор является фактически кольцом Ли эквивалент идеализаторного. Нет необходимости указывать , что [ S , R ] ⊆  S , так как антикоммутативности из продукта Ли причин [ ы , г ] = - [ г , ев ] ∈  S . Ли «нормализатор» кольца S - это наибольшее подкольцо кольца L, в котором S - лиева идеал.

Комментарии

Часто, когда правые или левые идеалы являются аддитивными подгруппами R, представляющими интерес, идеализатор определяется более просто, используя тот факт, что умножение на элементы кольца уже поглощено с одной стороны. Явно,

${\ displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (T) = \ {r \ in R \ mid rT \ substeq T \}}$

если T - правильный идеал, или

${\ displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (L) = \ {r \ in R \ mid Lr \ substeq L \}}$

если L - левый идеал.

В коммутативной алгебре идеализатор связан с более общей конструкцией. Учитывая коммутативное кольцо R , и даны два подмножества A и B правого R - модуля M , то проводник или транспортер задаются

${\ Displaystyle (A: B): = \ {г \ in R \ mid Br \ substeq A \}}$.

В терминах обозначений проводников аддитивная подгруппа B группы R имеет идеализатор

${\ Displaystyle \ mathbb {I} _ {R} (B) = (B: B)}$.

Когда A и B - идеалы R , проводник является частью структуры решетки идеалов R с делением .

Примеры

Мультипликатор алгебры M ( A ) из C * -алгебра A является изоморфной к идеализаторным из П ( А ) , где π любая невырожденная верным представлением А на гильбертовом пространстве  H .

Ноты

Ссылки

• Goodearl, KR (1976), Теория колец: невырожденные кольца и модули , Чистая и прикладная математика, № 33, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., стр. Viii + 206, MR  0429962
• Леви, Лоуренс С .; Робсон, Дж. Крис (2011), Наследственные нетеровы первичные кольца и идеализаторы , Математические обзоры и монографии, 174 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Iv + 228, ISBN 978-0-8218-5350-4, Руководство по ремонту  2790801
• Михалев, Александр В .; Pilz, Günter F., eds. (2002), Краткий справочник по алгебре , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, стр. Xvi + 618, ISBN 0-7923-7072-4, MR  1966155

Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е