История вариационных принципов в физике - History of variational principles in physics

Вариационный принцип в физике является альтернативным методом для определения состояния или динамик физической системы, путем идентификации его как экстремум (минимум, максимум или седловой точка) функции или функциональной. В этой статье описывается историческое развитие таких принципов.

До современности

Вариационные принципы можно найти среди более ранних идей в геодезии и оптике . В веревочных носилках из древнего Египта растянуты корд веревки между двумя точками для измерения пути , который сводит к минимуму расстояния разделения, и Клавдий Птолемей в своем Geographia (Кно 1, Ч. 2), подчеркнул , что необходимо скорректировать «отклонение от прямолинейного курса "; в Древней Греции Евклид в своей « Катоптрике» утверждает, что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения ; и Герой Александрии позже показал, что этот путь был кратчайшим по длине и минимальным временем.

Это было обобщено рефракции по Пьером де Ферма , который в 17 - м веке, усовершенствовали принцип «свет проходит между двумя заданными точками вдоль пути кратчайшего времени »; теперь известный как принцип наименьшего времени или принцип Ферма .

Принцип экстремального действия

Кредит за формулировку принципа наименьшего действия обычно отдается Пьеру Луи Мопертюи , который писал о нем в 1744 и 1746 годах, хотя истинный приоритет менее ясен, как обсуждается ниже.

Мопертюи чувствовал, что «природа бережлив во всех своих действиях», и применял этот принцип широко: «Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности такие же, как наблюдаемые в природе, мы можем восхищаться его применением ко всем. Движение животных, вегетативный рост растений ... являются лишь его следствиями; и зрелище вселенной становится настолько грандиознее, красивее, достойнее своего Создателя, когда известно, что небольшое число законов, установленных наиболее мудро, достаточно для всех движений ".

Применительно к физике Мопертюи предположил, что минимизируемая величина является произведением продолжительности (времени) движения внутри системы на « vis viva », вдвое больше того, что мы теперь называем кинетической энергией системы.

Леонард Эйлер сформулировал принцип действия в 1744 году в очень узнаваемых терминах в Дополнении 2 к своему «Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes». Он начинает второй абзац:

«Сита Massa Corporis projecti == М , ejusque, думы spatiolum == DS emetitur, Celeritas DEBITA altitudini == v ; ERIT quantitas Motus Corporis в специальном заменяющем == ; Quae за Ipsum spatiolum DS multiplicata, Даблю motum Corporis collectivum за spatiolum DS . Iam dico lineam - полное описание ita for comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, sit , seu, ob M constans, минимум ».

{\ displaystyle M {\ sqrt {v}}}

{\ displaystyle M \, ds {\ sqrt {v}}}

{\ displaystyle \ int Mds {\ sqrt {v}}}

{\ displaystyle \ int ds {\ sqrt {v}}}

Перевод этого отрывка гласит:

"Пусть масса снаряда равна M , и пусть его скорость в квадрате, полученная из его высоты, будет при перемещении на расстояние ds . Тело будет иметь импульс, который, умноженный на расстояние ds , даст импульс тело, проинтегрированное на расстоянии ds . Теперь я утверждаю, что кривая, описанная таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих те же конечные точки), которая минимизирует или, при условии, что M постоянна,. "

{\ displaystyle v}

{\ displaystyle M {\ sqrt {v}}}

{\ displaystyle Mds {\ sqrt {v}}}

{\ displaystyle \ int Mds {\ sqrt {v}}}

{\ displaystyle \ int ds {\ sqrt {v}}}

Как утверждает Эйлер, это интеграл количества движения от пройденного расстояния (обратите внимание, что здесь, в отличие от обычных обозначений, обозначается квадрат скорости), который в современных обозначениях равен приведенному действию . Таким образом, Эйлер сделал эквивалентное и (очевидно) независимое утверждение вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и несколько позже. В довольно общих словах он писал: «Поскольку ткань Вселенной наиболее совершенна и является работой мудрейшего Творца, во Вселенной не происходит ничего такого, в чем не проявляется какое-либо отношение максимума и минимума». Однако Эйлер не претендовал на приоритет, как показывает следующий эпизод. ${\ displaystyle \ int Mds {\ sqrt {v}}}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ int p \, dq}$

Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Сэмюэлем Кенигом , который утверждал, что он был изобретен Готфридом Лейбницем в 1707 году. Хотя этот принцип подобен многим аргументам Лейбница, сам принцип не был задокументирован в трудах Лейбница. Сам Кениг показал копию письма 1707 года от Лейбница Якову Герману с принципом, но оригинал письма был утерян. В ходе судебного разбирательства Кенига обвинили в подделке документов, и даже король Пруссии вступил в дебаты, защищая Мопертюи, в то время как Вольтер защищал Кенига. Эйлер, вместо того, чтобы претендовать на приоритет, был стойким защитником Мопертюи, и сам Эйлер преследовал Кёнига за подделку документов перед Берлинской академией 13 апреля 1752 года. Заявления о подделке документов были пересмотрены 150 лет спустя, а архивные работы - К.И. Герхардтом в 1898 году. и В. Кабиц в 1913 г. обнаружили в архивах Бернулли другие копии этого письма и три других, цитируемых Кенигом .

Дальнейшее развитие

Эйлер продолжал писать на эту тему; в своих « Размышлениях о quelques loix generales de la nature» (1748) он назвал количество «усилием». Его выражение соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией , так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в состоянии покоя примет конфигурацию, которая минимизирует общую потенциальную энергию.

Полное значение этого принципа для механики было заявлено Джозефом Луи Лагранжем в 1760 году, хотя вариационный принцип не использовался для вывода уравнений движения почти 75 лет спустя, когда Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 годах применил вариационный принцип к уравнениям движения. функция для получения того, что сейчас называется лагранжевыми уравнениями движения . ${\ displaystyle L = TV}$

Альтернативные составы

В 1842 году Карл Густав Якоби занялся проблемой, обнаруживает ли вариационный принцип минимумы или другие экстремумы (например, седловую точку ); большая часть его работ была сосредоточена на геодезических на двумерных поверхностях. Первые четкие общие утверждения были сделаны Марстоном Морсом в 1920-х и 1930-х годах, что привело к тому, что сейчас известно как теория Морса . Например, Морс показал, что количество сопряженных точек на траектории равно количеству отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана.

Были сформулированы другие экстремальные принципы классической механики , такие как принцип наименьшего принуждения Гаусса и его следствие принцип наименьшей кривизны Герца .

По полю

Электромагнетизм

Действие для электромагнетизма :

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - \ int {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \, F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} - \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \, j ^ {\ alpha} A _ {\ alpha}}

В теории относительности

Действие Эйнштейна – Гильберта, которое приводит к уравнениям поля Эйнштейна в вакууме, имеет вид

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [g] = {\ frac {c ^ {4}} {16 \ pi G}} \ int _ {\ mathcal {M}} R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

,

где - определитель метрики Лоренца пространства-времени, а - скалярная кривизна . ${\ Displaystyle г = \ det (г _ {\ альфа \ бета})}$ ${\ displaystyle R}$

Квантовая механика

Суммирование возможных путей, подход Фейнмана. См. Формулировку интеграла по траектории
Вариационный принцип Дирака-Френкеля

Видимая телеология

Хотя математически они эквивалентны, существует важное философское различие между дифференциальными уравнениями движения и их интегральными аналогами. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или одном моменте времени. Например, второй закон Ньютона гласит, что мгновенная сила, приложенная к массе, вызывает ускорение в тот же момент . Напротив, принцип действия не ограничен определенной точкой; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классических принципов действия начальное и конечное состояния системы фиксированы, например, ${\ displaystyle F = ma}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle a}$

Учитывая, что частица начинается в позиции во времени и заканчивается в позиции во времени , физическая траектория, которая соединяет эти две конечные точки, является экстремумом интеграла действия. ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$

В частности, фиксация конечного состояния, по-видимому, придает принципу действия телеологический характер, который исторически был спорным. Эта очевидная телеология устранена в квантовомеханической версии принципа действия.

использованная литература

^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167 -168. ISBN 0-19-501496-0.

^ PLN de Maupertuis,Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru несовместимого. (1744) Mém. В виде. Sc. Париж р. 417.
^ PLN de Maupertuis,Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. Ac. Берлин, стр. 267.
^ Леонард Эйлер,Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Буске, Лозанна и Женева. 320 страниц. Перепечатано вЛеонхарди Эйлери Опера Омния: Серия I, том 24.(1952) К. Картеодори (редактор) Орелл Фуэссли, Цюрих. Отсканированная копия полного текстав архиве Эйлера , Дартмут.
↑ WR Hamilton, "Об общем методе динамики",Philosophical Transactions of the Royal Society Part I (1834) p.247-308; Часть II (1835 г.) стр. 95-144. (Из коллекции сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1805-1865): Математические статьи под редакцией Дэвида Р. Уилкинса, Школа математики, Тринити-колледж, Дублин 2, Ирландия. (2000); также рассматривается как Об общем методе в динамике )
^ GCJ Jacobi,Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842-1843. А. Клебш (редактор) (1866 г.); Реймер; Берлин. 290 страниц, доступных в Интернете,uvres дополняет том 8 вGallica-MathизGallica Bibliothèque nationale de France.
^ Герхард CI. (1898) "Uber die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat",Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften,I, 419–427.
^ Kabitz W. (1913) "Убер в Гота сделайте aufgefundene Abschrift де фон С. Кёниг в seinem Streite мит Маупертуис унд дер Akademie veröffentlichten, Seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes",Sitzungsberichte дер Königlich Preussischen Akademie дер Wissenschaften,II, 632-638.
^ Марстон Морс (1934). «Расчет вариаций в целом»,Публикация 18коллоквиума Американского математического общества; Нью-Йорк.
^ Крис Дэвис. Теория праздности (1998)
^ Эйлер,Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes: Additamentum II , Там же.
^ JJ О'Коннор и EF Робертсон, «Берлинская академия и подделка», (2003), в архиве истории математики MacTutor .
Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.

[1] Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167 -168. ISBN 0-19-501496-0.

Languages

In other projects