Базисная теорема Гильберта - Hilbert's basis theorem

В математике , особенно в коммутативной алгебре , теорема Гильберта о базисе утверждает, что кольцо многочленов над нётеровым кольцом является нётеровым.

Заявление

Если - кольцо, пусть обозначает кольцо многочленов от неопределенного над . Гильберт доказал, что if «не слишком велико» в том смысле, что если является нётеровым, то же самое должно быть верно и для . Формально, ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R [X]}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R [X]}$

Базисная теорема Гильберта. Если - нетерово кольцо, то - нетерово кольцо. ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R [X]}$

Следствие. Если - нетерово кольцо, то - нетерово кольцо. ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R [X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}]}$

Это можно перевести в алгебраическую геометрию следующим образом: каждое алгебраическое множество над полем можно описать как множество общих корней конечного числа полиномиальных уравнений. Гильберт доказал теорему (для частного случая колец многочленов над полем) в ходе доказательства конечного порождения колец инвариантов.

Гильберт произвел новаторское доказательство от противного, используя математическую индукцию ; его метод не дает алгоритма для создания конечного числа базисных многочленов для данного идеала: он только показывает, что они должны существовать. Базисные полиномы можно определить методом базисов Грёбнера .

Доказательство

Теорема. Если это левое (соответственно правое) нётерово кольцо , то кольцо многочленов также является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом.

{\ displaystyle R}

{\ Displaystyle R [X]}

Замечание. Мы приведем два доказательства, в обоих рассматривается только «левый» случай; доказательство для правого случая аналогично.

Первое доказательство

Предположим, что это неконечно порожденный левый идеал. Тогда путем рекурсии (с использованием аксиомы зависимого выбора ) существует последовательность многочленов такая, что если - левый идеал, порожденный then, имеет минимальную степень. Понятно, что это неубывающая последовательность натуральных чисел. Позвольте быть старшим коэффициентом и позвольте быть левым идеалом в порожденном . Поскольку нётерова цепочка идеалов ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ substeq R [X]}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {0}, е_ {1}, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {n-1}}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {b}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ {\ deg (f_ {0}), \ deg (f_ {1}), \ ldots \}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ ldots}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle (a_ {0}) \ subset (a_ {0}, a_ {1}) \ subset (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}) \ subset \ cdots}

должен прекратиться. Таким образом, для некоторого целого числа . Так, в частности, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = (а_ {0}, \ ldots, а_ {N-1})}$ ${\ displaystyle N}$

{\ displaystyle a_ {N} = \ sum _ {i <N} u_ {i} a_ {i}, \ qquad u_ {i} \ in R.}

Теперь рассмотрим

{\ displaystyle g = \ sum _ {i <N} u_ {i} X ^ {\ deg (f_ {N}) - \ deg (f_ {i})} f_ {i},}

чей главный член равен старшему члену ; кроме того, . Однако, что означает, что имеет степень меньше , что противоречит минимальности. ${\ displaystyle f_ {N}}$ ${\ displaystyle g \ in {\ mathfrak {b}} _ {N}}$ ${\ displaystyle f_ {N} \ notin {\ mathfrak {b}} _ {N}}$ ${\ displaystyle f_ {N} -g \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {b}} _ {N}}$ ${\ displaystyle f_ {N}}$

Второе доказательство

Позвольте быть левым идеалом. Позвольте быть набор ведущих коэффициентов членов . Очевидно, что это левый идеал над , и поэтому он конечно порождается старшими коэффициентами конечного числа членов ; сказать . Позвольте быть максимумом набора , и позвольте быть набором ведущих коэффициентов членов , чья степень . Как и раньше, являются левыми идеалами над и, следовательно, конечно порождаются старшими коэффициентами конечного числа членов , скажем, ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ substeq R [X]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {N-1}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ Displaystyle \ {\ deg (f_ {0}), \ ldots, \ deg (f_ {N-1}) \}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {k}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ displaystyle {} \ leq k}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {k}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$

{\ displaystyle f_ {0} ^ {(k)}, \ ldots, f_ {N ^ {(k)} - 1} ^ {(k)}}

со степенями . Теперь позвольте быть левым идеалом, порожденным: ${\ displaystyle {} \ leq k}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} ^ {*} \ substeq R [X]}$

{\ displaystyle \ left \ {f_ {i}, f_ {j} ^ {(k)} \: \ i <N, j <N ^ {(k)}, k <d \ right \}.}

У нас есть и претензии . Предположим, что это не так. Тогда пусть будет минимальной степени, и обозначим его старший коэффициент через . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} ^ {*} \ substeq {\ mathfrak {а}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ substeq {\ mathfrak {а}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {a}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle a}$

Случай 1: . Независимо от этого условия, у нас есть леволинейная комбинация.

{\ Displaystyle \ град (ч) \ geq d}

{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {b}}}

{\ displaystyle a = \ sum _ {j} u_ {j} a_ {j}}

коэффициентов . Рассматривать

{\ displaystyle f_ {j}}

{\ Displaystyle ч_ {0} \ треугольникq \ сумма _ {j} u_ {j} X ^ {\ deg (h) - \ deg (f_ {j})} f_ {j},}

который имеет тот же главный член, что и ; кроме того пока . Следовательно, и , что противоречит минимальности.

{\ displaystyle h}

{\ displaystyle h_ {0} \ in {\ mathfrak {a}} ^ {*}}

{\ displaystyle h \ notin {\ mathfrak {a}} ^ {*}}

{\ displaystyle h-h_ {0} \ in {\ mathfrak {a}} \ setminus {\ mathfrak {a}} ^ {*}}

{\ Displaystyle \ град (ч-ч_ {0}) <\ град (ч)}

Случай 2: . Тогда и леволинейная комбинация

{\ Displaystyle \ deg (ч) = к <d}

{\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {b}} _ {k}}

{\ displaystyle a = \ sum _ {j} u_ {j} a_ {j} ^ {(k)}}

ведущих коэффициентов . Учитывая

{\ displaystyle f_ {j} ^ {(k)}}

{\ Displaystyle ч_ {0} \ треугольникq \ сумма _ {j} u_ {j} X ^ {\ deg (h) - \ deg (f_ {j} ^ {(k)})} f_ {j} ^ {( k)},}

приходим к противоречию, аналогичному случаю 1.

Таким образом, наше утверждение верно и конечно порождено. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} = {\ mathfrak {а}} ^ {*}}$

Обратите внимание, что единственная причина, по которой нам пришлось разделить на два случая, заключалась в том, чтобы гарантировать, что степени умножения множителей в конструкциях были неотрицательными. ${\ displaystyle X}$

Приложения

Позвольте быть нётеровым коммутативным кольцом. Теорема Гильберта о базисе имеет несколько непосредственных следствий. ${\ displaystyle R}$

По индукции мы видим, что это тоже будет нётеровым. ${\ Displaystyle R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}$
Поскольку любое аффинное многообразие над (т.е. множество множества многочленов) может быть записано как геометрическое место идеала, а затем как геометрическое место его образующих, отсюда следует, что каждое аффинное многообразие является геометрическим местом конечного числа многочленов, т. Е. пересечение конечного числа гиперповерхностей . ${\ displaystyle R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ подмножество R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}$
Если - конечно порожденная -алгебра, то мы знаем, что , где - идеал. В основе теоремы следует , что должно быть конечно порожден, скажем , то есть это конечно представима . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A \ simeq R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}] / {\ mathfrak {a}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (p_ {0}, \ dotsc, p_ {N-1})}$ ${\ displaystyle A}$