Гептагональный треугольник - Heptagonal triangle

Правильный семиугольник (с красными сторонами), его более длинные диагонали (зеленые) и более короткие диагонали (синие). У каждого из четырнадцати одинаковых семиугольных треугольников есть одна зеленая сторона, одна синяя сторона и одна красная сторона.

Семиугольная треугольник является тупым неравносторонним треугольника , чьи вершины совпадают с первой, второй и четвертой вершинах правильного семиугольника (с произвольной начальной вершины). Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и соседними более короткими и длинными диагоналями правильного семиугольника. Все семиугольные треугольники подобны (имеет одинаковую форму), и поэтому они все вместе известны как в семиугольном треугольнике. Его углы имеют размеры, и это единственный треугольник с углами в соотношении 1: 2: 4. У семиугольного треугольника есть несколько замечательных свойств. ${\ displaystyle \ pi / 7,2 \ pi / 7,}$${\ displaystyle 4 \ pi / 7,}$

Ключевые моменты

Центр семиугольного треугольника из девяти точек также является его первой точкой Брокара .

Вторая точка Брокара лежит на окружности из девяти точек.

Центр описанной окружности и точки Ферма семиугольного треугольника образуют равносторонний треугольник .

Расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H определяется выражением

${\ displaystyle OH = R {\ sqrt {2}},}$

где R - радиус описанной окружности . Квадрат расстояния от центра I до ортоцентра равен

${\ displaystyle IH ^ {2} = {\ frac {R ^ {2} + 4r ^ {2}} {2}},}$

где r - внутренний радиус .

Две касательные от ортоцентра к описанной окружности взаимно перпендикулярны .

Отношения расстояний

Стороны

Стороны семиугольного треугольника a < b < c совпадают соответственно со стороной правильного семиугольника, меньшей диагонали и большей диагонали. Они удовлетворяют

${\ displaystyle {\ begin {align} a ^ {2} & = c (cb), \\ [5pt] b ^ {2} & = a (c + a), \\ [5pt] c ^ {2} & = b (a + b), \\ [5pt] {\ frac {1} {a}} & = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} \ end { выровнено}}}$

(последнее является оптическим уравнением ) и, следовательно,

${\ displaystyle ab + ac = bc,}$

и

${\ displaystyle b ^ {3} + 2b ^ {2} c-bc ^ {2} -c ^ {3} = 0,}$

${\ displaystyle c ^ {3} -2c ^ {2} a-ca ^ {2} + a ^ {3} = 0,}$

${\ displaystyle a ^ {3} -2a ^ {2} b-ab ^ {2} + b ^ {3} = 0.}$

Таким образом, b / c , c / a и a / b удовлетворяют кубическому уравнению

${\ displaystyle t ^ {3} -2t ^ {2} -t + 1 = 0.}$

Однако для решений этого уравнения не существует никаких алгебраических выражений с чисто действительными членами, потому что это пример casus unducibilis .

Примерное соотношение сторон:

${\ displaystyle b \ около 1,80193 \ cdot a, \ qquad c \ около 2,24698 \ cdot a.}$

У нас также есть

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {bc}}, \ quad - {\ frac {b ^ {2}} {ca}}, \ quad - {\ frac {c ^ {2}} { ab}}}$

удовлетворяют кубическому уравнению

${\ displaystyle t ^ {3} + 4t ^ {2} + 3t-1 = 0.}$

У нас также есть

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {bc ^ {2}}}, \ quad - {\ frac {b ^ {3}} {ca ^ {2}}}, \ quad {\ frac { c ^ {3}} {ab ^ {2}}}}$

удовлетворяют кубическому уравнению

${\ displaystyle t ^ {3} -t ^ {2} -9t + 1 = 0.}$

У нас также есть

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {b ^ {2} c}}, \ quad {\ frac {b ^ {3}} {c ^ {2} a}}, \ quad - {\ гидроразрыв {c ^ {3}} {a ^ {2} b}}}$

удовлетворяют кубическому уравнению

${\ displaystyle t ^ {3} + 5t ^ {2} -8t + 1 = 0.}$

У нас также есть

${\ displaystyle b ^ {2} -a ^ {2} = ac,}$

${\ displaystyle c ^ {2} -b ^ {2} = ab,}$

${\ displaystyle a ^ {2} -c ^ {2} = - bc,}$

и

${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {c ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {a ^ {2} } {c ^ {2}}} = 5.}$

У нас также есть

${\ displaystyle ab-bc + ca = 0,}$

${\ displaystyle a ^ {3} bb ^ {3} c + c ^ {3} a = 0,}$

${\ displaystyle a ^ {4} b + b ^ {4} cc ^ {4} a = 0,}$

${\ displaystyle a ^ {11} b ^ {3} -b ^ {11} c ^ {3} + c ^ {11} a ^ {3} = 0.}$

Нет других ( m, n ), m, n > 0, m, n <2000 таких, что

${\ displaystyle a ^ {m} b ^ {n} \ pm b ^ {m} c ^ {n} \ pm c ^ {m} a ^ {n} = 0.}$

Высоты

Высоты h _a , h _b и h _c удовлетворяют

${\ displaystyle h_ {a} = h_ {b} + h_ {c}}$

и

${\ displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }} {2}}.}$

Высота от боковой б (напротив угла B ) составляет половину внутренний угол биссектриса из A : ${\ displaystyle w_ {A}}$

${\ displaystyle 2h_ {b} = w_ {A}.}$

Здесь угол A - это наименьший угол, а B - второй наименьший угол .

Биссектриса внутреннего угла

У нас есть следующие свойства биссектрис внутреннего угла и углов A, B и C соответственно: ${\ displaystyle w_ {A}, w_ {B},}$${\ displaystyle w_ {C}}$

${\ displaystyle w_ {A} = b + c,}$

${\ displaystyle w_ {B} = ca,}$

${\ displaystyle w_ {C} = ba.}$

Circumradius, inradius и exradius

Площадь треугольника

${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {7}} {4}} R ^ {2},}$

где R - радиус описанной окружности треугольника .

У нас есть

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 7R ^ {2}.}$

У нас также есть

${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = 21R ^ {4}.}$

${\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} + c ^ {6} = 70R ^ {6}.}$

Отношение г / Р от inradius к описанной окружности является положительным решением кубического уравнения

${\ displaystyle 8x ^ {3} + 28x ^ {2} + 14x-7 = 0.}$

Кроме того,

${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} = {\ гидроразрыв {2} {R ^ {2}}}.}$

У нас также есть

${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {4}}} + {\ frac {1} {b ^ {4}}} + {\ frac {1} {c ^ {4}}} = {\ гидроразрыв {2} {R ^ {4}}}.}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {6}}} + {\ frac {1} {b ^ {6}}} + {\ frac {1} {c ^ {6}}} = {\ гидроразрыв {17} {7R ^ {6}}}.}$

В общем, для всех целых n ,

${\ displaystyle a ^ {2n} + b ^ {2n} + c ^ {2n} = g (n) (2R) ^ {2n}}$

куда

${\ displaystyle g (-1) = 8, \ quad g (0) = 3, \ quad g (1) = 7}$

и

${\ Displaystyle g (n) = 7g (n-1) -14g (n-2) + 7g (n-3).}$

У нас также есть

${\ displaystyle 2b ^ {2} -a ^ {2} = {\ sqrt {7}} bR, \ quad 2c ^ {2} -b ^ {2} = {\ sqrt {7}} cR, \ quad 2a ^ {2} -c ^ {2} = - {\ sqrt {7}} aR.}$

У нас также есть

${\ displaystyle a ^ {3} c + b ^ {3} ac ^ {3} b = -7R ^ {4},}$

${\ displaystyle a ^ {4} cb ^ {4} a + c ^ {4} b = 7 {\ sqrt {7}} R ^ {5},}$

${\ displaystyle a ^ {11} c ^ {3} + b ^ {11} a {3} -c ^ {11} b ^ {3} = - 7 ^ {3} 17R ^ {14}.}$

В exradius г , соответствующий сторону равен радиус девяти точек окружности от семиугольного треугольника.

Ортический треугольник

Семиугольная треугольника orthic треугольник с вершинами в подножиях высот , является похож на семиугольный треугольник с отношением подобия 1: 2. Гептагональный треугольник - единственный тупой треугольник, который подобен своему ортогональному треугольнику ( равносторонний треугольник является единственным острым треугольником ).

Тригонометрические свойства

Различные тригонометрические тождества, связанные с семиугольным треугольником, включают следующее:

${\ displaystyle A = {\ frac {\ pi} {7}}, \ quad B = {\ frac {2 \ pi} {7}}, \ quad C = {\ frac {4 \ pi} {7}} .}$

${\ Displaystyle \ соз A = b / 2a, \ quad \ cos B = c / 2b, \ quad \ cos C = -a / 2c,}$

${\ Displaystyle \ соз А \ соз В \ соз С = - {\ гидроразрыва {1} {8}},}$

${\ displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C = {\ frac {5} {4}},}$

${\ displaystyle \ cos ^ {4} A + \ cos ^ {4} B + \ cos ^ {4} C = {\ frac {13} {16}},}$

${\ Displaystyle \ детская кроватка А + \ детская кроватка В + \ кроватка С = {\ sqrt {7}},}$

${\ displaystyle \ cot ^ {2} A + \ cot ^ {2} B + \ cot ^ {2} C = 5,}$

${\ Displaystyle \ csc ^ {2} A + \ csc ^ {2} B + \ csc ^ {2} C = 8,}$

${\ Displaystyle \ csc ^ {4} A + \ csc ^ {4} B + \ csc ^ {4} C = 32,}$

${\ displaystyle \ sec ^ {2} A + \ sec ^ {2} B + \ sec ^ {2} C = 24,}$

${\ displaystyle \ sec ^ {4} A + \ sec ^ {4} B + \ sec ^ {4} C = 416,}$

${\ displaystyle \ sin A \ sin B \ sin C = {\ frac {\ sqrt {7}} {8}},}$

${\ displaystyle \ sin ^ {2} A \ sin ^ {2} B \ sin ^ {2} C = {\ frac {7} {64}},}$

${\ displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C = {\ frac {7} {4}},}$

${\ displaystyle \ sin ^ {4} A + \ sin ^ {4} B + \ sin ^ {4} C = {\ frac {21} {16}},}$

${\ displaystyle \ tan A \ tan B \ tan C = \ tan A + \ tan B + \ tan C = - {\ sqrt {7}},}$

${\ displaystyle \ tan ^ {2} A + \ tan ^ {2} B + \ tan ^ {2} C = 21.}$

Кубическое уравнение

${\ displaystyle 64y ^ {3} -112y ^ {2} + 56y-7 = 0}$

имеет решения и которые являются квадратами синусов углов треугольника. ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {\ pi} {7}}, \ sin ^ {2} {\ frac {2 \ pi} {7}},}$${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {4 \ pi} {7}},}$

Положительное решение кубического уравнения

${\ displaystyle x ^ {3} + x ^ {2} -2x-1 = 0}$

равно, что в два раза больше косинуса одного из углов треугольника. ${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}},}$

Sin (2π / 7), sin (4π / 7) и sin (8π / 7) являются корнями

${\ displaystyle x ^ {3} - {\ frac {\ sqrt {7}} {2}} x ^ {2} + {\ frac {\ sqrt {7}} {8}} = 0.}$

У нас также есть:

${\ displaystyle \ sin A- \ sin B- \ sin C = - {\ frac {\ sqrt {7}} {2}},}$

${\ Displaystyle \ грех А \ грех В- \ грех В \ грех С + \ грех С \ грех А = 0,}$

${\ displaystyle \ sin A \ sin B \ sin C = {\ frac {\ sqrt {7}} {8}}.}$

${\ displaystyle - \ sin A, \ sin B, \ sin C {\ text {являются корнями}} x ^ {3} - {\ frac {\ sqrt {7}} {2}} x ^ {2} + {\ frac {\ sqrt {7}} {8}} = 0.}$

Для целого n пусть

${\ Displaystyle S (n) = (- \ sin {A}) ^ {n} + \ sin ^ {n} {B} + \ sin ^ {n} {C}.}$

Для n = 0, ..., 20

${\ displaystyle S (n) = 3, {\ frac {\ sqrt {7}} {2}}, {\ frac {7} {2 ^ {2}}}, {\ frac {\ sqrt {7}} {2}}, {\ frac {7 \ cdot 3} {2 ^ {4}}}, {\ frac {7 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {4}}}, {\ frac {7 \ cdot 5} {2 ^ {5}}}, {\ frac {7 ^ {2} {\ sqrt {7}}} {2 ^ {7}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 5} {2 ^ {8}}}, {\ frac {7 \ cdot 25 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {9}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 9} { 2 ^ {9}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 13 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {11}}},}$

${\ displaystyle {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 33} {2 ^ {11}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 3 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {9 }}}, {\ frac {7 ^ {4} \ cdot 5} {2 ^ {14}}}, {\ frac {7 ^ {2} \ cdot 179 {\ sqrt {7}}} {2 ^ { 15}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 131} {2 ^ {16}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 3 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {12}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 493} {2 ^ {18}}}, {\ frac {7 ^ {3} \ cdot 181 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {18}}}, {\ frac {7 ^ {5} \ cdot 19} {2 ^ {19}}}.}.$

Для n = 0, -1,, ..- 20,

${\ displaystyle S (n) = 3,0,2 ^ {3}, - {\ frac {2 ^ {3} \ cdot 3 {\ sqrt {7}}} {7}}, 2 ^ {5}, - {\ frac {2 ^ {5} \ cdot 5 {\ sqrt {7}}} {7}}, {\ frac {2 ^ {6} \ cdot 17} {7}}, - 2 ^ {7} {\ sqrt {7}}, {\ frac {2 ^ {9} \ cdot 11} {7}}, - {\ frac {2 ^ {10} \ cdot 33 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, {\ frac {2 ^ {10} \ cdot 29} {7}}, - {\ frac {2 ^ {14} \ cdot 11 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2 }}}, {\ frac {2 ^ {12} \ cdot 269} {7 ^ {2}}},}$

${\ displaystyle - {\ frac {2 ^ {13} \ cdot 117 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, {\ frac {2 ^ {14} \ cdot 51} {7}} , - {\ frac {2 ^ {21} \ cdot 17 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, {\ frac {2 ^ {17} \ cdot 237} {7 ^ {2} }}, - {\ frac {2 ^ {17} \ cdot 1445 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, {\ frac {2 ^ {19} \ cdot 2203} {7 ^ { 3}}}, - {\ frac {2 ^ {19} \ cdot 1919 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, {\ frac {2 ^ {20} \ cdot 5851} {7 ^ {3}}}.}$

${\ displaystyle - \ cos A, \ cos B, \ cos C {\ text {являются корнями}} x ^ {3} + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {2}} x - {\ frac {1} {8}} = 0.}$

Для целого n пусть

${\ displaystyle C (n) = (- \ cos {A}) ^ {n} + \ cos ^ {n} {B} + \ cos ^ {n} {C}.}$

Для n = 0, 1,, .. 10,

${\ displaystyle C (n) = 3, - {\ frac {1} {2}}, {\ frac {5} {4}}, - {\ frac {1} {2}}, {\ frac {13 } {16}}, - {\ frac {1} {2}}, {\ frac {19} {32}}, - {\ frac {57} {128}}, {\ frac {117} {256} }, - {\ frac {193} {512}}, {\ frac {185} {512}}, ...}$

${\ displaystyle C (-n) = 3, -4,24, -88,416, -1824,8256, -36992,166400, -747520,3359744, ...}$

${\ displaystyle \ tan A, \ tan B, \ tan C {\ text {являются корнями}} x ^ {3} + {\ sqrt {7}} x ^ {2} -7x + {\ sqrt {7} } = 0.}$

${\ displaystyle \ tan ^ {2} A, \ tan ^ {2} B, \ tan ^ {2} C {\ text {являются корнями}} x ^ {3} -21x ^ {2} + 35x- 7 = 0.}$

Для целого n пусть

${\ Displaystyle T (n) = \ tan ^ {n} {A} + \ tan ^ {n} {B} + \ tan ^ {n} {C}.}$

Для n = 0, 1,, .. 10,

${\ displaystyle T (n) = 3, - {\ sqrt {7}}, 7 \ cdot 3, -31 {\ sqrt {7}}, 7 \ cdot 53, -7 \ cdot 87 {\ sqrt {7} }, 7 \ cdot 1011, -7 ^ {2} \ cdot 239 {\ sqrt {7}}, 7 ^ {2} \ cdot 2771, -7 \ cdot 32119 {\ sqrt {7}}, 7 ^ {2 } \ cdot 53189,}$

${\ displaystyle T (-n) = 3, {\ sqrt {7}}, 5, {\ frac {25 {\ sqrt {7}}} {7}}, 19, {\ frac {103 {\ sqrt { 7}}} {7}}, {\ frac {563} {7}}, 7 \ cdot 9 {\ sqrt {7}}, {\ frac {2421} {7}}, {\ frac {13297 {\ sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, {\ frac {10435} {7}}, ...}$

У нас также есть

${\ displaystyle \ tan A-4 \ sin B = - {\ sqrt {7}},}$

${\ displaystyle \ tan B-4 \ sin C = - {\ sqrt {7}},}$

${\ displaystyle \ tan C + 4 \ sin A = - {\ sqrt {7}}.}$

У нас также есть

${\ displaystyle \ cot ^ {2} A = 1 - {\ frac {2 \ tan C} {\ sqrt {7}}},}$

${\ displaystyle \ cot ^ {2} B = 1 - {\ frac {2 \ tan A} {\ sqrt {7}}},}$

${\ displaystyle \ cot ^ {2} C = 1 - {\ frac {2 \ tan B} {\ sqrt {7}}}.}$

У нас также есть

${\ displaystyle \ cos A = - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {4} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {3} C,}$

${\ displaystyle \ cos ^ {2} A = {\ frac {3} {4}} + {\ frac {2} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {3} A,}$

${\ displaystyle \ cot A = {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} + {\ frac {4} {\ sqrt {7}}} \ cos B,}$

${\ displaystyle \ cot ^ {2} A = 3 + {\ frac {8} {\ sqrt {7}}} \ sin A,}$

${\ displaystyle \ cot A = {\ sqrt {7}} + {\ frac {8} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {2} B,}$

${\ displaystyle \ csc ^ {3} A = - {\ frac {6} {\ sqrt {7}}} + {\ frac {2} {\ sqrt {7}}} \ tan ^ {2} C,}$

${\ Displaystyle \ сек А = 2 + 4 \ соз C,}$

${\ Displaystyle \ сек A = 6-8 \ sin ^ {2} B,}$

${\ displaystyle \ sec A = 4 - {\ frac {16} {\ sqrt {7}}} \ sin ^ {3} B,}$

${\ displaystyle \ sin ^ {2} A = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ cos B,}$

${\ displaystyle \ sin ^ {3} A = - {\ frac {\ sqrt {7}} {8}} + {\ frac {\ sqrt {7}} {4}} \ cos B,}$

У нас также есть

${\ displaystyle \ sin ^ {3} B \ sin C- \ sin ^ {3} C \ sin A- \ sin ^ {3} A \ sin B = 0,}$

${\ displaystyle \ sin B \ sin ^ {3} C- \ sin C \ sin ^ {3} A- \ sin A \ sin ^ {3} B = {\ frac {7} {2 ^ {4}}} ,}$

${\ displaystyle \ sin ^ {4} B \ sin C- \ sin ^ {4} C \ sin A + \ sin ^ {4} A \ sin B = 0,}$

${\ displaystyle \ sin B \ sin ^ {4} C + \ sin C \ sin ^ {4} A- \ sin A \ sin ^ {4} B = {\ frac {7 {\ sqrt {7}}} {2 ^ {5}}},}$

${\ displaystyle \ sin ^ {11} B \ sin ^ {3} C- \ sin ^ {11} C \ sin ^ {3} A- \ sin ^ {11} A \ sin ^ {3} B = 0, }$

${\ displaystyle \ sin ^ {3} B \ sin ^ {11} C- \ sin ^ {3} C \ sin ^ {11} A- \ sin ^ {3} A \ sin ^ {11} B = {\ гидроразрыв {7 ^ {3} \ cdot 17} {2 ^ {14}}}.}$

У нас также есть тождества типа Рамануджана,

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left (- {\ sqrt [{18}] {7}} \ right) {\ sqrt [{3}] {- {\ sqrt [{ 3}] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {5-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}} + {\ sqrt [{3}] { 4-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}} \ right)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{ 3}] {2 \ sin ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left (- {\ frac {1} {\ sqrt [{18}] {7}}} \ right) {\ sqrt [{3}] {6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {5-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}}} + {\ sqrt [{3}] {4-3 {\ sqrt [ {3}] {7}}}} \ right)}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {4 \ sin ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {4 \ sin ^ { 2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {4 \ sin ^ {2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})} знак равно$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left ({\ sqrt [{18}] {49}} \ right) {\ sqrt [{3}] {{\ sqrt [{3} ] {49}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {12 + 3 ({\ sqrt [{3}] {49}} + 2 {\ sqrt [{3}] {7}) })}} + {\ sqrt [{3}] {11 + 3 ({\ sqrt [{3}] {49}} + 2 {\ sqrt [{3}] {7}})}} \ right) }}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {4 \ sin ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} { \ sqrt [{3}] {4 \ sin ^ {2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {4 \ грех ^ {2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt [{18}] {49}}} \ right) {\ sqrt [{3}] { 2 {\ sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {12 + 3 ({\ sqrt [{3}] {49}} + 2 {\ sqrt [{3}] {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {11 + 3 ({\ sqrt [{3}] {49}} + 2 {\ sqrt [{3}] {7 }})}}\верно)}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2 \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} = {\ sqrt [{3}] {5 -3 {\ sqrt [{3}] {7}}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {2 \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{ 3}] {2 \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {2 \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}} = {\ sqrt [{3}] {4–3 {\ sqrt [{3}] {7}}}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {4 \ cos ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {4 \ cos ^ { 2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {4 \ cos ^ {2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})} } = {\ sqrt [{3}] {11 + 3 (2 {\ sqrt [{3}] {7}} + {\ sqrt [{3}] {49}})}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {4 \ cos ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} { \ sqrt [{3}] {4 \ cos ^ {2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {4 \ cos ^ {2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}} = {\ sqrt [{3}] {12 + 3 (2 {\ sqrt [{3}] {7}} + {\ sqrt [{3}] {49}})}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ tan ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ tan ({\ frac {4 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ tan ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left (- {\ sqrt [{18}] {7}} \ right) {\ sqrt [{3}] {{\ sqrt [{3 }] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {5 + 3 ({\ sqrt [{3}] {7}} - {\ sqrt [{3}] {49}) })}} + {\ sqrt [{3}] {- 3 + 3 ({\ sqrt [{3}] {7}} - {\ sqrt [{3}] {49}})}} \ right) }}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3 }] {\ tan ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ({\ frac {8 \ pi} { 7}})}}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left (- {\ frac {1} {\ sqrt [{18}] {7}}} \ right) {\ sqrt [{3}] {- {\ sqrt [{3}] {49}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {5 + 3 ({\ sqrt [{3}] {7}} - {\ sqrt [{3}] {49}})}} + {\ sqrt [{3}] {- 3 + 3 ({\ sqrt [{3}] {7}} - {\ sqrt [{3}] {49 }})}}\верно)}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left ({\ sqrt [{18}] {49}} \ right) {\ sqrt [{3}] {3 {\ sqrt [{3 }] {49}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {89 + 3 (3 {\ sqrt [{3}] {49}} + 5 {\ sqrt [{3}] { 7}})}} + {\ sqrt [{3}] {25 + 3 (3 {\ sqrt [{3}] {49}} + 5 {\ sqrt [{3}] {7}})}} \верно)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ {2} ({\ frac {4 \ pi} {7}})}}} + {\ frac {1} {\ sqrt [{3}] {\ tan ^ { 2} ({\ frac {8 \ pi} {7}})}}} =}$

${\ displaystyle {\ text {.......}} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt [{18}] {49}}} \ right) {\ sqrt [{3}] { 5 {\ sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {89 + 3 (3 {\ sqrt [{3}] {49}} + 5 {\ sqrt [{3}] {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {25 + 3 (3 {\ sqrt [{3}] {49}} + 5 {\ sqrt [{3}]) {7}})}} \ right)}}}$

У нас также есть

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3} ] {\ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} = - {\ sqrt [{3}] {7} }.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3} ] {\ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} = 0.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({2 \ pi} {7}}} + {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({4 \ pi} {7}}}) + {\ sqrt [{3}] {2 \ sin ({8 \ pi} {7}}} = \ left (- {\ sqrt [{18}] {7}} \ right) {\ sqrt [{3 }] {- {\ sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 \ left ({\ sqrt [{3}] {5-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}} + {\ sqrt [{3}] {4-3 {\ sqrt [{3}] {7}}}} \ right)}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {4} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {2 \ pi} {7}})} } + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {4} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {4 \ pi} {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {4} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ({\ frac {8 \ pi} {7}})}} = - {\ sqrt [{3}] {49}} / 2.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {5} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {2} ({\ frac {4 \ pi} {7 }})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {5} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {2} ({\ frac {8 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {5} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {2} ({\ frac { 2 \ pi} {7}})}} = 0.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {5} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {2} ({\ frac {2 \ pi} {7 }})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {5} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {2} ({\ frac {4 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {5} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {2} ({\ frac { 9 \ pi} {7}})}} = - 3 * {\ sqrt [{3}] {7}} / 2.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {4 \ pi} {7 }})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {8 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac { 2 \ pi} {7}}}} = 0.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {4 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {2 \ pi} {7 }})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {8 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac {4 \ pi } {7}})}} + {\ sqrt [{3}] {\ cos ^ {14} ({\ frac {2 \ pi} {7}}) / \ cos ^ {5} ({\ frac { 8 \ pi} {7}})}} = - 61 * {\ sqrt [{3}] {7}} / 8.}$

использованная литература