Тета-функция Римана – Зигеля - Riemann–Siegel theta function

В математике , то тета - функция Римана-Зигеля определена в терминах гамма - функции , как

${\ displaystyle \ theta (t) = \ arg \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {it} {2}} \ right) \ right) - {\ frac {\ log \ pi} {2}} т}$

для реальных значений  t . Здесь аргумент выбирается таким образом , что непрерывная функция получается и имеет место, то есть, таким же образом , что главная ветвь в лог-гамма - функция определена. ${\ displaystyle \ theta (0) = 0}$

Он имеет асимптотическое разложение

${\ displaystyle \ theta (t) \ sim {\ frac {t} {2}} \ log {\ frac {t} {2 \ pi}} - {\ frac {t} {2}} - {\ frac { \ pi} {8}} + {\ frac {1} {48t}} + {\ frac {7} {5760t ^ {3}}} + \ cdots}$

который не сходится, но первые несколько членов которого дают хорошее приближение для . Его ряд Тейлора в 0, сходящийся при, равен ${\ Displaystyle т \ gg 1}$${\ Displaystyle | т | <1/2}$

${\ displaystyle \ theta (t) = - {\ frac {t} {2}} \ log \ pi + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} \ psi ^ {(2k)} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right)} {(2k + 1)!}} \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) ^ {2k + 1}}$

где обозначает полигамма-функцию порядка . Тета-функция Римана – Зигеля представляет интерес для изучения дзета-функции Римана , поскольку она может вращать дзета-функцию Римана так, что она становится полностью вещественной Z-функцией на критической прямой . ${\ displaystyle \ psi ^ {(2k)}}$${\ displaystyle 2k}$ ${\ displaystyle s = 1/2 + it}$

Кривая обсуждение

Тета-функция Римана – Зигеля является нечетной вещественной аналитической функцией для вещественных значений с тремя корнями в и . Это возрастающая функция , и имеет локальные экстремумы на , со значением . Он имеет единственную точку перегиба в точке с , которая является минимумом его производной. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ pm 17.8455995405 \ ldots}$${\ displaystyle | t |> 6,29}$${\ displaystyle \ pm 6.289835988 \ ldots}$${\ displaystyle \ mp 3.530972829 \ ldots}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime} (0) = - {\ frac {\ ln \ pi + \ gamma + \ pi / 2 + 3 \ ln 2} {2}} = - 2,6860917 \ ldots}$

Тета как функция комплексной переменной

У нас есть выражение бесконечного ряда для логарифмической гамма- функции

${\ displaystyle \ log \ Gamma \ left (z \ right) = - \ gamma z- \ log z + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {z} {n}} - \ log \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) \ right),}$

где γ - постоянная Эйлера . Подставляя для г и взяв мнимую часть почленно дает следующую серию для thetas ; ( т ) ${\ displaystyle (2it + 1) / 4}$

${\ displaystyle \ theta (t) = - {\ frac {\ gamma + \ log \ pi} {2}} t- \ arctan 2t + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {t} {2n}} - \ arctan \ left ({\ frac {2t} {4n + 1}} \ right) \ right).}$

Для значений с мнимой частью от -1 до 1 функция арктангенса голоморфна , и легко видеть, что ряд сходится равномерно на компактах в области с мнимой частью между -1/2 и 1/2, что приводит к голоморфному функции в этом домене. Отсюда следует, что функция Z также голоморфна в этой области, являющейся критической полосой.

Мы можем использовать личности

${\ displaystyle \ arg z = {\ frac {\ log z- \ log {\ bar {z}}} {2i}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ overline {\ Gamma (z)} } = \ Gamma ({\ bar {z}})}$

чтобы получить выражение в закрытой форме

${\ displaystyle \ theta (t) = {\ frac {\ log \ Gamma \ left ({\ frac {2it + 1} {4}} \ right) - \ log \ Gamma \ left ({\ frac {-2it + 1} {4}} \ right)} {2i}} - {\ frac {\ log \ pi} {2}} t = - {\ frac {i} {2}} \ left (\ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {it} {2}} \ right) - \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} - {\ frac {it}) {2}} \ right) \ right) - {\ frac {\ ln (\ pi) t} {2}}}$

что расширяет наше первоначальное определение до голоморфной функции от t . Поскольку главная ветвь log Γ имеет единственную ветвь, разрезанную вдоль отрицательной действительной оси, θ ( t ) в этом определении наследует разрезы ветвей вдоль мнимой оси выше i / 2 и ниже - i / 2.

Тета-функция Римана – Зигеля на комплексной плоскости

${\ Displaystyle -1 <\ Re (т) <1}$	${\ Displaystyle -5 <\ Re (т) <5}$	${\ Displaystyle -40 <\ Re (т) <40}$

Грамм

Дзета-функцию Римана на критической прямой можно записать

${\ displaystyle \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right) = e ^ {- i \ theta (t)} Z (t),}$

${\ displaystyle Z (t) = e ^ {i \ theta (t)} \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + it \ right).}$

Если - действительное число , функция Z возвращает действительные значения. ${\ displaystyle t}$ ${\ Displaystyle Z (т)}$

Следовательно, дзета-функция на критической линии будет реальной, когда . Положительные действительные значения, в которых это происходит, называются точками Грама после JP Gram и, конечно, также могут быть описаны как точки, где - целое число. ${\ Displaystyle \ грех \ влево (\, \ тета (т) \, \ вправо) = 0}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ frac {\ theta (t)} {\ pi}}}$

Гры точка представляет собой раствор из ${\ displaystyle g_ {n}}$

${\ displaystyle \ theta (g_ {n}) = n \ pi.}$

Эти решения аппроксимируются последовательностью:

${\ displaystyle g '_ {n} = {\ frac {2 \ pi \ left (n + 1 - {\ frac {7} {8}} \ right)} {W \ left ({\ frac {1} { e}} \ left (n + 1 - {\ frac {7} {8}} \ right) \ right)}},}$

где - W-функция Ламберта . ${\ displaystyle W}$

Вот самые маленькие неотрицательные точки Грама

${\ displaystyle n}$	${\ displaystyle g_ {n}}$	${\ displaystyle \ theta (g_ {n})}$
−3	0	0
−2	3,4362182261 ...	- π
−1	9.6669080561 ...	- π
0	17.8455995405 ...	0
1	23.1702827012 ...	π
2	27.6701822178 ...	2 π
3	31.7179799547 ...	3 π
4	35.4671842971 ...	4 π
5	38.9992099640 ...	5 π
6	42.3635503920 ...	6 π
7	45,5930289815 ...	7 π
8	48.7107766217 ...	8 π
9	51.7338428133 ...	9 π
10	54.6752374468 ...	10 π
11	57.5451651795 ...	11 π
12	60.3518119691 ...	12 π
13	63.1018679824 ...	13 π
14	65.8008876380 ...	14 π
15	68.4535449175 ...	15 π

Выбор индекса n несколько грубый. Исторически он выбирается таким образом, что индекс равен 0 при первом значении, которое больше наименьшего положительного нуля (в мнимой части 14,13472515 ...) дзета-функции Римана на критической линии. Обратите внимание, что эта -функция колеблется для абсолютно малых вещественных аргументов и, следовательно, не является однозначно обратимой в интервале [-24,24]! Таким образом, нечетная тета-функция имеет свою симметричную точку Грама со значением 0 при индексе −3. Точки грамма полезны при вычислении нулей . В точке Грама${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle Z \ влево (т \ вправо)}$${\ displaystyle g_ {n},}$

${\ displaystyle \ zeta \ left ({\ frac {1} {2}} + ig_ {n} \ right) = \ cos (\ theta (g_ {n})) Z (g_ {n}) = (- 1 ) ^ {n} Z (g_ {n}),}$

и если он положителен в двух последовательных точках Грама, в интервале должен быть ноль. ${\ Displaystyle Z \ влево (т \ вправо)}$

Согласно закону Грама , то действительная часть является обычно положительна в то время как мнимая часть чередуется с точками Грама, между положительными и отрицательными значениями в несколько регулярных интервалах.

${\ Displaystyle (-1) ^ {п} Z (г_ {п})> 0}$

Количество корней в полосе от 0 до T можно найти по формуле ${\ Displaystyle N (T)}$

${\ Displaystyle N (T) = {\ гидроразрыва {\ theta (T)} {\ pi}} + 1 + S (T),}$

где - член ошибки, асимптотически растущий как . ${\ Displaystyle S (T)}$${\ displaystyle \ log T}$

Только если бы он подчинялся закону Грама , тогда нахождение числа корней в полосе просто становится ${\ displaystyle g_ {n}}$

${\ displaystyle N (g_ {n}) = n + 1.}$

Сегодня мы знаем, что, в конечном счете, закон Грама не может содержать ровно 1 ноль дзета-функции Римана примерно для 1/4 всех интервалов Грама. Грам опасался, что он может потерпеть неудачу для более крупных индексов (первый промах находится в индексе 126 перед 127-м нулем) и поэтому утверждал это только для не слишком высоких индексов. Позже Хатчинсон придумал фразу «закон Грама» для (ложного) утверждения о том, что все нули на критической линии должны быть разделены точками Грама.

Смотрите также

• Z функция

использованная литература

• Эдвардс, HM (1974), дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, MR  0466039
• Габке, В. (1979), Neue Herleitung und Expizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel . Диссертация, Геттингенский университет . Пересмотренная версия (eDiss Göttingen 2015)
• Gram, JP (1903), "Примечание сюр - ле - де - ла - Нули fonction ζ (с) де Римана" (PDF) , Acta Mathematica , 27 (1): 289-304, DOI : 10.1007 / BF02421310

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Функции Римана-Зигеля" . MathWorld .
• Wolfram Research - Тета-функция Римана-Зигеля (включает построение и оценку функций)