Распределение Гомперца - Gompertz distribution

Распределение Гомперца

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	форма , масштаб${\ displaystyle \ eta> 0 \, \!}$${\ displaystyle b> 0 \, \!}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в [0, \ infty) \!}$
PDF	${\ displaystyle b \ eta \ exp \ left (\ eta + bx- \ eta e ^ {bx} \ right)}$
CDF	${\ Displaystyle 1- \ ехр \ влево (- \ эта \ влево (е ^ {bx} -1 \ вправо) \ вправо)}$
Иметь в виду	${\ displaystyle (1 / b) e ^ {\ eta} {\ text {Ei}} \ left (- \ eta \ right)}$ ${\ displaystyle {\ text {где Ei}} \ left (z \ right) = \ int \ limits _ {- z} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- v} / v \ right) dv}$
Медиана	${\ Displaystyle \ влево (1 / б \ вправо) \ пер \ влево [\ влево (-1 / \ эта \ вправо) \ пер \ влево (1/2 \ вправо) +1 \ вправо]}$
Режим	${\ Displaystyle = \ влево (1 / Ь \ вправо) \ пер \ влево (1 / \ эта \ вправо) \}$ ${\ displaystyle {\ text {with}} 0 <{\ text {F}} \ left (x ^ {*} \ right) <1-e ^ {- 1} = 0,632121,0 <\ eta <1}$ ${\ displaystyle = 0, \ quad \ eta \ geq 1}$
Дисперсия	${\ displaystyle \ left (1 / b \ right) ^ {2} e ^ {\ eta} \ {- 2 \ eta {\} _ {3} {\ text {F}} _ {3} \ left (1 , 1,1; 2,2,2; - \ eta \ right) + \ gamma ^ {2}}$${\ Displaystyle + \ влево (\ пи ^ {2} / 6 \ вправо) +2 \ гамма \ пер \ влево (\ эта \ право) + [\ пер \ влево (\ эта \ вправо)] ^ {2} - e ^ {\ eta} [{\ text {Ei}} \ left (- \ eta \ right)] ^ {2} \}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {where}} & \ gamma {\ text {- постоянная Эйлера:}} \, \! \\ & \ gamma = - \ psi \ left (1 \ right) = {\ text {0,577215 ...}} \ end {выровнено}}}$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {and}} {} _ {3} {\ text {F}} _ {3} & \ left (1,1,1; 2,2,2; - z \ right) = \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left [1 / \ left (k + 1 \ right) ^ {3} \ right] \ left (-1 \ right) ^ {k} \ left (z ^ {k} / k! \ right) \ end {выровнено}}}$
MGF	${\ displaystyle {\ text {E}} \ left (e ^ {- tx} \ right) = \ eta e ^ {\ eta} {\ text {E}} _ {t / b} \ left (\ eta \ Правильно)}$ ${\ displaystyle {\ text {с E}} _ {t / b} \ left (\ eta \ right) = \ int _ {1} ^ {\ infty} e ^ {- \ eta v} v ^ {- t / b} dv, \ t> 0}$

В вероятности и статистике , то распределение Gompertz является непрерывным распределением вероятностей , названным в честь Бенджамина Гомпертца . Распределение Гомпертца часто применяется демографами и актуариями для описания распределения продолжительности жизни взрослого населения . Родственные области науки, такие как биология и геронтология, также рассматривали распределение Гомперца для анализа выживаемости. Совсем недавно компьютерные ученые также начали моделировать частоту отказов компьютерного кода с помощью распределения Гомпертца. В маркетинговой науке он использовался в качестве моделирования на индивидуальном уровне для моделирования жизненной ценности клиента . В теории сетей , в частности в модели Эрдеша – Реньи , длина случайного блуждания с самоизбеганием (SAW) распределяется в соответствии с распределением Гомперца.

Технические характеристики

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Гомперца:

${\ Displaystyle е \ влево (х; \ эта, Ь \ право) = б \ эта \ ехр \ влево (\ эта + bx- \ эта е ^ {bx} \ право) {\ текст {для}} х \ geq 0, \,}$

где это масштабный параметр и является параметром формы распределения Гомперца. В актуарных и биологических науках, а также в демографии распределение Гомперца параметризуется несколько иначе ( закон смертности Гомперца – Мейкхема ). ${\ displaystyle b> 0 \, \!}$${\ displaystyle \ eta> 0 \, \!}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения распределения Гомперца является:

${\ displaystyle F \ left (x; \ eta, b \ right) = 1- \ exp \ left (- \ eta \ left (e ^ {bx} -1 \ right) \ right),}$

где и${\ displaystyle \ eta, b> 0,}$${\ Displaystyle х \ geq 0 \ ,.}$

Функция создания моментов

Функция создания момента:

${\ displaystyle {\ text {E}} \ left (e ^ {- tX} \ right) = \ eta e ^ {\ eta} {\ text {E}} _ {t / b} \ left (\ eta \ Правильно)}$

куда

${\ displaystyle {\ text {E}} _ {t / b} \ left (\ eta \ right) = \ int _ {1} ^ {\ infty} e ^ {- \ eta v} v ^ {- t / b} dv, \ t> 0.}$

Характеристики

Распределение Гомперца - это гибкое распределение, которое можно наклонять вправо и влево. Его функция риска является выпуклой функцией от . Модель может быть вписана в парадигму имитации инноваций с коэффициентом инновационности и коэффициентом имитации. Когда станет большим, подходит . Модель также может принадлежать к парадигме склонности к принятию с учетом как предрасположенности к принятию, так и общей привлекательности нового предложения. ${\ displaystyle h (x) = \ eta be ^ {bx}}$${\ displaystyle F \ left (x; \ eta, b \ right)}$${\ displaystyle p = \ eta b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle г (т)}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle b}$

Формы

Функция плотности Гомперца может принимать разные формы в зависимости от значений параметра формы : ${\ displaystyle \ eta \, \!}$

• Когда функция плотности вероятности имеет режим 0.${\ displaystyle \ eta \ geq 1, \,}$
• Когда функция плотности вероятности имеет режим при${\ Displaystyle 0 <\ eta <1, \,}$

${\ displaystyle x ^ {*} = \ left (1 / b \ right) \ ln \ left (1 / \ eta \ right) {\ text {with}} 0 <F \ left (x ^ {*} \ right ) <1-e ^ {- 1} = 0,632121}$

Дивергенция Кульбака-Лейблера

Если и - функции плотности вероятности двух распределений Гомперца, то их расходимость Кульбака-Лейблера определяется выражением ${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} D_ {KL} (f_ {1} \ parallel f_ {2}) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {1} (x; b_ {1}, \ eta _ {1}) \, \ ln {\ frac {f_ {1} (x; b_ {1}, \ eta _ {1})} {f_ {2} (x; b_ {2}, \ eta _ {2})}} dx \\ & = \ ln {\ frac {e ^ {\ eta _ {1}} \, b_ {1} \, \ eta _ {1}} {e ^ {\ eta _ {2}} \, b_ {2} \, \ eta _ {2}}} + e ^ {\ eta _ {1}} \ left [\ left ({\ frac {b_ {2}} {b_ {1 }}} - 1 \ right) \, \ operatorname {Ei} (- \ eta _ {1}) + {\ frac {\ eta _ {2}} {\ eta _ {1} ^ {\ frac {b_ { 2}} {b_ {1}}}}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {b_ {2}} {b_ {1}}} + 1, \ eta _ {1} \ right) \ right] - (\ eta _ {1} +1) \ end {align}}}$

где обозначает экспоненциальный интеграл, а - верхняя неполная гамма-функция . ${\ Displaystyle \ OperatorName {Ei} (\ cdot)}$${\ Displaystyle \ Гамма (\ cdot, \ cdot)}$

Связанные дистрибутивы

• Если X определяется как результат выборки из распределения Гамбеля до тех пор, пока не будет получено отрицательное значение Y , и установка X = - Y , тогда X имеет распределение Гомперца.
• Гамма - распределение является естественным конъюгат до к вероятности Гомперца с известным параметром масштаба${\ displaystyle b \, \ !.}$
• Когда изменяется в соответствии с гамма-распределением с параметром формы и параметром масштаба (среднее значение = ), распределение составляет Гамма / Гомперц.${\ displaystyle \ eta \, \!}$${\ Displaystyle \ альфа \, \!}$${\ Displaystyle \ бета \, \!}$${\ Displaystyle \ альфа / \ бета \, \!}$${\ displaystyle x}$

Распределение Гомперца соответствует максимальному месячному количеству осадков за 1 день

Приложения

• В гидрологии распределение Гомперца применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток рек. На синем рисунке показан пример подгонки распределения Гомпертца к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывающий также 90% -ный доверительный пояс, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде точек на графике как часть кумулятивного частотного анализа .

Смотрите также

• Закон смертности Гомперца-Мейкхема
• Функция Гомперца
• Значение жизни клиентов
• Гамма-распределение Гомперца

Примечания

использованная литература

• Bemmaor, Albert C .; Глади, Николас (2011). «Реализация модели Gamma / Gompertz / NBD в MATLAB» (PDF) . Сержи-Понтуаз: Бизнес-школа ESSEC.
• Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств» . Философские труды Лондонского королевского общества . 115 : 513–583. DOI : 10,1098 / rstl.1825.0026 . JSTOR  107756 .
• Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения . 2 (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 25–26. ISBN 0-471-58494-0.
• Шейх, AK; Боа, JK; Юнас, М. (1989). «Усеченная модель экстремальных значений для надежности трубопроводов». Техника надежности и системная безопасность . 25 (1): 1–14. DOI : 10.1016 / 0951-8320 (89) 90020-3 .