Теория Гирарди – Римини – Вебера - Ghirardi–Rimini–Weber theory

Теория Гирарди – Римини – Вебера ( GRW ) - это теория спонтанного коллапса в квантовой механике , предложенная в 1986 году Джанкарло Гирарди , Альберто Римини и Туллио Вебером.

Проблема измерения и самопроизвольные коллапсы

Квантовая механика имеет два принципиально разных динамических принципа: линейное и детерминированное уравнение Шредингера и постулат нелинейной и стохастической редукции волновых пакетов . Ортодоксальная интерпретация или копенгагенская интерпретация квантовой механики предполагает коллапс волновой функции каждый раз, когда наблюдатель выполняет измерение. Таким образом, возникает проблема определения того, что такое «наблюдатель» и «измерение». Еще одна проблема квантовой механики заключается в том, что она предсказывает суперпозиции макроскопических объектов, которые не наблюдаются в Природе (см . Парадокс кота Шредингера ). Теория не говорит, где находится порог между микроскопическим и макроскопическим мирами, то есть когда квантовая механика должна оставить место классической механике . Вышеупомянутые проблемы составляют проблему измерения в квантовой механике.

Теории коллапса избегают проблемы измерения, объединяя два динамических принципа квантовой механики в уникальное динамическое описание. Физическая идея, лежащая в основе теорий коллапса, заключается в том, что частицы подвергаются спонтанному коллапсу волновой функции, которые происходят случайным образом как во времени (с заданной средней скоростью), так и в пространстве (согласно правилу Борна ). Таким образом, избегаются неточные разговоры о «наблюдателе» и «измерении», которые мешают ортодоксальной интерпретации, потому что волновая функция спонтанно схлопывается. Более того, благодаря так называемому «механизму усиления» (обсуждается позже), теории коллапса восстанавливают как квантовую механику для микроскопических объектов, так и классическую механику для макроскопических.

GRW является первой разработанной теорией спонтанного коллапса. В последующие годы поле было развито, и были предложены различные модели, среди которых CSL-модель , сформулированная в терминах идентичных частиц; модель Диози-Пенроуза , связывающая спонтанный коллапс с гравитацией; модель QMUPL, подтверждающая важные математические результаты по теориям коллапса; цветная модель QMUPL, единственная модель коллапса, включающая цветные случайные процессы, для которых известно точное решение.

Теория

Первое предположение теории GRW состоит в том, что волновая функция (или вектор состояния) представляет собой наиболее точное возможное описание состояния физической системы. Это особенность, которую теория GRW разделяет со стандартной интерпретацией квантовой механики , и отличает ее от теорий скрытых переменных , таких как теория де Бройля-Бома , согласно которой волновая функция не дает полного описания физической системы. Теория GRW отличается от стандартной квантовой механики динамическими принципами, согласно которым развивается волновая функция. Для получения дополнительных философских вопросов, связанных с теорией GRW и теориями коллапса в целом, следует обратиться к.

Принципы работы

Каждая частица системы, описываемой многочастичной волновой функцией, независимо подвергается процессу самопроизвольной локализации (или скачку): ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ rightarrow {\ frac {| \ psi _ {x} ^ {i} \ rangle} {\ sqrt {\ langle \ psi _ {x} ^ {i} | \ psi _ {x } ^ {i} \ rangle}}}}$ ,

где - состояние после того, как оператор локализовал -ю частицу вокруг позиции . ${\ displaystyle | \ psi _ {x} ^ {i} \ rangle = {\ hat {L}} _ {x} ^ {i} | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x} ^ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle x}$

Процесс локализации случайен как в пространстве, так и во времени. Скачки распределены по Пуассону во времени со средней скоростью ; плотность вероятности того, что прыжок произойдет в позиции, составляет . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle P_ {я} (х) = \ langle \ psi _ {x} ^ {i} | \ psi _ {x} ^ {i} \ rangle}$
Оператор локализации имеет гауссовский вид:

${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {x} ^ {i} = \ left ({\ frac {1} {\ pi r_ {C} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3 } {4}} e ^ {- {\ frac {({\ hat {q}} _ {i} -x) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}}}$ ,

где - оператор положения -й частицы, - расстояние локализации. ${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle r_ {C}}$

Между двумя процессами локализации волновая функция эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера .

Эти принципы могут быть выражены более компактно с помощью формализма статистических операторов . Поскольку процесс локализации пуассоновский, в интервале времени существует вероятность того, что произойдет коллапс, т. Е. Чистое состояние трансформируется в следующую статистическую смесь: ${\ displaystyle dt}$ ${\ displaystyle \ lambda dt}$ ${\ displaystyle \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$

${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {i} [\ rho] \ Equiv \ int dx \, {\ hat {L}} _ {x} ^ {i} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | {\ hat {L}} _ {x} ^ {i}}$ .

В том же интервале времени существует вероятность того, что система продолжит развиваться в соответствии с уравнением Шредингера. Соответственно, основное уравнение GRW для частиц имеет вид ${\ displaystyle 1- \ lambda dt}$ ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ rho (t) = - {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, \ rho (t)] - \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ lambda _ {i} \ left (\ rho (t) - {\ hat {T}} _ {i} [\ rho] \ right)}$ ,

где - гамильтониан системы, квадратные скобки обозначают коммутатор . ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

Теория GRW вводит два новых параметра, а именно скорость коллапса и расстояние локализации . Это феноменологические параметры, значения которых не фиксируются никаким принципом и должны пониматься как новые константы Природы. Сравнение прогнозов модели с экспериментальными данными позволяет ограничить значения параметров (см. Модель CSL). Скорость коллапса должна быть такой, чтобы микроскопические объекты почти никогда не локализовались, таким образом эффективно восстанавливая стандартную квантовую механику. Первоначально предложенное значение было таким , в то время как недавно Стивен Л. Адлер предположил, что это значение (с погрешностью в два порядка) является более адекватным. Существует общее мнение о значении расстояния локализации. Это мезоскопическое расстояние, при котором микроскопические суперпозиции остаются неизменными, а макроскопические - схлопываются. ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle r_ {C}}$ ${\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 16} \ mathrm {s} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ lambda = 10 ^ {- 8} \ mathrm {s} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle r_ {C} = 10 ^ {- 7} \ mathrm {m}}$

Примеры

Когда в волновую функцию попадает внезапный скачок, действие оператора локализации по существу приводит к умножению волновой функции на коллапс по Гауссу.

Давайте рассмотрим гауссову волновую функцию с разбросом с центром в точке и предположим, что она претерпевает процесс локализации в позиции . Таким образом, у человека есть (в одном измерении) ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ Displaystyle х = а}$

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {(\ pi \ sigma) ^ {\ frac {1} {4}}}} \, e ^ {- {\ frac {(xa) ^ { 2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \ quad \ longrightarrow \ quad \ psi _ {a} (x) = {\ hat {L}} _ {x = a} \, \ psi (x) = {\ cal {N}} e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} \, e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ ,

где - коэффициент нормализации. Предположим далее , что начальное состояние делокализованы, т.е. . В этом случае ${\ displaystyle {\ cal {N}}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ gg r_ {C}}$

${\ displaystyle \ psi _ {a} (x) \ simeq {\ cal {N}} 'e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} }$ ,

где - еще один нормирующий коэффициент. Таким образом, обнаруживается, что после того, как произошел внезапный скачок, первоначально делокализованная волновая функция стала локализованной. ${\ displaystyle {\ cal {N}} '}$

Еще один интересный случай , когда начальное состояние является суперпозицией двух состояний Гаусса, центрированных на и соответственно: . Если локализация происходит, например, вокруг одного ${\ displaystyle x = -a}$ ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {2 (\ pi \ sigma) ^ {\ frac {1} {4}}}} \, \ left [e ^ {- {\ frac {( x + a) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} + e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \ right ]}$ ${\ Displaystyle х = а}$

${\ displaystyle \ psi _ {a} (x) = {\ cal {N}} e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} \ left [e ^ {- {\ frac {(x + a) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} + e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \ right] = {\ cal {N}} \ left [e ^ {- {\ frac {\ sigma ^ {2} + r_ {C} ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} r_ {C} ^ {2}}} \, \ left (x + {\ frac {\ sigma ^ {2} -r_ {C} ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + r_ { C} ^ {2}}} a \ right) ^ {2} - {\ frac {2a ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + r_ {C} ^ {2}}}} + e ^ { - {\ frac {\ sigma ^ {2} + r_ {C} ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} r_ {C} ^ {2}}} \, (xa) ^ {2}} \ Правильно]}$ .

Если предположить, что каждый гауссиан локализован ( ), а общая суперпозиция делокализована ( ), можно найти ${\ displaystyle \ sigma \ ll r_ {C}}$ ${\ displaystyle 2a \ gg r_ {C}}$

${\ displaystyle \ psi _ {a} (x) \ simeq {\ cal {N}} '\ left [e ^ {- {\ frac {\ left (x + a \ right) ^ {2}} {2 \ сигма ^ {2}}} - {\ frac {2a ^ {2}} {r_ {C} ^ {2}}}} + e ^ {- {\ frac {(xa) ^ {2}} {2 \ сигма ^ {2}}}} \ right]}$ .

Таким образом, мы видим, что гауссиан, на который попадает локализация, остается неизменным, а другой экспоненциально подавляется.

Механизм усиления

Это одна из наиболее важных особенностей теории GRW, поскольку она позволяет нам восстановить классическую механику для макроскопических объектов. Рассмотрим твердое тело из частиц, статистический оператор которого эволюционирует в соответствии с описанным выше основным уравнением. Введем центр масс ( ) и относительной ( ) операторов положения, которые позволяют нам переписать оператор положение каждой частицы следующим образом : . Можно показать, что, когда гамильтониан системы можно разделить на гамильтониан центра масс и относительный гамильтониан , статистический оператор центра масс эволюционирует в соответствии со следующим основным уравнением: ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle {\ hat {Q}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {i} = {\ hat {Q}} + {\ hat {r}} _ {i}}$ ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {CM}}}$ ${\ displaystyle H_ {r}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {CM}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ rho _ {\ mathrm {CM}} (t) = - {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}} _ {\ mathrm {CM}}, \ rho _ {\ mathrm {CM}} (t)] - \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ lambda _ {i} \ left (\ rho _ {\ mathrm {CM }} (t) - {\ hat {T}} _ {\ mathrm {CM}} [\ rho _ {\ mathrm {CM}} (t)] \ right)}$ ,

куда

${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {\ mathrm {CM}} [\ rho _ {\ mathrm {CM}} (t)] = \ left ({\ frac {1} {\ pi r_ {C}) ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ int _ {\ infty} ^ {\ infty} d ^ {3} x \, e ^ {- {\ frac {({ \ hat {Q}} - x) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}} \, \ rho _ {\ mathrm {CM}} (t) \, e ^ {- {\ frac {({\ hat {Q}} - x) ^ {2}} {2r_ {C} ^ {2}}}}}$ .

Таким образом, можно видеть, что центр масс коллапсирует со скоростью, которая является суммой скоростей его составляющих: это механизм усиления. Если для простоты предположить, что все частицы схлопываются с одинаковой скоростью , получится . ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = N \, \ lambda}$

Объект, состоящий из числа нуклонов Авогадро ( ), коллапсирует почти мгновенно: значения GRW и Адлера дают соответственно и . Таким образом, гарантируется быстрое сокращение суперпозиций макроскопических объектов, а теория GRW эффективно восстанавливает классическую механику для макроскопических объектов. ${\ Displaystyle N \ simeq 10 ^ {23}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = 10 ^ {7} \, \ mathrm {s} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = 10 ^ {15} \, \ mathrm {s} ^ {- 1}}$

Другие особенности

Мы кратко рассмотрим другие интересные особенности теории GRW.

Теория GRW делает разные предсказания, чем стандартная квантовая механика , и поэтому может быть проверена на соответствие ей (см. Модель CSL).
Шум коллапса многократно толкает частицы, вызывая процесс диффузии ( броуновское движение ). Это вводит в систему постоянное количество энергии, что приводит к нарушению принципа сохранения энергии . Для модели GRW можно показать, что энергия растет линейно во времени со скоростью , которая для макроскопического объекта составляет . Хотя такое увеличение энергии незначительно, эта особенность модели не является привлекательной. По этой причине было исследовано диссипативное расширение теории GRW. ${\ displaystyle \ lambda \ hbar ^ {2} / 4mr_ {C} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ simeq 10 ^ {- 14} \ mathrm {эрг \, \, s} ^ {- 1}}$
Теория GRW не допускает идентичных частиц. Расширение теории с помощью идентичных частиц было предложено Тумулкой.
GRW - это нерелятивистская теория, ее релятивистское расширение для невзаимодействующих частиц было исследовано Тумулкой, а модели взаимодействия все еще находятся в стадии исследования.
Основное уравнение теории GRW описывает процесс декогеренции, согласно которому недиагональные элементы статистического оператора подавляются экспоненциально. Это особенность, которую теория GRW разделяет с другими теориями коллапса: те, которые включают белые шумы, связаны с основными уравнениями Линдблада , в то время как цветная модель QMUPL следует немарковскому гауссовскому главному уравнению.

Languages

In other projects