Обобщения чисел Фибоначчи - Generalizations of Fibonacci numbers

В математике , что числа Фибоначчи образуют последовательность , определенную рекурсивно по:

${\ Displaystyle F_ {n} = {\ begin {cases} 0 & n = 0 \\ 1 & n = 1 \\ F_ {n-1} + F_ {n-2} & n> 1 \ end {cases}}}$

То есть после двух начальных значений каждое число является суммой двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи широко изучалась и обобщалась многими способами, например, начиная с чисел, отличных от 0 и 1, путем добавления более двух чисел для генерации следующего числа или путем добавления объектов, отличных от чисел.

Расширение до отрицательных целых чисел

Используя , можно расширить числа Фибоначчи до отрицательных целых чисел. Получаем: ${\ Displaystyle F_ {n-2} = F_ {n} -F_ {n-1}}$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

и . ${\ Displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}}$

См. Также кодирование НегаФибоначчи .

Расширение на все действительные или комплексные числа

Существует ряд возможных обобщений чисел Фибоначчи, которые включают действительные числа (а иногда и комплексные числа ) в свой домен. Каждый из них включает золотое сечение φ и основан на формуле Бине

${\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}}}.}$

Аналитическая функция

${\ displaystyle \ operatorname {Fe} (x) = {\ frac {\ varphi ^ {x} - \ varphi ^ {- x}} {\ sqrt {5}}}}$

имеет свойство, что для четных чисел . Аналогично аналитическая функция: ${\ displaystyle \ operatorname {Fe} (n) = F_ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ operatorname {Fo} (x) = {\ frac {\ varphi ^ {x} + \ varphi ^ {- x}} {\ sqrt {5}}}}$

удовлетворяет для нечетных целых чисел . ${\ displaystyle \ operatorname {Fo} (n) = F_ {n}}$${\ displaystyle n}$

Наконец, сложив их вместе, аналитическая функция

${\ displaystyle \ operatorname {Fib} (x) = {\ frac {\ varphi ^ {x} - \ cos (x \ pi) \ varphi ^ {- x}} {\ sqrt {5}}}}$

удовлетворяет для всех целых чисел . ${\ displaystyle \ operatorname {Fib} (n) = F_ {n}}$${\ displaystyle n}$

Поскольку для всех комплексных чисел эта функция также обеспечивает расширение последовательности Фибоначчи на всю комплексную плоскость. Следовательно, мы можем вычислить обобщенную функцию Фибоначчи комплексной переменной, например, ${\ displaystyle \ operatorname {Fib} (z + 2) = \ operatorname {Fib} (z + 1) + \ operatorname {Fib} (z)}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ operatorname {Fib} (3 + 4i) \ приблизительно -5248,5-14195,9i}$

Векторное пространство

Термин последовательность Фибоначчи также применяется в более общем смысле к любой функции от целых чисел до поля, для которого . Эти функции в точности имеют форму , поэтому последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство с функциями и в качестве основы. ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle г (п + 2) = г (п) + г (п + 1)}$${\ Displaystyle г (п) = F (п) г (1) + F (п-1) г (0)}$${\ Displaystyle F (п)}$${\ Displaystyle F (п-1)}$

В более общем смысле, в качестве диапазона можно взять любую абелеву группу (рассматриваемую как Z -модуль ). Тогда таким же образом последовательности Фибоначчи образуют двумерный -модуль. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Z}$

Подобные целочисленные последовательности

Целочисленные последовательности Фибоначчи

Двумерный -модуль целочисленных последовательностей Фибоначчи состоит из всех целочисленных последовательностей, удовлетворяющих . Выражаясь двумя начальными значениями, мы имеем: ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle г (п + 2) = г (п) + г (п + 1)}$

${\ displaystyle g (n) = F (n) g (1) + F (n-1) g (0) = g (1) {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ { -n}} {\ sqrt {5}}} + g (0) {\ frac {\ varphi ^ {n-1} - (- \ varphi) ^ {1-n}} {\ sqrt {5}}} ,}$

где золотое сечение. ${\ displaystyle \ varphi}$

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая постоянно равна нулю, и последовательностей, где соотношение двух первых членов равно . ${\ Displaystyle (- \ varphi) ^ {- 1}}$

Последовательность можно записать в виде

${\ Displaystyle а \ varphi ^ {n} + b (- \ varphi) ^ {- n},}$

в котором тогда и только тогда . В такой форме имеет простейший нетривиальный пример , который представляет собой последовательность чисел Люка : ${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle a = b = 1}$

${\ displaystyle L_ {n} = \ varphi ^ {n} + (- \ varphi) ^ {- n}.}$

У нас есть и . Свойства включают: ${\ displaystyle L_ {1} = 1}$${\ displaystyle L_ {2} = 3}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi ^ {n} & = \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) ^ {n} = {\ frac { L (n) + F (n) {\ sqrt {5}}} {2}}, \\ L (n) & = F (n-1) + F (n + 1). \ End {выравнивается}} }$

Каждая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи появляется (возможно, после сдвига на конечное число позиций) как одна из строк массива Wythoff . Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а смещение последовательности Люка - второй строкой.

См. Также целочисленные последовательности Фибоначчи по модулю n .

Последовательности Лукаса

Другое обобщение последовательности Фибоначчи - это последовательности Люка, которые определяются следующим образом:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} U (0) & = 0 \\ U (1) & = 1 \\ U (n + 2) & = PU (n + 1) -QU (n) \ end {выровнен }}}$,

где нормальная последовательность Фибоначчи является частным случаем и . Другой вид последовательности Лукаса начинается с , . Такие последовательности имеют приложения в теории чисел и доказательстве простоты . ${\ Displaystyle P = 1}$${\ displaystyle Q = -1}$${\ Displaystyle V (0) = 2}$${\ Displaystyle V (1) = P}$

Когда эта последовательность называется последовательностью P- Фибоначчи , например, последовательность Пелла также называется последовательностью 2-Фибоначчи . ${\ displaystyle Q = -1}$

Последовательность 3-Фибоначчи является

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (последовательность A006190 в OEIS )

Последовательность 4-Фибоначчи является

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (последовательность A001076 в OEIS )

Последовательность 5-Фибоначчи является

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (последовательность A052918 в OEIS )

Последовательность 6-Фибоначчи :

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (последовательность A005668 в OEIS )

Константа n- Фибоначчи - это отношение, к которому стремятся соседние числа -Фибоначчи; его также называют n- м металлическим средним , и это единственный положительный корень от . Например, это или золотое сечение , и случай есть , или серебряное сечение . В общем, дело есть . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x ^ {2} -nx-1 = 0}$${\ Displaystyle п = 1}$${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {n + {\ sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}}}$

Как правило, это можно назвать ( P , -Q ) -последовательностью Фибоначчи , а V ( n ) можно назвать ( P , -Q ) -последовательностью Лукаса . ${\ Displaystyle U (п)}$

Последовательность (1,2) -Fibonacci является

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (последовательность A001045 в OEIS )

Последовательность (1,3) -Фибоначчи есть

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... ( последовательность A006130 в OEIS )

Последовательность (2,2) -Fibonacci является

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (последовательность A002605 в OEIS )

Последовательность (3,3) -Fibonacci является

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (последовательность A030195 в OEIS )

Числа Фибоначчи высшего порядка

Последовательность Фибоначчи порядка n - это целочисленная последовательность, в которой каждый элемент последовательности является суммой предыдущих элементов (за исключением первых элементов в последовательности). Обычные числа Фибоначчи представляют собой последовательность Фибоначчи порядка 2. Случаи и были тщательно исследованы. Количество композиций неотрицательных целых чисел на части, которые не больше, является последовательностью порядка Фибоначчи . Последовательность из числа строк длины нулей и единиц , содержащих не более последовательных нулей, также является последовательностью порядка Фибоначчи . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 3}$${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Эти последовательности, их предельные отношения и предел этих предельных соотношений были исследованы Марком Барром в 1913 году.

Числа Трибоначчи

Эти номера tribonacci похожи числами Фибоначчей, но вместо того , начиная с двумя заранее определенными терминами, последовательность начинается с тремя заранее определенными условиями , и каждый термином впоследствии является суммой предыдущих три слагаемых. Первые несколько чисел трибоначчи:

0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012,… (последовательность A000073 в OEIS )

Впервые эта серия была официально описана Агрономофом в 1914 году, но первое ее непреднамеренное использование - в « Происхождении видов » Чарльза Р. Дарвина . В примере, иллюстрирующем рост популяции слонов, он опирался на расчеты, сделанные его сыном Джорджем Х. Дарвином . Термин трибоначчи был предложен Файнбергом в 1963 году.

Константа трибоначчи

${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {19 + 3 {\ sqrt {33}}}} + {\ sqrt [{3}] {19-3 {\ sqrt {33}}) }}} {3}} = {\ frac {1 + 4 \ ch \ left ({\ frac {1} {3}} \ cosh ^ {- 1} \ left (2 + {\ frac {3} {8 }} \ right) \ right)} {3}} \ приблизительно 1,839286755214161,}$(последовательность A058265 в OEIS )

- отношение, к которому стремятся соседние числа трибоначчи. Это корень многочлена , который также удовлетворяет уравнению . Это важно при изучении курносого куба . ${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}$${\ Displaystyle х + х ^ {- 3} = 2}$

Обратная константа tribonacci , выражается соотношением , можно записать в виде: ${\ Displaystyle \ xi ^ {3} + \ xi ^ {2} + \ xi = 1}$

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {17 + 3 {\ sqrt {33}}}} - {\ sqrt [{3}] {- 17 + 3 {\ sqrt {33}) }}}} - 1} {3}} = {\ frac {3} {1 + {\ sqrt [{3}] {19 + 3 {\ sqrt {33}}}} + {\ sqrt [{3} ] {19-3 {\ sqrt {33}}}}}} \ приблизительно 0,543689012.}$(последовательность A192918 в OEIS )

Числа трибоначчи также даются

${\ displaystyle T (n) = \ left \ lfloor 3b \, {\ frac {\ left ({\ frac {1} {3}} \ left (a _ {+} + a _ {-} + 1 \ right) \) \ right) ^ {n}} {b ^ {2} -2b + 4}} \ right \ rceil}$

где обозначает ближайшую целочисленную функцию, а ${\ Displaystyle \ lfloor \ cdot \ rceil}$

${\ displaystyle {\ begin {align} a _ {\ pm} & = {\ sqrt [{3}] {19 \ pm 3 {\ sqrt {33}}}} \ ,, \\ b & = {\ sqrt [{ 3}] {586 + 102 {\ sqrt {33}}}} \,. \ End {align}}}$

Числа Тетраначчи

Эти цифры tetranacci начать с четырьмя заранее определенными условиями, каждый член впоследствии является суммой предыдущих четырех слагаемых. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (Последовательность A000078 в OEIS )

Константа тетраначчи - это отношение, к которому стремятся соседние числа тетраначчи. Это корень полинома , приблизительно 1,927561975482925 OEIS :  A086088 , и он также удовлетворяет уравнению . ${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}$${\ Displaystyle х + х ^ {- 4} = 2}$

Константа тетраначчи выражается в радикалах следующим выражением:

${\ displaystyle x = {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {{\ tfrac {11} {3}} - {\ tfrac {4} {3} } {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {1689}} + {\ tfrac {65} {2}}}} + {\ tfrac {4} {3} } {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {1689}} - {\ tfrac {65} {2}}}}}} +}$

${\ displaystyle + {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {{\ sqrt {({\ tfrac {11} {3}} + {\ tfrac {8} {3}} {\ sqrt [{3 }] {{\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {1689}} + {\ tfrac {65} {2}}}} - {\ tfrac {8} {3}} {\ sqrt [{3 }] {{\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {1689}} - {\ tfrac {65} {2}}}}) ^ {2} +339}} + {\ tfrac {22} { 3}} + {\ tfrac {4} {3}} {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {1689}} + {\ tfrac {65} {2} }}} - {\ tfrac {4} {3}} {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {1689}} - {\ tfrac {65} {2} }}}}}}$

Высшие порядки

Были вычислены числа Пентаначчи, Гексаначчи и Гептаначчи. Числа пентаначчи:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624,… (последовательность A001591 в OEIS )

Числа Гексаначи:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109,… (последовательность A001592 в OEIS )

Числа Гептаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808,… (последовательность A122189 в OEIS )

Числа Октаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( последовательность A079262 в OEIS )

Числа Эннеаначчи:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. . (последовательность A104144 в OEIS )

Предел отношения последовательных членов ряда anacci стремится к корню уравнения ( OEIS :  A103814 , OEIS :  A118427 , OEIS :  A118428 ). ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle х + х ^ {- п} = 2}$

Альтернативная рекурсивная формула для предела отношения двух последовательных чисел -наччи может быть выражена как ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle г = \ сумма _ {к = 0} ^ {п-1} г ^ {- к}}$.

Особый случай - это традиционный ряд Фибоначчи, дающий золотое сечение . ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle \ varphi = 1 + {\ frac {1} {\ varphi}}}$

Приведенные выше формулы для отношения справедливы даже для рядов -наччи, созданных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при увеличении. Последовательность "бесконечностей", если бы ее можно было описать, после бесконечного числа нулей дала бы последовательность ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

которые являются просто степенью двойки .

Предел отношения для любого - положительный корень характеристического уравнения ${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle x ^ {n} - \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 0.}$

Корень находится в интервале . Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), когда является четным. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль . ${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 2 (1-2 ^ {- п}) <г <2}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 3 ^ {- п} <| г | <1}$

Ряд положительного корня для любого равен ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n> 0}$

${\ displaystyle 2-2 \ sum _ {i> 0} {\ frac {1} {i}} {\ binom {(n + 1) i-2} {i-1}} {\ frac {1} { 2 ^ {(n + 1) i}}}.}$

При 5 ≤ n ≤ 11 решение характеристического уравнения в радикалах отсутствует .

К й элемент п -nacci последовательности задается

${\ displaystyle F_ {k} ^ {(n)} = \ left \ lfloor {\ frac {r ^ {k-1} (r-1)} {(n + 1) r-2n}} \ right \ rceil ,}$

где обозначает ближайшую целочисленную функцию, а - константа -nacci, которая является корнем из ближайшего к 2. ${\ Displaystyle \ lfloor \ cdot \ rceil}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle х + х ^ {- п} = 2}$

Проблема монета бросание связана с -nacci последовательности. Вероятность того, что при подбрасывании идеализированной монеты не будет ни одной решки подряд, равна . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {m}}} F_ {m + 2} ^ {(n)}}$

Слово Фибоначчи

По аналогии со своим числовым эквивалентом, слово Фибоначчи определяется следующим образом:

${\ displaystyle F_ {n}: = F (n): = {\ begin {cases} {\ text {b}} & n = 0; \\ {\ text {a}} & n = 1; \\ F (n -1) + F (n-2) & n> 1. \\\ end {case}}}$

где обозначает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается: ${\ displaystyle +}$

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (последовательность A106750 в OEIS )

Длина каждой строки Фибоначчи является числом Фибоначчи, и аналогично существует соответствующая строка Фибоначчи для каждого числа Фибоначчи.

Строки Фибоначчи появляются как входные данные для наихудшего случая в некоторых компьютерных алгоритмах .

Если «a» и «b» представляют два разных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая струне Фибоначчи , является квазикристаллом Фибоначчи , апериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

Свернутые последовательности Фибоначчи

Свертке последовательность Фибоначчи получается применением свертки операцию в последовательности Фибоначчи один или более раз. В частности, определите

${\ Displaystyle F_ {n} ^ {(0)} = F_ {n}}$

а также

${\ displaystyle F_ {n} ^ {(r + 1)} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} F_ {i} F_ {ni} ^ {(r)}}$

Первые несколько последовательностей

${\ displaystyle r = 1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (последовательность A001629 в OEIS ).

${\ displaystyle r = 2}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (последовательность A001628 в OEIS ).

${\ displaystyle r = 3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (последовательность A001872 в OEIS ).

Последовательности могут быть рассчитаны с использованием повторения

${\ Displaystyle F_ {n + 1} ^ {(r + 1)} = F_ {n} ^ {(r + 1)} + F_ {n-1} ^ {(r + 1)} + F_ {n} ^ {(г)}}$

Производящая функция от й свертки ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle s ^ {(r)} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} F_ {n} ^ {(r)} x ^ {n} = \ left ({\ frac { x} {1-xx ^ {2}}} \ right) ^ {r}.}$

Последовательности связаны с последовательностью полиномов Фибоначчи соотношением

${\ Displaystyle F_ {п} ^ {(г)} = г! F_ {п} ^ {(г)} (1)}$

где - th производная от . Эквивалентно коэффициент при разложении по степеням . ${\ Displaystyle F_ {п} ^ {(г)} (х)}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle F_ {п} (х)}$${\ Displaystyle F_ {п} ^ {(г)}}$${\ Displaystyle (х-1) ^ {г}}$${\ Displaystyle F_ {х} (х)}$${\ Displaystyle (х-1)}$

Первая свертка может быть записана в терминах чисел Фибоначчи и Люка как ${\ Displaystyle F_ {п} ^ {(1)}}$

${\ displaystyle F_ {n} ^ {(1)} = {\ frac {nL_ {n} -F_ {n}} {5}}}$

и следует за повторением

${\ Displaystyle F_ {n + 1} ^ {(1)} = 2F_ {n} ^ {(1)} + F_ {n-1} ^ {(1)} - 2F_ {n-2} ^ {(1 )} - F_ {n-3} ^ {(1)}.}$

Подобные выражения могут быть найдены для все большей сложности по мере увеличения. Числа представляют собой суммы строк треугольника Хосои . ${\ displaystyle r> 1}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle F_ {п} ^ {(1)}}$

Как и в случае с числами Фибоначчи, существует несколько комбинаторных интерпретаций этих последовательностей. Например, количество способов можно записать в виде упорядоченной суммы, включающей только 0, 1 и 2, причем 0 используется ровно один раз. В частности и 2 можно записать 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . ${\ Displaystyle F_ {п} ^ {(1)}}$${\ displaystyle n-2}$${\ Displaystyle F_ {4} ^ {(1)} = 5}$

Другие обобщения

Эти многочлены Фибоначчи являются еще одним обобщением чисел Фибоначчи.

Последовательность Падована порождается повторением . ${\ Displaystyle P (N) = P (N-2) + P (N-3)}$

Последовательность коров Нараяны порождается повторением . ${\ Displaystyle N (к) = N (к-1) + N (к-3)}$

Случайная последовательность Фибоначчи может быть определена с помощью бросание монеты для каждой позиции последовательности и принимать , если он приземляется головы и если он приземляется хвосты. Работа Фюрстенберга и Кестена гарантирует, что эта последовательность почти наверняка растет экспоненциально с постоянной скоростью: константа не зависит от подбрасывания монеты и была вычислена в 1999 году Дивакаром Вишванатом . Теперь она известна как постоянная Вишваната . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle F (N) = F (N-1) + F (N-2)}$${\ Displaystyle F (п) = F (п-1) -F (п-2)}$

Repfigit или номер Кит , представляет собой целое число такое , что, когда его цифры начать последовательность Фибоначчи с таким количеством цифр, исходное число, в конце концов достигнута. Пример - 47, потому что последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 4 и 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47), достигает 47. Повторная цифра может быть последовательностью трибоначчи, если в числе 3 цифры, числом тетраначчи, если номер состоит из четырех цифр и т. д. Первые несколько изменений:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909,… (последовательность A007629 в OEIS )

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению , замкнуто при почленном сложении и при почленном умножении на константу, его можно рассматривать как векторное пространство . Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, поэтому векторное пространство является двумерным. Если мы сокращаем такую ​​последовательность как , последовательность Фибоначчи и смещенная последовательность Фибоначчи, как видно, образуют каноническую основу для этого пространства, что дает тождество: ${\ Displaystyle S (п) = S (п-1) + S (п-2)}$${\ Displaystyle (S (0), S (1))}$${\ Displaystyle F (п) = (0,1)}$${\ Displaystyle F (п-1) = (1,0)}$

${\ Displaystyle S (N) = S (0) F (N-1) + S (1) F (N)}$

для всех таких последовательностей S . Например, если S - последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , то мы получаем

${\ Displaystyle L (п) = 2F (п-1) + F (п)}$.

N -генерированная последовательность Фибоначчи

Мы можем определить N- порожденную последовательность Фибоначчи (где N - положительное рациональное число): если

${\ Displaystyle N = 2 ^ {a_ {1}} \ cdot 3 ^ {a_ {2}} \ cdot 5 ^ {a_ {3}} \ cdot 7 ^ {a_ {4}} \ cdot 11 ^ {a_ { 5}} \ cdot 13 ^ {a_ {6}} \ cdot ... \ cdot p_ {r} ^ {a_ {r}},}$

где p _r - r- е простое число, то определим

${\ Displaystyle F_ {N} (n) = a_ {1} F_ {N} (n-1) + a_ {2} F_ {N} (n-2) + a_ {3} F_ {N} (n- 3) + a_ {4} F_ {N} (n-4) + a_ {5} F_ {N} (n-5) + ...}$

Если , то , а если , то . ${\ Displaystyle п = г-1}$${\ Displaystyle F_ {N} (п) = 1}$${\ Displaystyle п <г-1}$${\ Displaystyle F_ {N} (п) = 0}$

Последовательность	N	Последовательность OEIS
Последовательность Фибоначчи	6	A000045
Последовательность Пелля	12	A000129
Последовательность Якобсталя	18	A001045
Последовательность трибоначчи	30	A000073
Последовательность тетраначчи	210	A000288
Падованская последовательность	15	A000931
Последовательность коров Нараяны	10	A000930

Полуфибоначчи последовательность

Последовательность пола-Фибоначчи (последовательность A030067 в OEIS ) определяется с помощью одной и той же рекурсии для нечетных индексированных терминов и , но для четных индексов , . Следовательно, бисекция A030068 нечетно проиндексированных терминов проверяется и строго увеличивается. Он дает набор полу-чисел Фибоначчи.${\ Displaystyle а (2n + 1) = а (2n) + а (2n-1)}$${\ Displaystyle а (1) = 1}$${\ Displaystyle а (2n) = а (п)}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\ Displaystyle s (п) = а (2n-1)}$${\ Displaystyle s (п + 1) = s (п) + а (п)}$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( последовательность A030068 в OEIS )

которые встречаются как . ${\ displaystyle s (n) = a (2 ^ {k} (2n-1)), k = 0,1, ...}$

использованная литература

внешние ссылки

• «Число Трибоначчи» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]