Интегральное уравнение Фредгольма - Fredholm integral equation

В математике , то интегральное уравнение Фредгольма является интегральным уравнением , решение которого приводит к теории Фредгольма , изучение Фредгольма KERNELS и операторам Фредгольма . Интегральное уравнение изучал Ивар Фредгольм . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомяну .

Уравнение первого рода

Уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Тесно связанной формой является интегральное уравнение Вольтерра, которое имеет переменные интегральные пределы.

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода записывается как

{\ displaystyle g (t) = \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) f (s) \, \ mathrm {d} s ~,}

и проблема состоит в том , чтобы найти функцию , учитывая непрерывную функцию ядра и функцию . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f}$

Важным случаем этих типов уравнений является случай, когда ядро является функцией только разности своих аргументов, а именно , а пределы интегрирования равны ± ∞, тогда правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций и, следовательно, формально решение дается формулой ${\ Displaystyle К (т, с) = К (т {-} с)}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (s) = {\ mathcal {F}} _ {\ omega} ^ {- 1} \ left [{{\ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] (\ omega) \ over {\ mathcal {F}} _ {t} [K (t)] (\ omega)} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{\ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] (\ omega) \ over {\ mathcal {F}} _ {t} [K (t)] (\ omega)} e ^ {2 \ pi i \ omega s} \ mathrm {d} \ omega}

где и - прямое и обратное преобразование Фурье соответственно. Этот случай обычно не включается в интегральные уравнения Фредгольма, название, которое обычно зарезервировано для случаев, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки на некомпактных группах некомпактны, поскольку, как правило, спектр оператора свертки с содержит диапазон , который обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретные счетные спектры). ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ omega} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {K}}$

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

${\ displaystyle \ varphi (t) = f (t) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) \ varphi (s) \, \ mathrm {d} s.}$

Учитывая ядро $K (t, s)$ и функцию $f (t)$ , проблема обычно состоит в том, чтобы найти функцию $φ (t)$ .

Стандартный подход к решению этой проблемы - использовать итерацию, составляющую формализм резольвенты ; записанное в виде ряда, решение известно как ряд Лиувилля – Неймана .

Общая теория

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как теория Фредгольма . Один из основных результатов состоит в том, что ядро $K$ дает компактный оператор . Компактность можно показать, ссылаясь на равностепенную непрерывность . Как оператор, у него есть спектральная теория, которую можно понять в терминах дискретного спектра собственных значений , стремящихся к 0.

Приложения

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработки сигналов , например, как знаменитая проблема спектральной концентрации, популяризированная Дэвидом Слепяном . Используемые операторы такие же, как и в линейных фильтрах . Они также часто возникают при линейном прямом моделировании и обратных задачах . В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными лежащими в основе распределениями, например массовым распределением полимеров в полимерном расплаве или распределением времен релаксации в системе. Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма также возникают в задачах механики жидкости, включающих гидродинамические взаимодействия вблизи упругих границ раздела конечных размеров.

Конкретным применением уравнения Фредгольма является создание фотореалистичных изображений в компьютерной графике, в котором уравнение Фредгольма используется для моделирования переноса света от виртуальных источников света к плоскости изображения. В этом контексте уравнение Фредгольма часто называют уравнением визуализации .

Смотрите также

использованная литература

Интегральные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
Полянин А.Д., Манжиров А.В., Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Хведелидзе Б.В.; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Ядро Фредгольма" , Энциклопедия математики , EMS Press
Simons, FJ; Вечорек, Массачусетс; Дален, Ф.А. (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». SIAM Обзор . 48 (3): 504–536. arXiv : math / 0408424 . Bibcode : 2006SIAMR..48..504S . DOI : 10.1137 / S0036144504445765 .
Слепян, Д. (1983). «Некоторые комментарии по анализу Фурье, неопределенности и моделированию». SIAM Обзор . 25 (3): 379–393. DOI : 10.1137 / 1025078 .
Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.1. Уравнения Фредгольма второго рода» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Бенджамин, ISBN 0-8053-7002-1

внешние ссылки

IntEQ: пакет Python для численного решения интегральных уравнений Фредгольма

Languages

In other projects