Жидкий раствор - Fluid solution

Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Явления Проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационные волны Перетаскивание кадра Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Мост Эйнштейна – Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Формализмы ADM БССН Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль-Льюис-Папапетру
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В ОТО , А жидкий раствор представляет собой точное решение из поля уравнения Эйнштейна , в котором гравитационное поле создается исключительно за счет массы, импульса и напряжений плотности жидкости .

В астрофизике жидкие растворы часто используются в качестве моделей звезд . (Можно было бы подумать об идеальном газе как о частном случае идеальной жидкости.) В космологии жидкие растворы часто используются в качестве космологических моделей .

Математическое определение

Тензор энергии- релятивистской жидкости может быть записана в виде

${\ displaystyle T ^ {ab} = \ mu \, u ^ {a} \, u ^ {b} + p \, h ^ {ab} + \ left (u ^ {a} \, q ^ {b} + q ^ {a} \, u ^ {b} \ right) + \ pi ^ {ab}}$

Здесь

• мировые линии элементов жидкости являются интегральными кривыми вектора скорости ,${\ Displaystyle и ^ {а}}$
• в тензорных проекциях проекты других тензоры на гиперплоскостные элементы , ортогональные к ,${\ displaystyle h_ {ab} = g_ {ab} + u_ {a} \, u_ {b}}$${\ Displaystyle и ^ {а}}$
• плотность вещества задается скалярной функции ,${\ displaystyle \ mu}$
• давление задается скалярной функции ,${\ displaystyle p}$
• вектор теплового потока определяется ,${\ displaystyle q ^ {a}}$
• вязкая сдвига тензор дается .${\ displaystyle \ pi ^ {ab}}$

Вектор теплового потока и тензор вязкого сдвига поперечны мировым линиям в том смысле, что

${\ displaystyle q_ {a} \, u ^ {a} = 0, \; \; \ pi _ {ab} \, u ^ {b} = 0}$

Это означает, что они фактически являются трехмерными величинами, и, поскольку тензор вязких напряжений симметричен и бесследен , они имеют соответственно три и пять линейно независимых компонентов. Вместе с плотностью и давлением это составляет в общей сложности 10 линейно независимых компонентов, которые представляют собой количество линейно независимых компонентов в четырехмерном симметричном тензоре второго ранга.

Особые случаи

Обращает на себя внимание несколько частных случаев жидких растворов (здесь скорость света c  = 1):

• Идеальная жидкость имеет нуль вязкий сдвига и сход теплового потока:

${\ displaystyle T ^ {ab} = (\ mu + p) \, u ^ {a} \, u ^ {b} + p \, g ^ {ab},}$

• Пыль является безнапорный идеальной жидкости:

${\ displaystyle T ^ {ab} = \ mu \, u ^ {a} \, u ^ {b},}$

• Излучение жидкость является идеальной жидкостью с :${\ displaystyle \ mu = 3p}$

${\ displaystyle T ^ {ab} = p \, \ left (4 \, u ^ {a} \, u ^ {b} + \, g ^ {ab} \ right).}$

Последние два часто используются в качестве космологических моделей (соответственно) независимо от доминирования и радиационно-доминировал эпох. Обратите внимание, что, хотя обычно для определения жидкости требуется десять функций, для идеальной жидкости требуется только две, а для пыли и радиационных жидкостей требуется только одна функция. Найти такие решения намного проще, чем найти общее жидкое решение.

Среди идеальных жидкостей, отличных от пыли или радиационных жидкостей, наиболее важным частным случаем являются статические сферически-симметричные идеальные жидкие растворы. Их всегда можно сопоставить с вакуумом Шварцшильда на сферической поверхности, поэтому их можно использовать в качестве внутренних решений в звездной модели. В таких моделях сфера, в которой внутреннее пространство жидкости совпадает с внешней стороной вакуума, является поверхностью звезды, и давление должно исчезать в пределе по мере приближения радиуса . Однако в пределе снизу плотность может быть отличной от нуля, а в пределе сверху она, конечно, равна нулю. В последние годы было предложено несколько удивительно простых схем получения всех этих решений. ${\ Displaystyle г = г [0]}$${\ displaystyle r_ {0}}$

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля кадра, а не базиса координат, часто называют физическими компонентами , потому что это компоненты, которые могут (в принципе) быть измерены наблюдателем.

В частном случае идеальной жидкости , адаптировать раму

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}, \; {\ vec {e}} _ {1}, \; {\ vec {e}} _ {2}, \; {\ vec {e }} _ {3}}$

(первое - времяподобное единичное векторное поле , последние три - пространственноподобные единичные векторные поля) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простой вид

${\ displaystyle G ^ {{\ widehat {a \,}} {\ widehat {b \,}}} = 8 \ pi \, \ left [{\ begin {matrix} \ mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & p \ end {matrix}} \ right]}$

где есть плотность энергии , и это давление текучей среды. Здесь времяподобное единичное векторное поле повсюду касается мировых линий наблюдателей, которые соприкасаются с жидкими элементами, поэтому только что упомянутые плотность и давление измеряются сопутствующими наблюдателями. Это те же самые величины, которые фигурируют в выражении общего базиса координат, данном в предыдущем разделе; чтобы увидеть это, просто поставьте . По форме физических компонентов легко увидеть, что группа изотропии любой совершенной жидкости изоморфна трехмерной группе Ли SO (3), группе обычных вращений. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {0}}$

Тот факт, что эти результаты точно такие же для искривленного пространства-времени, как и для гидродинамики в плоском пространстве-времени Минковского, является выражением принципа эквивалентности .

Собственные значения

Характеристический полином тензора Эйнштейна в идеальной жидкости должен иметь вид

${\ Displaystyle \ чи (\ лямбда) = \ влево (\ лямбда -8 \ пи \ му \ вправо) \, \ влево (\ лямбда -8 \ пи п \ вправо) ^ {3}}$

где снова плотность и давление жидкости, измеренные наблюдателями, сопровождающими элементы жидкости. (Обратите внимание, что эти величины могут изменяться в пределах жидкости.) Записывая это и применяя базисные методы Грёбнера для упрощения полученных алгебраических соотношений, мы обнаруживаем, что коэффициенты характеристики должны удовлетворять следующим двум алгебраически независимым (и инвариантным) условиям: ${\ displaystyle \ mu, \, p}$

${\ displaystyle 12a_ {4} + a_ {2} ^ {2} -3a_ {1} a_ {3} = 0}$

${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} a_ {3} -9a_ {3} ^ {2} -9a_ {1} ^ {2} a_ {4} + 32a_ {2} a_ {4} = 0}$

Но согласно тождествам Ньютона следы степеней тензора Эйнштейна связаны с этими коэффициентами следующим образом:

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = t_ {1} = a_ {1}}$

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {a} = t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}$

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {a} = t_ {3} = a_ {1} ^ {3} -3a_ {1} a_ {2} + 3a_ {3}}$

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {d} \, {G ^ {d}} _ {a} = t_ {4} = a_ {1} ^ {4} -4a_ {1} ^ {2} a_ {2} + 4a_ {1} a_ {3} + 2a_ {2} ^ {2} -a_ {4}}$

так что мы можем полностью переписать две вышеупомянутые величины в терминах следов сил. Это, очевидно, скалярные инварианты, и они должны тождественно обращаться в нуль в случае идеального жидкого решения:

${\ displaystyle t_ {2} ^ {3} + 4t_ {3} ^ {2} + t_ {1} ^ {2} t_ {4} -4t_ {2} t_ {4} -2t_ {1} t_ {2 } t_ {3} = 0}$

${\ displaystyle t_ {1} ^ {4} + 7t_ {2} ^ {2} -8t_ {1} ^ {2} t_ {2} + 12t_ {1} t_ {3} -12t_ {4} = 0}$

Обратите внимание, что это ничего не предполагает ни о каком возможном уравнении состояния, связывающем давление и плотность жидкости; мы предполагаем только, что у нас есть одно простое и одно тройное собственное значение.

В случае пылевого раствора (исчезающее давление) эти условия значительно упрощаются:

${\ Displaystyle а_ {2} \, = а_ {3} = а_ {4} = 0}$

или же

${\ displaystyle t_ {2} = t_ {1} ^ {2}, \; \; t_ {3} = t_ {1} ^ {3}, \; \; t_ {4} = t_ {1} ^ { 4}}$

В обозначениях тензорной гимнастики это можно записать с использованием скаляра Риччи как:

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = - R}$

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {a} = R ^ {2}}$

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {a} = - R ^ {3}}$

${\ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {d} \, {G ^ {d}} _ {a} = - R ^ {4}}$

В случае радиационной жидкости критерии становятся

${\ displaystyle a_ {1} = 0, \; 27 \, a_ {3} ^ {2} + 8a_ {2} ^ {3} = 0, \; 12 \, a_ {4} + a_ {2} ^ {2} = 0}$

или же

${\ Displaystyle t_ {1} = 0,7 \, t_ {3} ^ {2} -t_ {2} \, t_ {4} = 0, \; 12 \, t_ {4} -7 \, t_ { 2} ^ {2} = 0}$

При использовании этих критериев нужно быть осторожным, чтобы гарантировать, что наибольшее собственное значение принадлежит времениподобному собственному вектору, поскольку существуют лоренцевы многообразия , удовлетворяющие этому критерию собственных значений, в которых большое собственное значение принадлежит пространственноподобному собственному вектору, и они не могут представлять радиационные жидкости.

Коэффициенты характеристики часто оказываются очень сложными, а следы не намного лучше; при поиске решений почти всегда лучше вычислять компоненты тензора Эйнштейна относительно подходящим образом адаптированной системы отсчета, а затем напрямую уничтожать соответствующие комбинации компонентов. Однако, когда нет очевидного адаптированного кадра, эти критерии собственных значений иногда могут быть полезны, особенно когда они используются в сочетании с другими соображениями.

Эти критерии часто могут быть полезны для выборочной проверки предполагаемых идеальных жидких растворов, и в этом случае коэффициенты характеристики часто намного проще, чем они были бы для более простой несовершенной жидкости.

Примеры

Примечательные индивидуальные решения для удаления пыли перечислены в статье о решениях для удаления пыли . Примечательные идеальные жидкие решения с положительным давлением включают различные модели радиационной жидкости из космологии, в том числе

• Радиационные жидкости FRW , часто называемые моделями FRW с преобладанием излучения .

В дополнение к семейству статических сферически симметричных совершенных жидкостей, заслуживающие внимания решения с вращающимися жидкостями включают:

• Жидкость Уолквиста , имеющая симметрию, аналогичную вакууму Керра , что породило первоначальные надежды ( которые были обведены пунктиром), что она может обеспечить внутреннее решение для простой модели вращающейся звезды.

Смотрите также

• Раствор для пыли , для важного особого случая пылевых растворов,
• Точные решения в общей теории относительности , для точных решений в целом,
• Группа Лоренца
• Идеальная жидкость для идеальных жидкостей в физике в целом,
• Релятивистские диски для интерпретации релятивистских дисков в терминах идеальных жидкостей.

Рекомендации

• Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C .; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. Дает множество примеров точных идеальных решений для жидкостей и пыли.
• Стефани, Ганс (1996). Общая теория относительности (второе издание) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37941-5.. См. Главу 8 для обсуждения релятивистских жидкостей и термодинамики.
• Делгати, MSR; Лейк, Кайл (1998). «Физическая приемлемость изолированных, статических, сферически-симметричных, идеальных жидких решений уравнений Эйнштейна». Comput. Phys. Commun . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc / 9809013 . Bibcode : 1998CoPhC.115..395D . DOI : 10.1016 / S0010-4655 (98) 00130-1 .. В этой обзорной статье рассматриваются статические сферически-симметричные жидкие растворы, известные примерно до 1995 года.
• Лейк, Кайл (2003). «Все статические сферически-симметричные идеальные жидкие решения уравнений Эйнштейна». Phys. Rev. D . 67 (10): 104015. arXiv : gr-qc / 0209104 . Bibcode : 2003PhRvD..67j4015L . DOI : 10.1103 / PhysRevD.67.104015 .. В этой статье описывается одна из нескольких недавно найденных схем для получения всех статических сферически-симметричных идеальных жидких решений в общей теории относительности.