Тригонометрическая функция определяется как секущая минус один
Exsecant ( exsec , EXS ) и excosecant ( excosec , excsc , возб ) являются тригонометрические функции , определенные в терминах секущих и Косеканс функций. Раньше они были важны в таких областях, как геодезия , железнодорожное строительство , гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия, и могли помочь повысить точность, но сегодня используются редко, за исключением упрощения некоторых расчетов.
Exsecant
В тригонометрических функциях, в том числе exsecant, могут быть построены геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке
O . Exsecant представляет собой часть
ДЕ секущие
снаружи к окружности.
Exsecant , (лат secans внешний вид ) , также известный как внешний вид , внешний , внешней или наружной секущей и сокращенно exsec или EXS , является тригонометрическая функция определена в терминах функции секущей сек ( & thetas ; ):
Название exsecant можно понять из графического построения различных тригонометрических функций из единичной окружности , как это было исторически. сек ( θ ) является секущей линией ЫМ , а exsecant является частью ДЕ этого секущим , что лежит внешние к окружности ( ех является латинским для из ).
Excosecant
exsecant (синий) и excosecant (зеленый)
Связанная функция - это экзосеканс или сосексанс , также известный как внешний , внешний , внешний или внешний косеканс и сокращенно обозначаемый как excosec , coexsec , excsc или exc , эксеканс дополнительного угла:
использование
Важная в таких областях, как геодезия , железнодорожное строительство (например, для построения кривых и виражей железных дорог ), гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия вплоть до 1980-х годов, функция exsecant сейчас мало используется. В основном это связано с тем, что широкая доступность калькуляторов и компьютеров устранила необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта.
Причина определения специальной функции для эксеканса аналогична обоснованию версины : для малых углов θ функция sec ( θ ) приближается к единице , и поэтому использование приведенной выше формулы для эксеканса потребует вычитания двух почти равных количества, что приведет к катастрофической отмене . Таким образом, таблица функции секанса потребует очень высокой точности для использования для exsecant, что делает полезной специализированную таблицу exsecant. Даже с компьютером ошибки с плавающей запятой могут быть проблематичными для exsecants малых углов, если использовать определение на основе косинуса. Более точной формулой в этом пределе было бы использование тождества:
или
До появления компьютеров для этого потребовалось бы трудоемкое умножение.
Функция exsecant использовалась Галилео Галилей еще в 1632 году, хотя он все еще называл ее segante (что означает секанс ). Латинский термин « секанс экстерьер» использовался по крайней мере примерно с 1745 года. Использование английского термина « внешний секанс» и аббревиатуры ex. сек. По крайней мере, их можно проследить до 1855 года, когда Чарльз Хаслетт опубликовал первую известную таблицу exsecants. Вариации , такие как бывшие секущие и exsec были в использовании в 1880 году, и exsecant был использован с 1894 по меньшей мере.
Термины coexsecant и coexsec могут быть найдены использованы еще в 1880 году, а затем excosecant с 1909 года функция была также использована на Альберта Эйнштейна , чтобы описать кинетическую энергию из фермионов .
Математические тождества
Производные
Интегралы
Обратные функции
Также существуют обратные функции arcexsecant ( arcexsec , aexsec , aexs , exsec −1 ) и arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc −1 ):
-
(для y ≤ −2 или y ≥ 0)
Прочие свойства
Получено из единичного круга:
Функция exsecant связана с функцией касательной соотношением
Аналогично, функция экзосеканса связана с функцией котангенса соотношением
Функция exsecant связана с функцией синуса соотношением
Аналогично, функция экзосеканса связана с функцией косинуса соотношением
Функции exsecant и excosecant могут быть расширены на комплексную плоскость .
Смотрите также
использованная литература