Число Евклида - Euclid number
В математике , Евклид числа являются целыми числами вида Е п = р п # + 1 , где р п # является п - й primorial , то есть произведение первых п простых чисел . Они названы в честь древнегреческого математика Евклида в связи с теоремой Евклида о том, что простых чисел бесконечно много.
Примеры
Например, первые три простых числа - 2, 3, 5; их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида равно 31.
Первые несколько чисел Евклида: 3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (последовательность A006862 в OEIS ).
История
Иногда ошибочно утверждается, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел основывалось на этих числах. Евклид не начал с предположения, что множество всех простых чисел конечно. Скорее он сказал: рассмотрите любой конечный набор простых чисел (он не предполагал, что он содержит только первые n простых чисел, например, это могло быть {3, 41, 53} ) и рассуждал оттуда к выводу, что по крайней мере одно простое число существует, которого нет в этом наборе. Тем не менее, аргумент Евклида, примененный к множеству первых n простых чисел, показывает, что n- е число Евклида имеет простой множитель, которого нет в этом множестве.
Характеристики
Не все числа Евклида простые. E 6 = 13 # + 1 = 30031 = 59 × 509 - первое составное число Евклида.
Каждое число Евклида сравнимо с 3 по модулю 4, так как примориал, из которого оно состоит, является дважды произведением только нечетных простых чисел и, таким образом, сравним с 2 по модулю 4. Это свойство означает, что никакое число Евклида не может быть квадратом .
Для всех n ≥ 3 последняя цифра E n равна 1, поскольку E n - 1 делится на 2 и 5. Другими словами, поскольку все первичные числа больше E 2 имеют 2 и 5 в качестве простых делителей, они делятся на 10, поэтому все E n ≥ 3 +1 имеют последнюю цифру 1.
Нерешенные проблемы
Есть ли бесконечное количество простых чисел Евклида?
Неизвестно, существует ли бесконечное количество простых чисел Евклида ( примитивных простых чисел ). Также неизвестно, является ли каждое число Евклида бесквадратным числом .
Каждое ли число Евклида свободно от квадратов?
Обобщение
Евклида количество второго рода (также называемый куммерова номер ) представляет собой целое число вида Е п = р п # - 1, где р п # является п - й primorial. Первые несколько таких чисел:
- 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... (последовательность A057588 в OEIS )
Как и в случае с числами Евклида, неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Куммера. Первое из этих чисел, которое будет составным, - 209 .