Теорема Эберлейна – Шмулиана - Eberlein–Šmulian theorem
В математической области функционального анализа , то теорема Эберлейн-Шмульяна (названный в честь Уильяма Фредерика Эберлейном и Витольд Lwowitsch Schmulian ) является результатом , который относится три различных вида слабой компактности в банаховом пространстве .
Заявление
Теорема Эберлейна – Шмулиана : если X - банахово пространство и A - подмножество X , то следующие утверждения эквивалентны:
- каждая последовательность элементов A имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся в X
- каждая последовательность элементов A имеет слабую кластерную точку в X
- слабое замыкание A слабо компактно.
Множество A может быть слабо компактным тремя различными способами:
- Последовательное Компактность : Каждая последовательность из А имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой в A .
- Предельная точка Компактность : Каждое бесконечное подмножество A имеет предельную точку в A .
- Компактность (или компактность Гейне - Бореля ): каждое открытое покрытие A допускает конечное подпокрытие.
Теорема Эберлейна – Шмулиана утверждает, что эти три элемента эквивалентны в слабой топологии банахова пространства. Хотя эта эквивалентность верна в общем случае для метрического пространства , слабая топология не является метризуемой в бесконечномерных векторных пространствах, и поэтому необходима теорема Эберлейна – Шмулиана.
Приложения
Теорема Эберлейна – Шмулиана важна в теории УЧП , особенно в пространствах Соболева . Многие пространства Соболева являются рефлексивными банаховыми пространствами, поэтому ограниченные подмножества слабо предкомпактны по теореме Алаоглу . Таким образом, из теоремы следует, что ограниченные подмножества являются слабо секвенциально предкомпактными, и поэтому из любой ограниченной последовательности элементов этого пространства можно выделить подпоследовательность, которая слабо сходится в пространстве. Поскольку многие УЧП имеют решения только в слабом смысле, эта теорема является важным шагом в решении, какие пространства слабых решений использовать при решении УЧП.
Смотрите также
Рекомендации
Библиография
- Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
- Dunford, N .; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, Часть I , Wiley-Interscience.
- Whitley, RJ (1967), "Элементарное доказательство теоремы Эберлейна-Смулиана", Mathematische Annalen , 172 (2): 116–118, doi : 10.1007 / BF01350091.
 |
Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |