Теорема Голдстайна - Goldstine theorem

В функциональном анализе , разделе математики, теорема Голдстайна , названная в честь Германа Голдстайна , формулируется следующим образом:

Теорема Голдстайна. Пусть будет банахово пространство , то образ замкнутого единичного шара при каноническом вложении в замкнутый единичный шар из бидуальных пространства является слабым * - плотное подмножество .${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ Displaystyle В ^ {\ прайм \ прайм}}$ ${\ Displaystyle Х ^ {\ прайм \ прайм}}$

Заключение теоремы неверно для топологии нормы, что можно увидеть, рассматривая банахово пространство вещественных последовательностей, сходящихся к нулю, пространство c0 и его би-двойственное пространство [[пространство Lp]${\ displaystyle c_ {0},}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}.}$

Доказательство

Лемма

Для всех и существует такое, что для всех${\ Displaystyle х ^ {\ прайм \ прайм} \ в В ^ {\ прайм \ прайм},}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ ldots, \ varphi _ {n} \ in X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ delta> 0,}$${\ displaystyle x \ in (1+ \ delta) B}$${\ Displaystyle \ varphi _ {я} (х) = х ^ {\ простое \ простое} (\ varphi _ {я})}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п.}$

Доказательство леммы.

По сюръективности

можно найти с для${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle \ varphi _ {я} (х) = х ^ {\ простое \ простое} (\ varphi _ {я})}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п.}$

Теперь позвольте

Каждый элемент удовлетворяет и поэтому достаточно показать , что пересечение не пусто. ${\ displaystyle z \ in (x + Y) \ cap (1+ \ delta) B}$${\ displaystyle z \ in (1+ \ delta) B}$${\ Displaystyle \ varphi _ {я} (г) = \ varphi _ {я} (х) = х ^ {\ prime \ prime} (\ varphi _ {я}),}$

Предположим от противного, что он пуст. Тогда и по теореме Хана – Банаха существует такая линейная форма , что и Тогда и, следовательно, ${\ Displaystyle \ OperatorName {dist} (х, Y) \ geq 1+ \ delta}$${\ displaystyle \ varphi \ in X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ varphi {\ big \ vert} _ {Y} = 0, \ varphi (x) \ geq 1+ \ delta}$${\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {X ^ {\ prime}} = 1.}$${\ displaystyle \ varphi \ in \ operatorname {span} \ left \ {\ varphi _ {1}, \ ldots, \ varphi _ {n} \ right \}}$

противоречие.

Доказательство теоремы

Исправьте и изучите набор ${\ Displaystyle х ^ {\ прайм \ прайм} \ в В ^ {\ прайм \ прайм},}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ ldots, \ varphi _ {n} \ in X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0.}$

Позвольте быть вложением, определяемым тем, где оценка на карте. Множества формы образуют основу для слабой топологии *, поэтому плотность следует, если она показана для всех таких . Лемма выше говорит, что для любого существует такое, что и, в частности, поскольку у нас есть, мы можем масштабировать, чтобы получить . показывают , что при достаточно малом мы имеем${\ Displaystyle J: X \ rightarrow X ^ {\ prime \ prime}}$${\ displaystyle J (x) = {\ text {Ev}} _ {x},}$${\ displaystyle {\ text {Ev}} _ {x} (\ varphi) = \ varphi (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle J (B) \ cap U \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x \ in (1+ \ delta) B}$${\ Displaystyle х ^ {\ прайм \ прайм} (\ varphi _ {я}) = \ varphi _ {я} (х),}$ ${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п,}$${\ displaystyle {\ text {Ev}} _ {x} \ in U.}$${\ Displaystyle J (B) \ подмножество B ^ {\ prime \ prime},}$${\ displaystyle {\ text {Ev}} _ {x} \ in (1+ \ delta) J (B) \ cap U.}$${\ displaystyle {\ frac {1} {1+ \ delta}} {\ text {Ev}} _ {x} \ in J (B).}$${\ displaystyle \ delta> 0,}$${\ displaystyle {\ frac {1} {1+ \ delta}} {\ text {Ev}} _ {x} \ in J (B) \ cap U.}$

Непосредственно проверяя, у нас есть

Обратите внимание, что мы можем выбрать достаточно большой, чтобы для Note также, что если мы выберем так, то у нас будет, что ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ | \ varphi _ {я} \ | _ {X ^ {\ prime}} \ Leq M}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п.}$${\ Displaystyle \ | х \ | _ {X} \ leq (1+ \ delta).}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta M <\ epsilon,}$

Отсюда получаем желаемое. ${\ displaystyle {\ frac {1} {1+ \ delta}} {\ text {Ev}} _ {x} \ in J (B) \ cap U}$

Смотрите также

• Теорема Банаха – Алаоглу  - замкнутый единичный шар в двойственном нормированном векторном пространстве компактен в слабой * топологии.
• Теорема Бишопа – Фелпса
• Теорема Эберлейна – Шмулиана  - связывает три различных типа слабой компактности в банаховом пространстве.
• Теорема Джеймса
• Лемма Мазура  - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве

Рекомендации

• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .