Неисправная матрица - Defective matrix

В линейной алгебре , дефектный матрица является квадратной матрицей , которая не имеет полное основание из собственных векторов , и, следовательно , не диагонализируем . В частности, матрица размера n  ×  n является дефектной тогда и только тогда, когда она не имеет n линейно независимых собственных векторов. Полный базис формируется путем дополнения собственных векторов обобщенными собственными векторами , которые необходимы для решения дефектных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и других задач.

П  ×  п неисправна матрица всегда имеет меньше , чем п различных собственных значений , так как различные собственные всегда линейно независимые собственные векторы. В частности, дефектная матрица имеет один или несколько собственных значения Х с алгебраической кратностью т > 1 (то есть, они несколько корней этих характеристического полинома ), но меньше , чем т линейно независимые собственные векторы , связанные с Й . Если алгебраическая кратность λ превышает ее геометрическую кратность (то есть количество линейно независимых собственных векторов, связанных с λ ), то λ называется дефектным собственным значением . Однако каждое собственное значение с алгебраической кратностью m всегда имеет m линейно независимых обобщенных собственных векторов.

Эрмитова матрица (или частный случай реальной симметричной матрицы ) или унитарная матрица никогда не бывает неисправна; в общем, нормальная матрица (которая включает эрмитову и унитарную как частные случаи) никогда не бывает дефектной.

Иорданский блок

Любой нетривиальный жордановый блок размером 2 × 2 или больше (то есть не полностью диагональный) является дефектным. (Диагональная матрица является частным случаем нормальной формы Жордана и не является дефектным.) Так , например, п  ×  п Джордан блок

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ lambda & 1 & \; & \; \\\; & \ lambda & \ ddots & \; \\\; & \; & \ ddots & 1 \\\; & \; & \; & \ lambda \ end {bmatrix}},}$

имеет собственное значение λ с алгебраической кратностью n , но только один отдельный собственный вектор,

${\ displaystyle v = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

Фактически любая дефектная матрица имеет нетривиальную жорданову нормальную форму , которая максимально приближена к диагонализации такой матрицы.

Пример

Простой пример дефектной матрицы:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \ end {bmatrix}},}$

который имеет двойное собственное значение 3, но только один отдельный собственный вектор

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

(и постоянные его кратные).

Смотрите также

• Нормальная форма Джордана

Примечания

использованная литература

• Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Стрэнг, Гилберт (1988). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Сан-Диего: Харкорт. ISBN 978-970-686-609-7.