Матрица Жордана - Jordan matrix

В математической дисциплине теории матриц , в жордановском над кольцом $R$ (чьи тождества являются нуль 0 и одна 1) является матрица состоит из нулей всюду по диагонали, которая заполняется с фиксированным элементом , за исключением , и для от диагонали , который состоит из единиц. Концепция названа в честь Камиллы Джордан . ${\ displaystyle \ lambda \ in R}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ лямбда \ end {bmatrix}}}

Определение

Каждая жорданова клетка, заданная своей размерностью n и собственным значением $λ,$ обозначается как $J λ, n$ .

Любая блочно-диагональная матрица , блоки которой являются жордановыми блоками, называется жордановой матрицей ; с использованием символа или символа " $диагональ$ " $($ $n$ $1$ $+ \dots +$ $n$ $r$ $) \times ($ $n$ $1$ $+ \dots +$ $n$ $r$ $)$ блочная диагональная квадратная матрица, состоящая из $r$ диагональных блоков, где первый - $J$ $λ$ $1$ $,$ $n$ $1$ , второй - $J$ $λ$ $2$ $,$ $n$ $2$ и так далее, пока $r$ th не будет $J$ $λ$ $r$ $,$ $n$ $r$ , может быть компактно обозначен как или , соответственно. ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle J _ {\ lambda _ {1}, n_ {1}} \ oplus \ cdots \ oplus J _ {\ lambda _ {r}, n_ {r}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {diag} \ left (J _ {\ lambda _ {1}, n_ {1}}, \ ldots, J _ {\ lambda _ {r}, n_ {r}} \ right)}$

Например, матрица

{\ Displaystyle J = \ влево [{\ начинают {массив} {ссс | сс | сс | ссс} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ HLine 0 & 0 & 0 & я & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & я & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ HLine 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & я & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & я & 0 & 0 & 0 \\\ HLine 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \ end {array}} \ right]}

представляет собой жордановую матрицу $10 \times 10$ с блоком $3 \times 3$ с собственным значением $0$ , двумя блоками $2 \times 2$ с собственным значением - мнимой единицей $i$ и блоком $3 \times 3$ с собственным значением 7. Его структура жордановых блоков также может быть записана как или $diag ($ $J$ $0,3$ $,$ $J$ $i$ $, 2$ $,$ $J$ $i$ $, 2$ $,$ $J$ $7,3$ $)$ . ${\ displaystyle J_ {0,3} \ oplus J_ {i, 2} \ oplus J_ {i, 2} \ oplus J_ {7,3}}$

Линейная алгебра

Любая квадратная матрица $A$ размера $n \times n$ , элементы которой находятся в алгебраически замкнутом поле $K$ , подобна жордановой матрице $J$ , также содержащейся в , которая уникальна с точностью до перестановки самих ее диагональных блоков. $J$ называется жордановой нормальной формой алгебры $A$ и соответствует обобщению процедуры диагонализации. По сути, диагонализуемая матрица похожа на специальный случай жордановой матрицы: матрицу, все блоки которой имеют размер $1 \times 1$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {M} _ {п} (К)}$

В более общем плане , учитывая матрицу Жордана , то есть, у которого $к$ - й диагональный блок, $1 \leq$ $K$ $\leq$ $N$ является Иордана блочного $J$ $Л$ $к$ $,$ $м$ $к$ и, диагональные элементы которой $Х$ $K$ не могут быть все различны, то геометрическая кратность из для матрицы $J$ , обозначенный как $gmul$ $J$ $λ$ , соответствует количеству жордановых блоков, собственное значение которых равно $λ$ . В то время как индекс собственного значения $λ$ для $J$ , обозначенного как $idx$ $J$ $λ$ , определяется как размерность наибольшего жорданова блока, связанного с этим собственным значением. ${\ displaystyle J = J _ {\ lambda _ {1}, m_ {1}} \ oplus J _ {\ lambda _ {2}, m_ {2}} \ oplus \ cdots \ oplus J _ {\ lambda _ {N}, м_ {N}}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in K}$

То же самое для всех матриц , похожих на $J$ , так $IDX$ $λ$ может быть определен соответствующим образом по отношению к нормальной форме Жордана из $A$ для любого из его собственных значений . В этом случае можно проверить , что индекс $Х$ для $А$ равен ее кратность как корень из минимального полинома из $А$ ( в то время как, по определению, его алгебраическая кратность для $А$ , $MUL$ $А$ $Х$ , является его кратностью как корень характеристический многочлен от $А$ , то есть ). Эквивалентным необходимым и достаточным условием диагонализации $A$ в $K$ является то, что все его собственные значения имеют индекс, равный $1$ , т. Е. Его минимальный многочлен имеет только простые корни. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathrm {spec} A}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Det (A-xI) \ в К [х]}$

Обратите внимание, что знание спектра матрицы со всеми ее алгебраическими / геометрическими кратностями и индексами не всегда позволяет вычислить ее нормальную форму Жордана (это может быть достаточным условием только для спектрально простых, обычно низкоразмерных матриц): разложение Жордана это, в общем, сложная вычислительная задача. С точки зрения векторного пространства , разложение Жордана эквивалентно поиску ортогонального разложения (т. Е. Через прямые суммы собственных подпространств, представленных жордановыми блоками) области, основу которой составляют соответствующие обобщенные собственные векторы .

Функции матриц

Пусть (т.е. $п$ $\times$ $п$ комплексная матрица) и быть изменение базисной матрицы к жордановой нормальной форме из $A$ , т.е. $A$ $=$ $C$ $-1$ $JC$ . Пусть теперь $е$ $($ $г$ $)$ будет голоморфна на открытом множестве $Q$ , таким образом, что , т.е. спектр матрицы содержится внутри области голоморфности из $е$ . Позволять ${\ Displaystyle А \ в \ mathbb {M} _ {п} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle С \ ин \ mathrm {GL} _ {п} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {spec} A \ subset {\ mathit {\ Omega}} \ substeq \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} a_ {h} (z-z_ {0}) ^ {h}}

- разложение $f$ в степенной ряд вокруг , которое в дальнейшем для простоты предполагается равным 0 . Затем матрица $f$ $($ $A$ $)$ определяется с помощью следующего формального степенного ряда ${\ displaystyle z_ {0} \ in {\ mathit {\ Omega}} \ setminus \ mathrm {spec} A}$

{\ displaystyle f (A) = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} a_ {h} A ^ {h}}

и абсолютно сходится относительно евклидовой нормы в . Иными словами, $е$ $($ $)$ сходится абсолютно для каждой квадратной матрицы, спектральный радиус меньше , чем радиус сходимости по $е$ вокруг $0$ и равномерно сходится на любых компактных подмножеств , удовлетворяющих этим свойством в матричной группы Ли топологии. ${\ Displaystyle \ mathbb {M} _ {п} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {M} _ {п} (\ mathbb {C})}$

Нормальная форма Джордана позволяет вычисление функций от матриц без явного вычисления бесконечного ряда , который является одним из главных достижений матриц Жордана. Используя тот факт, что $k-$ я степень ( ) диагональной блочной матрицы является диагональной блочной матрицей, блоки которой являются $k-$ й степенью соответствующих блоков, т. Е. , И что $A$ $k$ $=$ $C$ $-1$ $J$ $k$ $C$ , указанная выше степень матрицы серия становится ${\ Displaystyle к \ ин \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ left (A_ {1} \ oplus A_ {2} \ oplus A_ {3} \ oplus \ cdots \ right) ^ {k} = A_ {1} ^ {k} \ oplus A_ {2} ^ { k} \ oplus A_ {3} ^ {k} \ oplus \ cdots}$

{\ Displaystyle е (A) = C ^ {- 1} е (J) C = C ^ {- 1} \ left (\ bigoplus _ {k = 1} ^ {N} f \ left (J _ {\ lambda _ {k}, m_ {k}} \ right) \ right) C}

где последний ряд не нужно явно вычислять через степенные ряды каждой жордановой клетки. Фактически, если любая голоморфная функция жордановой клетки $f$ $($ $J$ $λ,$ $n$ $)$ является следующей верхнетреугольной матрицей : ${\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathit {\ Omega}}}$

{\ displaystyle f (J _ {\ lambda, n}) = {\ begin {bmatrix} f (\ lambda) & f ^ {\ prime} (\ lambda) & {\ frac {f ^ {\ prime \ prime} (\ лямбда)} {2}} & \ cdots & {\ frac {f ^ {(n-2)} (\ lambda)} {(n-2)!}} & {\ frac {f ^ {(n-1 )} (\ lambda)} {(n-1)!}} \\ 0 & f (\ lambda) & f ^ {\ prime} (\ lambda) & \ cdots & {\ frac {f ^ {(n-3)} (\ lambda)} {(n-3)!}} & {\ frac {f ^ {(n-2)} (\ lambda)} {(n-2)!}} \\ 0 & 0 & f (\ lambda) & \ cdots & {\ frac {f ^ {(n-4)} (\ lambda)} {(n-4)!}} & {\ frac {f ^ {(n-3)} (\ lambda)} { (n-3)!}} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & f (\ lambda) & f ^ {\ prime} (\ lambda) \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 & f (\ lambda) \\\ end {bmatrix}}.}

Как следствие этого, вычисление любых функций матрицы является простым, если известны ее жорданова нормальная форма и матрица замены базиса. Кроме того, $spec f (A) = f (spec A)$ , то есть каждое собственное значение соответствует собственному значению , но, как правило, оно имеет различную алгебраическую кратность , геометрическую кратность и индекс. Однако алгебраическая кратность может быть вычислена следующим образом: ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathrm {spec} A}$ ${\ Displaystyle е (\ лямбда) \ в \ mathrm {spec} f (A)}$

{\ displaystyle {\ text {mul}} _ {f (A)} f (\ lambda) = \ sum _ {\ mu \ in {\ text {spec}} A \ cap f ^ {- 1} (f ( \ lambda))} ~ {\ text {mul}} _ {A} \ mu.}

Функция $е (Т)$ из линейного преобразования $Т$ между векторными пространствами может быть определены аналогичным образом в соответствии с голоморфным функциональным исчислением , где банахова пространство и римановая поверхность теория играют фундаментальную роль. В случае конечномерных пространств обе теории полностью совпадают.

Динамические системы

Теперь предположим, что (сложная) динамическая система просто определяется уравнением

{\ Displaystyle {\ точка {\ mathbf {z}}} (т) = А (\ mathbf {c}) \ mathbf {z} (т),}

{\ Displaystyle \ mathbf {z} (0) = \ mathbf {z} _ {0} \ in \ mathbb {C} ^ {n},}

где - ( $n-$ мерная) кривая параметризации орбиты на римановой поверхности динамической системы, тогда как $A$ $($ $c$ $)$ - комплексная матрица размера $n$ $\times$ $n$ , элементы которой являются комплексными функциями $d$ -мерного параметра . ${\ displaystyle \ mathbf {z}: \ mathbb {R} _ {+} \ to {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} \ in \ mathbb {C} ^ {d}}$

Даже если (т.е. $A$ непрерывно зависит от параметра $c$ ) жорданова нормальная форма матрицы непрерывно деформируется почти всюду на, но, в общем, не всюду: существует некоторое критическое подмногообразие, на котором жорданова форма резко меняет свою структуру всякий раз, когда параметр пересекает или просто «путешествует» по нему ( монодромия ). Такие изменения означают, что несколько жордановых блоков (принадлежащих разным собственным значениям или нет) объединяются в уникальный жордановый блок или наоборот (т.е. один жордановый блок разделяется на два или более разных). Многие аспекты теории бифуркаций как для непрерывных, так и для дискретных динамических систем можно интерпретировать с помощью анализа функциональных жордановых матриц. ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {M} _ {n} \ left (\ mathrm {C} ^ {0} \ left (\ mathbb {C} ^ {d} \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$

С точки зрения динамики касательного пространства это означает, что ортогональное разложение фазового пространства динамической системы изменяется, и, например, разные орбиты приобретают периодичность, или теряют ее, или переходят от одного вида периодичности к другому (например, удвоение периода , см. логистическую карту ).

В предложении качественное поведение такой динамической системы может существенно измениться по мере версальной деформации жордановой нормальной формы $A (c)$ .

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

Простейшим примером динамической системы является система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. пусть и : ${\ Displaystyle А \ в \ mathbb {M} _ {п} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} _ {0} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$

{\ Displaystyle {\ точка {\ mathbf {z}}} (т) = А \ mathbf {z} (т),}

{\ Displaystyle \ mathbf {z} (0) = \ mathbf {z} _ {0},}

прямое решение которой в замкнутой форме включает вычисление матричной экспоненты :

{\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = e ^ {tA} \ mathbf {z} _ {0}.}

Другой способ, при условии , что решение ограничивается локальным пространством Лебега на $п$ - мерные векторных полей , является использование его преобразования Лапласа . В таком случае ${\ displaystyle \ mathbf {z} \ in \ mathrm {L} _ {\ mathrm {loc}} ^ {1} (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (s) = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {z}] (s)}$

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (s) = \ left (sI-A \ right) ^ {- 1} \ mathbf {z} _ {0}.}

Матрица - функция $( - SI) -1$ называются резольвентной матрицей из дифференциального оператора . Он мероморфен по отношению к комплексному параметру, поскольку его матричные элементы являются рациональными функциями, знаменатель которых для всех равен $det ($ $A$ $-$ $sI$ $)$ . Его полярные особенности являются собственными значениями оператора $A$ , порядок которых равен их индексу для него, т . Е. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} - A}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {ord} _ {(A-sI) ^ {- 1}} \ lambda = \ mathrm {idx} _ {A} \ lambda}$

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646

Languages

In other projects