Даниэль интеграл - Daniell integral

В математике , то интеграл Даниеля является типом интеграции, обобщающее понятие более элементарных версий , таких как интеграл Римана , к которым , как правило , первый введенным студенты. Одна из основных трудностей традиционной формулировки интеграла Лебега состоит в том, что она требует первоначального развития работоспособной теории меры, прежде чем можно будет получить какие-либо полезные результаты для интеграла. Однако доступен альтернативный подход, разработанный Перси Дж. Даниэлем  ( 1918 ), который не страдает этим недостатком и имеет несколько существенных преимуществ по сравнению с традиционной формулировкой, особенно когда интеграл обобщается на многомерные пространства и дальнейшие обобщения. такие как интеграл Стилтьеса . Основная идея заключается в аксиоматизации интеграла.

Аксиомы

Мы начинаем с выбора семейства ограниченных действительных функций (называемых элементарными функциями ), определенных на некотором множестве , которое удовлетворяет этим двум аксиомам: ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle H}$ является линейным пространством с обычными операциями сложения и скалярного умножения.
• Если функция находится внутри , то это и ее абсолютное значение . ${\ Displaystyle ч (х)}$${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle | час (х) |}$

Кроме того, каждой функции h из H присваивается действительное число , которое называется элементарным интегралом от h , удовлетворяющее этим трем аксиомам: ${\ displaystyle Ih}$

• Линейность

Если h и k оба находятся в H, и и - любые два действительных числа, тогда . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle I (\ альфа ч + \ бета к) = \ альфа Ih + \ бета Ik}$

• Неотрицательность

Если , то . ${\ Displaystyle ч (х) \ geq 0}$${\ displaystyle Ih \ geq 0}$

• Непрерывность

Если - невозрастающая последовательность (т.е. ) функций в, которая сходится к 0 для всех в , то . ${\ displaystyle h_ {n}}$${\ displaystyle h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Ih_ {n} \ to 0}$

или (чаще)

Если - возрастающая последовательность (т. Е. ) Функций в , сходящаяся к h для всех в , то . ${\ displaystyle h_ {n}}$${\ displaystyle h_ {1} \ leq \ cdots \ leq h_ {k} \ leq \ cdots}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Ih_ {n} \ to Ih}$

То есть мы определяем непрерывный неотрицательный линейный функционал над пространством элементарных функций. ${\ displaystyle I}$

Эти элементарные функции и их элементарные интегралы могут быть любым набором функций и определений интегралов по этим функциям, которые удовлетворяют этим аксиомам. Очевидно, семейство всех ступенчатых функций удовлетворяет указанным выше аксиомам для элементарных функций. Определение элементарного интеграла семейства ступенчатых функций как (знаковая) область под ступенчатой ​​функцией, очевидно, удовлетворяет данным аксиомам для элементарного интеграла. Применение конструкции интеграла Даниэля, описанного ниже, с использованием ступенчатых функций в качестве элементарных функций, дает определение интеграла, эквивалентного интегралу Лебега. Использование семейства всех непрерывных функций в качестве элементарных функций и традиционного интеграла Римана в качестве элементарного также возможно, однако это даст интеграл, который также эквивалентен определению Лебега. То же самое, но с использованием интеграла Римана – Стилтьеса вместе с соответствующей функцией ограниченной вариации , дает определение интеграла, эквивалентного интегралу Лебега – Стилтьеса .

Множества нулевой меры можно определить в терминах элементарных функций следующим образом. Множество, которое является подмножеством, является множеством меры нуль, если для любого существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций в H такая, что и на . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle h_ {p} (x)}$${\ displaystyle Ih_ {p} <\ epsilon}$${\ displaystyle \ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1}$${\ displaystyle Z}$

Набор называется набором полной меры, если его дополнение по отношению к является набором нулевой меры. Мы говорим, что если какое-то свойство выполняется в каждой точке множества полной меры (или, что то же самое, везде, кроме множества нулевой меры), то оно выполняется почти всюду . ${\ displaystyle X}$

Определение

Хотя конечный результат один и тот же, разные авторы строят интеграл по-разному. Общий подход состоит в том, чтобы начать с определения большего класса функций на основе выбранных нами элементарных функций, класса , который представляет собой семейство всех функций, которые являются пределом неубывающей последовательности элементарных функций, таких, что набор интегралов равен ограниченный. Интеграл функции в определяется как: ${\ displaystyle L ^ {+}}$${\ displaystyle h_ {n}}$${\ displaystyle Ih_ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {+}}$

${\ displaystyle If = \ lim _ {n \ to \ infty} Ih_ {n}}$

Можно показать, что это определение интеграла корректно, т.е. не зависит от выбора последовательности . ${\ displaystyle h_ {n}}$

Однако, как правило , класс не замкнут при вычитании и скалярном умножении на отрицательные числа; его необходимо расширить, определив более широкий класс функций с этими свойствами. ${\ displaystyle L ^ {+}}$${\ displaystyle L}$

Метод Даниэля (1918), описанный в книге Ройдена, сводится к определению верхнего интеграла общей функции формулой ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle I ^ {+} \ phi = \ inf _ {f} Если}$

где нижняя грань берется по всем в с . Нижний интеграл определяется аналогично или сокращенно как . Наконец, состоит из тех функций, у которых верхний и нижний интегралы конечны и совпадают, и ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {+}}$${\ displaystyle f \ geq \ phi}$${\ Displaystyle I ^ {-} \ phi = -I ^ {+} (- \ phi)}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = I ^ {+} \ phi = I ^ {-} \ phi.}$

Альтернативный путь, основанный на открытии Фредерика Рисса, взят в книге Шилова и Гуревича и в статье в Encyclopedia of Mathematics. Сюда входят те функции, которые могут быть представлены на множестве полной меры (определенной в предыдущем разделе) как разность , для некоторых функций и в классе . Тогда интеграл функции можно определить как: ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ displaystyle \ phi = fg}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle L ^ {+}}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$

${\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,}$

Опять же, можно показать, что этот интеграл определен правильно, т.е. он не зависит от разложения на и . Это оказывается эквивалентным исходному интегралу Даниэля. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Характеристики

Почти все важные теоремы в традиционной теории интеграла Лебега, такие как теоремы Лебега о сходимости , то теорема Рисса-Фишера , лемма Фату и теорема Фубини также может быть легко доказано с помощью этой конструкции. Его свойства идентичны традиционному интегралу Лебега.

Измерение

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями также можно использовать интеграл Даниэля для построения теории меры . Если взять характеристическую функцию некоторого множества, то его интеграл можно принять за меру множества. Можно показать, что это определение меры, основанное на интеграле Даниэля, эквивалентно традиционной мере Лебега . ${\ Displaystyle \ чи (х)}$

Преимущества перед традиционной рецептурой

Этот метод построения общего интеграла имеет несколько преимуществ перед традиционным методом Лебега, особенно в области функционального анализа . Как указывалось выше, конструкции Лебега и Даниэля эквивалентны, если в качестве элементарных функций выбраны обычные конечнозначные ступенчатые функции. Однако, когда кто-то пытается расширить определение интеграла на более сложные области (например, пытается определить интеграл линейного функционала ), каждый сталкивается с практическими трудностями при использовании конструкции Лебега, которые смягчаются подходом Даниэля.

Польский математик Ян Микусинский сделал альтернативную и более естественную формулировку интегрирования Даниэля, используя понятие абсолютно сходящихся рядов. Его формулировка работает для интеграла Бохнера ( интеграл Лебега для отображений, принимающих значения в банаховых пространствах ). Лемма Микусинского позволяет определить интеграл без упоминания нулевых множеств . Он также доказал теорему замены переменных для кратных интегралов Бохнера и теорему Фубини для интегралов Бохнера, используя интегрирование Даниэля. В книге Асплунда и Бунгарта содержится ясная трактовка этого подхода для вещественнозначных функций. Он также предлагает доказательство абстрактной теоремы Радона – Никодима с использованием подхода Даниэля – Микусинского .

Смотрите также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана
• Интеграция Лебега-Стилтьеса

Рекомендации

• Эш, Роберт Б. (1972). «Взаимодействие теории меры и топологии». Реальный анализ и вероятность . Нью-Йорк: Academic Press. С. 168–200. ISBN   0-12-065201-3 .
• Даниэлл, П. Дж. (1918). «Общая форма интеграла». Анналы математики . Вторая серия. 19 (4): 279–294. DOI : 10.2307 / 1967495 . JSTOR   1967495 .
• Хаберман, Шелби Дж. (1996). «Построение интегралов Даниэля» . Расширенная статистика . Нью-Йорк: Спрингер. С. 199–263. ISBN   0-387-94717-5 .
• Ройден, HL (1988). «Интеграл Даниэля». Реальный анализ (3-е изд.). Энглвудские скалы: Прентис-холл. С. 419–434. ISBN   0-02-404151-3 .
• Лумис, Линн Х. (1953), «Глава III: Интеграция», Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. 29–47, hdl : 2027 / uc1.b4250788
• Шилов Г.Е .; Гуревич, БЛ (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Переведено Сильверманом, Ричард А. Довер Пабликейшнс. ISBN   0-486-63519-8 .
• Асплунд, Эдгар; Бунгарт, Лутц (1966). Первый курс интеграции . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Соболев, В.И. (2001) [1994], "Интеграл Даниэля" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Тейлор, AE (1985) [1965]. Общая теория функций и интеграции . Дувр. ISBN   0-486-64988-1 .