Кросс-ковариация - Cross-covariance

В вероятности и статистике , учитывая два случайных процесса и , кросс-ковариация - это функция, которая дает ковариацию одного процесса с другим в парах моментов времени. С обычными обозначениями ; для оператора математического ожидания , если процессы имеют средние функции и , то кросс-ковариация определяется как ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {Y_ {т} \ вправо \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {X} (t) = \ operatorname {\ operatorname {E}} [X_ {t}]}$ ${\ displaystyle \ mu _ {Y} (t) = \ operatorname {E} [Y_ {t}]}$

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {cov} (X_ {t_ {1}}, Y_ {t_ {2}}) = \ operatorname { E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {X} (t_ {1})) (Y_ {t_ {2}} - \ mu _ {Y} (t_ {2}))] = \ имя оператора {E} [X_ {t_ {1}} Y_ {t_ {2}}] - \ mu _ {X} (t_ {1}) \ mu _ {Y} (t_ {2}). \,}

Кросс-ковариация связана с более часто используемой взаимной корреляцией рассматриваемых процессов.

В случае двух случайных векторов и кросс-ковариация была бы матрицей (часто обозначаемой ) с элементами. Таким образом, термин кросс-ковариация используется для того, чтобы отличить это понятие от ковариации случайного вектора , который понимается как матрица ковариаций между скалярными компонентами самого по себе. ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {p}) ^ {\ rm {T}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ {q}) ^ {\ rm {T}}}$ ${\ displaystyle p \ times q}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cov} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (j, k) = \ operatorname {cov} (X_ {j}, Y_ {k}). \,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

При обработке сигналов кросс-ковариацию часто называют кросс-корреляцией, и это мера сходства двух сигналов , обычно используемая для поиска признаков в неизвестном сигнале путем сравнения его с известным. Это функция относительного времени между сигналами, иногда называемая скользящим скалярным произведением , и имеет приложения в распознавании образов и криптоанализе .

Кросс-ковариация случайных векторов

Кросс-ковариантность случайных процессов

Определение кросс-ковариации случайного вектора может быть обобщено на случайные процессы следующим образом:

Определение

Пусть и обозначают случайные процессы. Тогда кросс-ковариационная функция процессов определяется следующим образом: ${\ Displaystyle \ {Х (т) \}}$ ${\ Displaystyle \ {Y (т) \}}$ ${\ displaystyle K_ {XY}}$

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ operatorname {cov} (X_ {t_ {1} }, Y_ {t_ {2}}) = \ operatorname {E} \ left [\ left (X (t_ {1}) - \ mu _ {X} (t_ {1}) \ right) \ left (Y ( t_ {2}) - \ mu _ {Y} (t_ {2}) \ right) \ right]}

( Уравнение 2 )

где и . ${\ displaystyle \ mu _ {X} (t) = \ operatorname {E} \ left [X (t) \ right]}$ ${\ displaystyle \ mu _ {Y} (t) = \ operatorname {E} \ left [Y (t) \ right]}$

Если процессы являются сложными случайными процессами, второй фактор должен быть комплексно сопряженным.

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ operatorname {cov} (X_ {t_ {1} }, Y_ {t_ {2}}) = \ operatorname {E} \ left [\ left (X (t_ {1}) - \ mu _ {X} (t_ {1}) \ right) {\ overline {\ left (Y (t_ {2}) - \ mu _ {Y} (t_ {2}) \ right)}} \ right]}

Определение совместных процессов WSS

Если и являются в совокупности стационарными в широком смысле , то верно следующее: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {Y_ {т} \ вправо \}}$

{\ Displaystyle \ му _ {X} (т_ {1}) = \ му _ {X} (т_ {2}) \ треугольник \ му _ {X}}

для всех ,

{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

{\ Displaystyle \ му _ {Y} (т_ {1}) = \ му _ {Y} (т_ {2}) \ треугольник \ му _ {Y}}

для всех

{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

а также

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {2} -t_ {1}, 0)}

для всех

{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

Установив (временную задержку или количество времени, на которое сигнал был сдвинут), мы можем определить ${\ displaystyle \ tau = t_ {2} -t_ {1}}$

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (\ tau) = \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {2} -t_ {1}) \ треугольникq \ operatorname {K} _ {XY} (t_ {1}, t_ {2})}

.

Таким образом, кросс-ковариационная функция двух совместных процессов WSS определяется следующим образом:

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (\ tau) = \ operatorname {cov} (X_ {t}, Y_ {t- \ tau}) = \ operatorname {E} [(X_ {t} - \ mu _ {X}) (Y_ {t- \ tau} - \ mu _ {Y})] = \ operatorname {E} [X_ {t} Y_ {t- \ tau}] - \ mu _ {X} \ mu _ {Y}}

( Уравнение 3 )

что эквивалентно

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XY} (\ tau) = \ operatorname {cov} (X_ {t + \ tau}, Y_ {t}) = \ operatorname {E} [(X_ {t + \ tau} - \ mu _ {X}) (Y_ {t} - \ mu _ {Y})] = \ operatorname {E} [X_ {t + \ tau} Y_ {t}] - \ mu _ {X} \ mu _ { Y}}

.

Некоррелированность

Два случайных процесса и называются некоррелированными, если их ковариация всегда равна нулю. Формально: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {Y_ {т} \ вправо \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2})}$

{\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}, \ left \ {Y_ {t} \ right \} {\ text {uncorrelated}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}}

.

Кросс-ковариация детерминированных сигналов

Перекрестная ковариация также важна при обработке сигналов, где перекрестная ковариация между двумя стационарными случайными процессами в широком смысле может быть оценена путем усреднения произведения выборок, измеренных в одном процессе, и выборок, измеренных в другом (и его временных сдвигов). Выборки, включенные в среднее значение, могут быть произвольным подмножеством всех отсчетов в сигнале (например, отсчетами в пределах конечного временного окна или подвыборкой одного из сигналов). Для большого количества выборок среднее сходится к истинной ковариации.

Перекрестная ковариация может также относиться к «детерминированной» перекрестной ковариации между двумя сигналами. Он состоит из суммирования по всем временным показателям. Например, для сигналов с дискретным временем и кросс-ковариация определяется как ${\ displaystyle f [k]}$ ${\ displaystyle g [k]}$