Автоковариация - Autocovariance

В теории вероятностей и статистике , учитывая стохастический процесс , то автоковариационная это функция , которая дает ковариации процесса с собой на пары моментов времени. Автоковариация тесно связана с автокорреляцией рассматриваемого процесса.

Автоковариантность случайных процессов

Определение

В обычных обозначениях для оператора математического ожидания , если случайный процесс имеет функцию среднего , то автоковариация определяется выражением ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {t} = \ operatorname {E} [X_ {t}]}$

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {cov} \ left [X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} \ right] = \ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})] = \ operatorname { E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - \ mu _ {t_ {1}} \ mu _ {t_ {2}}}

( Уравнение 1 )

где и - два момента времени. ${\ displaystyle t_ {1}}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$

Определение слабо стационарного процесса

Если это слабо стационарный (WSS) процесс , то верны следующие утверждения: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$

{\ Displaystyle \ му _ {т_ {1}} = \ му _ {т_ {2}} \ треугольникq \ му}

для всех

{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

а также

{\ Displaystyle \ OperatorName {E} [| X_ {t} | ^ {2}] <\ infty}

для всех

{\ displaystyle t}

а также

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}, 0) \ треугольник \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau),}

где - время запаздывания или время, на которое сигнал был сдвинут. ${\ displaystyle \ tau = t_ {2} -t_ {1}}$

Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом:

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t} - \ mu _ {t}) (X_ {t- \ tau} - \ mu _ {t - \ tau})] = \ operatorname {E} [X_ {t} X_ {t- \ tau}] - \ mu _ {t} \ mu _ {t- \ tau}}

( Уравнение 2 )

что эквивалентно

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t + \ tau} - \ mu _ {t + \ tau}) (X_ {t} - \ mu _ { t})] = \ operatorname {E} [X_ {t + \ tau} X_ {t}] - \ mu ^ {2}}

.

Нормализация

В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) обычной практикой является нормализация функции автоковариации для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.

Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:

{\ displaystyle \ rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ { t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})]} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}}}

.

Если функция четко определена, ее значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляцию . ${\ displaystyle \ rho _ {XX}}$ ${\ displaystyle [-1,1]}$

Для процесса WSS это определение

{\ displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {E } [(X_ {t} - \ mu) (X_ {t + \ tau} - \ mu)]} {\ sigma ^ {2}}}}

.

где

{\ Displaystyle \ OperatorName {K} _ {XX} (0) = \ sigma ^ {2}}

.

Характеристики

Свойство симметрии

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}} }

соответственно для процесса WSS:

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (- \ tau)}}}

Линейная фильтрация

Автоковариантность линейно отфильтрованного процесса. ${\ Displaystyle \ влево \ {Y_ {т} \ вправо \}}$

{\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} X_ {t + k} \,}

является

{\ displaystyle K_ {YY} (\ tau) = \ sum _ {k, l = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} (\ tau + kl). \, }

Расчет турбулентной диффузии

Автоковариацию можно использовать для расчета коэффициента турбулентной диффузии. Турбулентность потока может вызывать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний.

Разложение Рейнольдса используется для определения пульсаций скорости (предположим, что сейчас мы работаем с одномерной задачей, и это скорость вдоль направления): ${\ Displaystyle и '(х, т)}$ ${\ Displaystyle U (х, т)}$ ${\ displaystyle x}$

{\ Displaystyle U (x, t) = \ langle U (x, t) \ rangle + u '(x, t),}

где - истинная скорость, а - ожидаемое значение скорости . Если мы выберем правильный , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в . Для определения требуется набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или повторяющихся экспериментов. ${\ Displaystyle U (х, т)}$ ${\ Displaystyle \ langle U (х, т) \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle U (х, т) \ rangle}$ ${\ Displaystyle и '(х, т)}$ ${\ Displaystyle \ langle U (х, т) \ rangle}$

Если мы предположим, что турбулентный поток ( и c - член концентрации) может быть вызван случайным блужданием, мы можем использовать законы диффузии Фика для выражения члена турбулентного потока: ${\ displaystyle \ langle u'c '\ rangle}$ ${\ displaystyle c '= c- \ langle c \ rangle}$

{\ Displaystyle J _ {{\ text {turbulence}} _ {x}} = \ langle u'c '\ rangle \ приблизительно D_ {T_ {x}} {\ frac {\ partial \ langle c \ rangle} {\ partial Икс}}.}

Автоковариация скорости определяется как

{\ Displaystyle К_ {ХХ} \ эквив \ langle и '(т_ {0}) и' (т_ {0} + \ тау) \ rangle}

или же

{\ Displaystyle K_ {XX} \ Equiv \ langle u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) \ rangle,}

где - время запаздывания, а - расстояние запаздывания. ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle r}$

Коэффициент турбулентной диффузии можно рассчитать с помощью следующих 3 методов: ${\ displaystyle D_ {T_ {x}}}$

Если у нас есть данные о скорости вдоль лагранжевой траектории :
${\ displaystyle D_ {T_ {x}} = \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + \ tau) \, d \ tau.}$
Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном ( эйлеровом ) месте:
${\ displaystyle D_ {T_ {x}} \ приблизительно [0,3 \ pm 0,1] \ left [{\ frac {\ langle u'u '\ rangle + \ langle u \ rangle ^ {2}} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right] \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} u' (t_ {0}) u '(t_ {0} + \ tau) \, d \ tau.}$
Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках:
${\ displaystyle D_ {T_ {x}} \ приблизительно [0,4 \ pm 0,1] \ left [{\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right] \ int _ {r} ^ {\ infty} u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) \, dr,}$
где - расстояние, разделенное этими двумя фиксированными точками. ${\ displaystyle r}$

Автоковариация случайных векторов

Смотрите также

Авторегрессионный процесс
Корреляция
Кросс-ковариация
Взаимная корреляция
Оценка ковариации шума (на примере приложения)

Languages

In other projects