Условие Куранта – Фридрихса – Леви - Courant–Friedrichs–Lewy condition

В математике , то условие сходимости по Куранта-Фридрихса-Леви является необходимым условием сходимости при решении некоторых уравнений в частных производных (обычно гиперболические ФДЭ ) численно. Она возникает в численном анализе в интеграции явно временных схем, когда они используются для численного решения. Как следствие, временной шаг должен быть меньше определенного времени во многих явных компьютерных симуляциях с маршевым временем , иначе симуляция даст неверные результаты. Состояние названо в честь Ричарда Куранта , Курта Фридрихса и Ханса Леви, которые описали его в своей статье 1928 года.

Эвристическое описание

Принцип, лежащий в основе этого условия, заключается в том, что, например, если волна движется по дискретной пространственной сетке, и мы хотим вычислить ее амплитуду с дискретными временными шагами равной продолжительности, то эта продолжительность должна быть меньше времени, в течение которого волна проходит. к соседним точкам сетки. Как следствие, когда расстояние между точками сетки уменьшается, верхний предел для временного шага также уменьшается. По сути, численная область зависимости любой точки в пространстве и времени (определяемая начальными условиями и параметрами схемы аппроксимации) должна включать аналитическую область зависимости (в которой начальные условия влияют на точное значение решение в этот момент), чтобы гарантировать, что схема может получить доступ к информации, необходимой для формирования решения.

Заявление

Чтобы сделать достаточно формально точную формулировку условия, необходимо определить следующие величины:

Пространственная координата : одну из координат в физическом пространстве , в котором ставится задача
Пространственный аспект проблемы : число от пространственных измерений , то есть, число пространственных координат в физическом пространстве , где ставится задача. Типичные значения , и . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п = 1}$ ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle n = 3}$
Время : координата , действующая как параметр , описывающий эволюцию системы, отличную от пространственных координат.

Пространственные координаты и время представляют собой независимые переменные с дискретными значениями , которые расположены на регулярных расстояниях, называемых длиной интервала и временным шагом , соответственно. Используя эти имена, условие CFL связывает длину временного шага с функцией длины интервала каждой пространственной координаты и максимальной скорости, с которой информация может перемещаться в физическом пространстве.

На практике условие CFL обычно предписывается для тех членов конечно-разностной аппроксимации общих дифференциальных уравнений в частных производных, которые моделируют явление адвекции .

Одномерный случай

Для одномерного случая уравнение модели непрерывного времени (которое обычно решается для ) имеет следующий вид: ${\ displaystyle w}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial t}} = u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}}.}

Тогда условие CFL имеет следующий вид:

{\ displaystyle C = {\ frac {u \, \ Delta t} {\ Delta x}} \ leq C _ {\ max}}

где безразмерное число называется числом Куранта , ${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle u}$ - величина скорости ( размерность - длина / время)
${\ displaystyle \ Delta t}$ шаг по времени ( размерность - время)
${\ displaystyle \ Delta x}$ - интервал длины ( размерность которого равна длине).

Значение изменяется в зависимости от метода, используемого для решения дискретного уравнения, особенно в зависимости от того, явный или неявный метод . Если используется явный (маршевый по времени) решатель, то обычно . Неявные (матричные) решатели обычно менее чувствительны к числовой нестабильности, поэтому допускаются большие значения . ${\ displaystyle C _ {\ max}}$ ${\ displaystyle C _ {\ max} = 1}$ ${\ displaystyle C _ {\ max}}$

Двумерный и общий n -мерный случай

В двумерном случае условие КЛЛ принимает вид

{\ displaystyle C = {\ frac {u_ {x} \, \ Delta t} {\ Delta x}} + {\ frac {u_ {y} \, \ Delta t} {\ Delta y}} \ leq C_ { \Максимум }}

с очевидным значением задействованных символов. По аналогии с двумерным случаем, общее условие КЛЛ для -мерного случая следующее: ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle C = \ Delta t \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {u_ {x_ {i}}} {\ Delta x_ {i}}} \ right) \ leq C_ {\Максимум }.}

Длина интервала не обязательно должна быть одинаковой для каждой пространственной переменной . Эту « степень свободы » можно использовать для некоторой оптимизации значения временного шага для конкретной задачи, изменяя значения различных интервалов, чтобы они не были слишком маленькими. ${\ displaystyle \ Delta x_ {i}, i = 1, \ ldots, n}$

Ноты

использованная литература

Courant, R .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (1928), "Über die partiellen Differenzengleichungen der Mathematischen Physik" , Mathematische Annalen (на немецком языке), 100 (1): 32–74, Bibcode : 1928MatAn.100 ... 32C , doi : 10.1007 / BF01448839 , СУЛ 54.0486.01 , МР 1512478 .
Courant, R .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (сентябрь 1956 г.) [1928], Об уравнениях в частных разностях математической физики , Отчет об исследованиях и разработках AEC, NYO-7689, Нью-Йорк: Центр вычислительной и прикладной математики AEC - Институт математических наук Куранта , стр. V + 76, в архиве с оригинала на 23 октября 2008 .: перевод с немецкого Филлис Фокс. Это более ранняя версия статьи Courant, Friedrichs & Lewy 1967 , распространенная в качестве исследовательского отчета.
Courant, R .; Фридрихс, К .; Леви, Х. (март 1967) [1928], «Об уравнениях в частных разностях математической физики» , IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215–234, Bibcode : 1967IBMJ ... 11..215C , DOI : 10,1147 / rd.112.0215 , МР 0213764 , Zbl +0145,40402 . Свободно загружаемую копию можно найти здесь .

Карлос А. де Моура и Карлос С. Кубрусли (ред.): «Состояние Куранта-Фридрихса-Леви (CFL): 80 лет после открытия», Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

Languages

In other projects