Вращения и отражения в двух измерениях - Rotations and reflections in two dimensions

В геометрии , двумерный вращения и отражение два вида евклидовой плоскости изометрии , которые связаны друг с другом.

Вращение в плоскости можно сформировать, составив пару отражений. Сначала отразите точку P на ее изображение P 'на другой стороне линии L ₁ . Затем отражают P 'на ее изображении P ' 'на другой стороне линии L ₂ . Если прямые L ₁ и L ₂ образуют угол θ друг с другом, то точки P и P ′ ′ образуют угол 2θ вокруг точки O , пересечения L ₁ и L ₂ . То есть угол POP ′ ′ будет составлять 2 θ .

Пара поворотов вокруг одной и той же точке O будет эквивалентно повороту вокруг другой точки O . С другой стороны, композиция отражения и вращения или вращения и отражения (композиция не коммутативна ) будет эквивалентна отражению.

Приведенные выше утверждения можно выразить более математически. Обозначим поворот вокруг начала координат O на угол θ как Rot ( θ ). Обозначим отражение относительно прямой L, проходящей через начало координат и образующей угол θ с осью x , как Ref ( θ ). Пусть эти вращения и отражения действуют во всех точках на плоскости, и пусть эти точки представлены векторами положения . Тогда поворот можно представить в виде матрицы,

${\ displaystyle \ operatorname {Rot} (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}},}$

а также для отражения,

${\ displaystyle \ operatorname {Ref} (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos 2 \ theta & \ sin 2 \ theta \\\ sin 2 \ theta & - \ cos 2 \ theta \ end {bmatrix}} .}$

С этими определениями вращения и отражения координат выполняются следующие четыре тождества:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Rot} (\ theta) \, \ operatorname {Rot} (\ phi) & = \ operatorname {Rot} (\ theta + \ phi), \\\ operatorname {Ref } (\ theta) \, \ operatorname {Ref} (\ phi) & = \ operatorname {Rot} (2 \ theta -2 \ phi), \\\ operatorname {Rot} (\ theta) \, \ operatorname {Ref } (\ phi) & = \ operatorname {Ref} \ left (\ phi + {\ frac {1} {2}} \ theta \ right), \\\ operatorname {Ref} (\ phi) \, \ operatorname { Rot} (\ theta) & = \ operatorname {Ref} \ left (\ phi - {\ frac {1} {2}} \ theta \ right). \ End {align}}}$

Эти уравнения могут быть доказаны простым умножением матриц и применением тригонометрических тождеств , в частности, сумм и разностей.

Набор всех отражений в линиях через начало координат и поворотов вокруг начала координат вместе с операцией композиции отражений и вращений образует группу . У группы есть идентификатор: Rot (0). Каждое вращение Rot ( φ ) имеет обратный Rot (- φ ). Каждое отражение Ref ( θ ) является собственным обратным. Композиция имеет замыкание и ассоциативна, поскольку матричное умножение ассоциативно.

Обратите внимание, что и Ref ( θ ), и Rot ( θ ) были представлены ортогональными матрицами . Все эти матрицы имеют определитель , абсолютное значение которого равно единице. Матрицы вращения имеют определитель +1, а матрицы отражения имеют определитель -1.

Набор всех ортогональных двумерных матриц вместе с матричным умножением образуют ортогональную группу : O (2).

В следующей таблице приведены примеры матрицы вращения и отражения:

Тип	угол θ	матрица
Вращение	0 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Вращение	${\ displaystyle \ pm}$45 °	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 & \ mp 1 \\\ pm 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Вращение	90 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Вращение	180 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$
Отражение	0 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$
Отражение	45 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Отражение	90 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Отражение	-45 °	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Смотрите также

• Евклидовы симметрии
• Изометрия евклидовой плоскости
• Группа диэдра
• Теорема Картана – Дьедонне
• Группа вращения SO (3) - 3 размера