Конструкции в гиперболической геометрии - Constructions in hyperbolic geometry

Гиперболическая геометрия - это неевклидова геометрия, в которой сохранены первые четыре аксиомы евклидовой геометрии , но изменена пятая аксиома, постулат параллельности . Пятая аксиома гиперболической геометрии говорит , что дана линия L и точка P не на эту линии, существует по крайней мере две линии , проходящая через P , которые параллельны L . Как и в евклидовой геометрии, где древнегреческие математики использовали компас и идеализированную линейку для построения длин, углов и других геометрических фигур, построения также могут быть выполнены в гиперболической геометрии.

Псевдосфера

Модели гиперболической геометрии

Есть несколько моделей гиперболической геометрии, которые могут упростить выполнение и визуализацию конструкций. Части гиперболической плоскости могут быть помещены на псевдосферу и сохранять углы и гиперболические расстояния, а также изгибаться вокруг псевдосферы и при этом сохранять ее свойства. Однако не вся гиперболическая плоскость может быть помещена на псевдосферу в качестве модели, только часть гиперболической плоскости.

Диск Пуанкаре с гиперболическими параллельными линиями

Всю гиперболическую плоскость также можно поместить на диск Пуанкаре и сохранить его углы. Однако линии превратятся в дуги окружности, которые деформируют их.

инструменты

В гиперболической геометрии можно использовать стандартную линейку и циркуль, которые часто используются в геометрии евклидовой плоскости . Однако для гиперболических построений разработано множество циркулей и линейок.

Hypercompass может быть использован для построения гиперцикла заданного центральной линии и радиус. Horocompass может быть использован для построения орицикла через определенную точку , если диаметр и направление также предусмотрены. И то, и другое требует наличия прямой кромки, как и для стандартной линейки . При построении в гиперболической геометрии, если вы используете правильную линейку для построения, три компаса (то есть горокомпас, гиперкомпас и стандартный компас ) могут выполнять одни и те же построения.

С помощью параллельной линейки можно провести линию, проходящую через заданную точку A и параллельную заданному лучу a . Для любых двух линий можно использовать гиперболическую линейку , чтобы построить линию, параллельную первой линии и перпендикулярную второй.

Несколько примечаний по использованию линейки:

  • Параллельная линейка может быть использована для создания всего, что может построить стандартная линейка и три линейки.
  • Параллельная линейка может действовать как линейка в евклидовой геометрии.
  • Гиперболическая линейка не может выполнять построения евклидовой геометрии
  • В гиперболической геометрии конструкции, которые могут быть выполнены с использованием любого из трех перечисленных выше циркулей и параллельной линейки, также могут быть выполнены с использованием гиперболической линейки.

Простые конструкции

Биссектриса угла

Рассмотрим заданный угол ᗉ IAI '≠  π / 2 радиан, биссектриса которого ищется. Это приводит к двум различным случаям: либо IAI '<  π / 2 радиан, либо IAI'>  π / 2 радиан. В обоих случаях необходима гиперболическая линейка, чтобы построить линию BI, 'где BI' перпендикулярна AI и параллельна AI '. Также постройте линию B'I, где B'I перпендикулярна AI 'и параллельна AI.

Случай 1: ᗉ IAI '< π / 2 радиан

Пусть C - точка пересечения BI 'и B'I. В результате прямая AC делит ᗉ IAI пополам.

Случай 2: ᗉ IAI '>  π / 2 радиан

Этот случай далее разбивается на три части:

  • Случай 2а: IB 'пересекает I'B
    • Пусть A 'будет пересечением IB' и I'B. Тогда AA '- биссектриса угла ᗉ IAI'.
  • Случай 2b: IB 'параллельно I'B
    • Постройте отрезок BB 'и с помощью гиперболической линейки постройте прямую OI "так, чтобы OI" была перпендикулярна BB' и параллельна B'I ". Тогда прямая OA является биссектрисой угла ᗉ IAI '.
  • Случай 2c: IB ' ультрапараллелен I'B.
    • Используя теорему ультрапараллельности , постройте общий перпендикуляр к IB 'и I'B, CC'. Пусть пересечение CB "и BC 'равно D. В результате AD будет биссектрисой угла ᗉ BDB'. Тогда мы обнаружим, что прямая, проходящая через OD, также является биссектрисой угла IAI '.

Общая параллельная линия двум линиям

Мы рассматриваем задачу поиска прямой, параллельной двум заданным прямым а и а ' . Возможны три случая: a и a ' пересекаются в точке O, a и a' параллельны друг другу, а a и a ' ультрапараллельны друг другу.

Случай 1: a и a 'пересекаются в точке O,

Разделите пополам один из углов, образованных этими двумя линиями, и назовите биссектрису угла b . Используя гиперболическую линейку, постройте прямую c так , чтобы c была перпендикулярна b и параллельна a. В результате c также параллельна a ', что делает c общей параллелью прямых a и a'.

Случай 2: a и a 'параллельны друг другу

Используя гиперболическую линейку, постройте AI 'так, чтобы AI' был параллелен a ' и перпендикулярен a. Постройте еще одну линию A'I так, чтобы A'I была параллельна a и перпендикулярна a '. Пусть пересечение AI 'и A'I равно B. Поскольку IBI'>  π / 2 радиан , случай теперь разыгрывается как случай 1, позволяя построить общую параллель для BI и BI '.

Случай 3: a и a 'ультрапараллельны друг другу

Используя гиперболическую линейку, постройте BI 'так, чтобы BI' был перпендикулярен a и параллелен a ', и постройте прямую B'I так, чтобы B'I была перпендикулярна a' и параллельна a таким образом, чтобы BI 'и B'I на той же стороне от общего перпендикуляра a и a ', который можно найти с помощью теоремы ультрапараллельности . Пусть пересечение BI 'и B'I равно C. Тогда ᗉ ICI' ≠  π / 2 радиан, что позволяет завершить построение, как и в двух других случаях.

Линия, перпендикулярная другой линии в точке

Предположим, у вас есть прямая a и точка A на этой линии, и вы хотите построить линию, перпендикулярную a и проходящую через A. Тогда пусть a ' будет линией, проходящей через A, где a и a' - две разные линии. Тогда у вас будет один из двух случаев.

Случай 1: a перпендикулярно a '

В этом случае у нас уже есть линия, перпендикулярная точке a через A.

Случай 2: a и a 'не перпендикулярны друг другу

Используя гиперболическую линейку, постройте прямую BI так, чтобы BI была перпендикулярна a и параллельна a '. Кроме того, постройте линию CI 'так, чтобы CI' была перпендикулярна a и параллельна a ', но в противоположном направлении от BI. Теперь проведите линию II «так, чтобы II» была общей параллелью BI и I'C. Теорема ультрапараллельности теперь позволяет нам создать общий перпендикуляр к II "и a, потому что эти две прямые ультрапараллельны. Этот общий перпендикуляр теперь является прямой, перпендикулярной к a и проходящей через A.

Середина отрезка линии

Предположим, вы пытаетесь найти середину отрезка AB. Затем постройте линию AI так, чтобы линия AI проходила через A и перпендикулярно AB. Кроме того, постройте линию BI 'так, чтобы BI' пересекала AB в точке B и была перпендикулярна AB. Теперь постройте линию II так, чтобы II была общей параллелью AI и BI. Постройте общий перпендикуляр к II 'и AB, что можно сделать, используя теорему ультрапараллельности, потому что II' и AB ультрапараллельны друг другу. Назовите эту строку CC '. C теперь оказывается серединой AB.

Определения для сложных конструкций

При присвоении углов положительный или отрицательный знак, угол ᗉ XYZ будет положительным, если направление кратчайшего пути от XY до YZ - против часовой стрелки.

Для целей следующих определений будут сделаны следующие предположения, которые обычно не могут быть сделаны в гиперболической геометрии.

  • Три разные точки создают уникальный круг
  • Для любых двух прямых они встречаются в единственной точке (обычно это противоречило бы аксиоме параллельности гиперболической геометрии, поскольку может быть много разных прямых, параллельных одной и той же прямой).
  • Угловые меры имеют знаки. Здесь они будут определены следующим образом: Рассмотрим треугольник XYZ. Знак угла ᗉ XYZ положительный тогда и только тогда, когда направление пути по кратчайшей дуге от стороны XY к стороне YZ направлено против часовой стрелки. Изображение треугольника справа описывает это. Для сравнения: при работе с единичной окружностью величина угла положительна при движении против часовой стрелки и отрицательна при движении по часовой стрелке.

Циклические четырехугольники

Четырехугольник считается вписанным, если сумма двух противоположных вершин равна пи радианам или 180 градусам. Кроме того, если четырехугольник вписан в круг так, что все его вершины лежат на круге, он является вписанным.

Псевдовысоты

Рассмотрим треугольник ABC, в котором точки помечены по часовой стрелке, поэтому все углы положительны. Пусть X будет точкой, движущейся вдоль BC от B к C. По мере приближения X к C угол ᗉAXB будет уменьшаться, а угол ᗉ AXC увеличиваться. Когда X достаточно близко к B, ᗉ AXB> ᗉ AXC. Когда X достаточно близко к C, AXB <ᗉ AXC. Это означает, что в какой-то момент X окажется в положении, где ᗉ AXB = ᗉ AXC. Когда X находится в этом положении, он определяется как основание псевдовысоты от вершины A. Псевдовысота тогда будет отрезком линии AX.

Здесь примерами псевдовысот могут быть A 1 H 1 , A 2 H 2 и A 3 H 3 .

Псевдолины

Пусть d E (A, B) обозначает псевдодлину для данного гиперболического отрезка AB. Пусть преобразование перемещает A в центр диска Пуанкаре с радиусом, равным 1. Псевдодлина d E (A, B) - это длина этого сегмента в евклидовой геометрии.

Гомотетия

Для данной точки P, точки A, где A - центр гомотетии, и числа k, которое представляет отношение гомотетии, гомотетия - это преобразование, которое переместит P в точку P ', где P' находится на луче AP и d E (A, P ') = k · d E (A, P).

Теорема о трех тупицах

Рассмотрим три окружности ω 1 , ω 2 и ω 3 в общей плоскости. Пусть P 1 будет пересечением двух внешних касательных к ω 2 и ω 3 . Пусть P 2 и P 3 найдены таким же образом. Теорема о трех заглавных буквах говорит, что P 1 , P 2 и P 3 все лежат на одной прямой.

Доказательство: постройте сферу поверх каждого круга, а затем постройте плоскость, касательную к этим трем сферам. Плоскость пересекает плоскость, на которой лежат круги, по прямой, содержащей точки P 1 , P 2 и P 3 . Эти точки также являются центрами гомотетии окружностей, из которых они были получены.

Применение к сферической геометрии

Алгебраически гиперболическая и сферическая геометрия имеют одинаковую структуру. Это позволяет нам применять концепции и теоремы одной геометрии к другой. Применение гиперболической геометрии к сферической геометрии может облегчить понимание, потому что сферы намного более конкретны, что затем упрощает концептуальное представление сферической геометрии.

Ссылки