Конус (теория категорий) - Cone (category theory)

В теории категорий , ветвь математики , то конус функтора является абстрактным понятием , которое используется для определения предела этого функтора . Конусы также встречаются и в других случаях в теории категорий.

Определение

Пусть F : J → С быть схемой , в C . Формально диаграмма , это не более чем функтор от J до C . Изменение терминологии отражает тот факт , что мы думаем о F , как индексировать семейство объектов и морфизмов в C . Категория J мыслится как «индекс категории». Это следует рассматривать по аналогии с концепцией индексированного семейства объектов в теории множеств . Основное отличие состоит в том, что здесь тоже есть морфизмы. Так, например, когда J - дискретная категория , это наиболее близко соответствует идее индексированного семейства в теории множеств. В другом распространенном и более интересном примере J является диапазоном . J также можно рассматривать как пустую категорию, ведущую к простейшим конусам.

Пусть N быть объектом C . Конус от N к F представляет собой семейство морфизмов

{\ Displaystyle \ psi _ {X} \ двоеточие N \ to F (X) \,}

для каждого объекта X из J , такого, что для любого морфизма f : X → Y в J коммутирует следующая диаграмма :

(Обычно бесконечная) совокупность всех этих треугольников может быть (частично) изображено в виде конуса с вершиной N . Конуса ψ иногда говорят, вершина N и базовой F .

Можно также определить двойственное понятие конуса от F до N (также называемого коконусом ), перевернув все стрелки выше. Явно конус из F в N - это семейство морфизмов

{\ Displaystyle \ psi _ {X} \ двоеточие F (X) \ к N \,}

для каждого объекта X из J , такого, что для любого морфизма f : X → Y в J коммутирует следующая диаграмма:

Эквивалентные составы

На первый взгляд конусы кажутся слегка ненормальными конструкциями в теории категорий. Они отображают объект в функтор (или наоборот). В соответствии с духом теории категорий мы хотели бы определить их как морфизмы или объекты в некоторой подходящей категории. Фактически, мы можем сделать и то, и другое.

Пусть J - малая категория, а C ^J - категория диаграмм типа J в C (это не более чем категория функторов ). Определим диагональную функтор Д: С → С ^J следующим образом : Δ ( N ): J → C является постоянным функтор к N для всех N в C .

Если F - диаграмма типа J в C , следующие утверждения эквивалентны:

ψ - конус из N в F
ψ - естественное преобразование из ∆ ( N ) в F
( N , ψ) - объект из категории запятой (Δ ↓ F )

Двойные утверждения также эквивалентны:

ψ - конус из F в N
ψ - естественное преобразование из F в ∆ ( N )
( N , ψ) - объект из категории запятой ( F ↓ Δ)

Все эти утверждения могут быть проверены прямым применением определений. Думая о конусах как о естественных преобразованиях, мы видим, что это просто морфизмы в C ^J с источником (или целью) константным функтором.

Категория шишек

Согласно вышесказанному, мы можем определить категорию конусов в F как категорию запятых (∆ ↓ F ). Тогда морфизмы конусов будут просто морфизмами в этой категории. Эта эквивалентность укоренилась в наблюдении , что естественное отображение между постоянными функторами А ( Н ), А ( М ) соответствует морфизму между N и M . В этом смысле диагональный функтор тривиально действует на стрелки. Аналогичным образом, запись определения естественного отображения постоянного функтора Δ ( N ) в F дает ту же диаграмму, что и приведенная выше. Как и следовало ожидать, морфизм конуса ( N , ψ) в конус ( L , φ) - это просто морфизм N → L, такой, что все «очевидные» диаграммы коммутируют (см. Первую диаграмму в следующем разделе).

Точно так же категория ко-конусов из F - это категория запятой ( F ↓ Δ).

Универсальные конусы

Пределы и копределы определяются как универсальные конусы . То есть конусы, через которые действуют все остальные колбочки. Конус φ из L в F является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из N в F существует единственный морфизм из ψ в φ.

Эквивалентно, универсальный конус к F - это универсальный морфизм из Δ в F (рассматриваемый как объект в C ^J ) или конечный объект в (Δ ↓ F ).

Двойственно конус φ из F в L является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из F в N существует единственный морфизм из φ в ψ.

Эквивалентно универсальный конус из F - это универсальный морфизм из F в Δ или начальный объект в ( F ↓ Δ).

Предел F является универсальным конусом для F и копределом является универсальным конусом из F . Как и во всех универсальных конструкциях, не гарантируется, что универсальные конусы существуют для всех диаграмм F , но если они действительно существуют, то они уникальны с точностью до единственного изоморфизма (в категории запятых (∆ ↓ F )).

Смотрите также

Обратный предел # Конусы - Обобщение произведений, откатов, пересечений и других построений.

Внешние ссылки

Конус в nLab

Languages

In other projects