Циссоида Диокла - Cissoid of Diocles

Циссоида Диокла прослеживается по точкам M с OM = M ₁ M ₂ .

Анимация, визуализирующая циссоиду Диокла

В геометрии , то циссоида диокла является кубической плоской кривой отличается тем свойством , что он может быть использован для построения двух средних пропорциональных к заданному соотношению . В частности, с его помощью можно удвоить куб . Она может быть определена как cissoid о наличии окружности и линией , касательной к ней по отношению к точке на окружности , противоположной точке касания. В самом деле, семейство кривых из cissoids названо в честь этого примера и некоторые авторы называют его просто как на cissoid. Он имеет единственный выступ на полюсе и симметричен относительно диаметра окружности, которая является линией касания куспида. Линия - это асимптота . Он является членом семейства кривых раковин де Слуза и по форме напоминает трактрису .

Слово «циссоид» происходит от греческого κισσοειδ kissoeidēs «в форме плюща » от κισσός kissos «плющ» и -οειδής - oeidēs «имеющий подобие». Кривая названа в честь Диокла , изучавшего ее во II веке до нашей эры.

Конструкция и уравнения

Пусть радиус C равен a . Путем сдвига и вращения мы можем взять O за начало координат, а центр круга за ( a , 0), так что A будет (2 a , 0). Тогда полярные уравнения L и C таковы:

{\ Displaystyle г = 2а \ сек \ тета}

{\ Displaystyle г = 2а \ соз \ тета}

.

По построению, расстояние от начала координат до точки на cissoid равна разности расстояний между началом координат и соответствующих точек на L и C . Другими словами, полярное уравнение циссоиды имеет вид

{\ Displaystyle г = 2а \ сек \ тета -2а \ соз \ тета = 2а (\ сек \ тета - \ соз \ тета)}

.

Применяя некоторые тригонометрические тождества, это эквивалентно

{\ Displaystyle г = 2а \ грех ^ {2} \! \ тета / \ соз \ тета = 2а \ грех \ тета \ загар \ тета}

.

Пусть в приведенном выше уравнении. затем ${\ Displaystyle т = \ загар \ тета}$

{\ displaystyle x = r \ cos \ theta = 2a \ sin ^ {2} \! \ theta = {\ frac {2a \ tan ^ {2} \! \ theta} {\ sec ^ {2} \! \ theta }} = {\ frac {2at ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}

{\ displaystyle y = tx = {\ frac {2at ^ {3}} {1 + t ^ {2}}}}

являются параметрическими уравнениями для циссоида.

Преобразование полярной формы в декартовы координаты дает

{\ Displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2}) х = 2ay ^ {2}}

Строительство по двойной проекции

Механизм образования циссоида

Построение различных точек циссоиды с помощью циркуля и линейки происходит следующим образом. Учитывая , линия L и точка О не на L , построить линию L» через O параллельно L . Выберите переменную точку P на L и постройте Q , ортогональную проекцию P на L ' , затем R , ортогональную проекцию Q на OP . Тогда cissoid геометрическое место точек R .

Чтобы увидеть это, пусть O - начало координат, а L - прямая x = 2a, как указано выше. Пусть P - точка (2 a , 2 at ); тогда Q равно (0, 2 at ) и уравнение линии OP имеет вид y = tx . Прямая, проходящая через Q, перпендикулярная OP, есть

{\ displaystyle t (y-2at) + x = 0}

.

Чтобы найти точку пересечения R , установите y = tx в этом уравнении, чтобы получить

{\ displaystyle t (tx-2at) + x = 0, \ x (t ^ {2} +1) = 2at ^ {2}, \ x = {\ frac {2at ^ {2}} {t ^ {2 } +1}}}

{\ displaystyle y = tx = {\ frac {2at ^ {3}} {t ^ {2} +1}}}

которые являются параметрическими уравнениями, приведенными выше.

Хотя эта конструкция дает сколь угодно много точек на циссоиде, она не может отследить какой-либо непрерывный сегмент кривой.

Конструкция Ньютона

Следующая конструкция была дана Исааком Ньютоном . Пусть J быть линией и B точки не на J . Пусть БСТ быть под прямым углом , который движется таким образом , что ST равна расстоянию от B до J и Т остается на J , в то время как другая нога BS скользит вдоль B . Тогда средняя точка Р из ST описывает кривую.

Чтобы убедиться в этом, пусть расстояние между B и J равно 2 a . Путем сдвига и поворота возьмем B = (−a, 0) и J прямую x = a . Пусть P = ( x , y ) и ψ - угол между SB и осью x ; это равно углу между ST и J . По построению, ПТ = , так что расстояние от Р до J является грехом ψ. Другими словами, a - x = a sin ψ. Кроме того, SP = a является координатой y для ( x , y ), если он повернут на угол ψ, поэтому a = ( x + a ) sin ψ + y cos ψ. После упрощения получается параметрические уравнения

{\ displaystyle x = a (1- \ sin \ psi), \, y = a {\ frac {(1- \ sin \ psi) ^ {2}} {\ cos \ psi}}.}

Измените параметры, заменив ψ на его дополнение, чтобы получить

{\ displaystyle x = a (1- \ cos \ psi), \, y = a {\ frac {(1- \ cos \ psi) ^ {2}} {\ sin \ psi}}}

или, применяя формулы двойного угла,

{\ displaystyle x = 2a \ sin ^ {2} {\ psi \ over 2}, \, y = a {\ frac {4 \ sin ^ {4} {\ psi \ over 2}} {2 \ sin {\ psi \ over 2} \ cos {\ psi \ over 2}}} = 2a {\ frac {\ sin ^ {3} {\ psi \ over 2}} {\ cos {\ psi \ over 2}}}.}

Но это полярное уравнение

{\ Displaystyle г = 2а \ грех ^ {2} \ тета / \ соз \ тета}

приведено выше с θ = Ψ / 2.

Обратите внимание, что, как и в случае конструкции с двойным выступом, это может быть адаптировано для создания механического устройства, генерирующего кривую.

Делианская проблема

Греческий геометр Диокл использовал циссоиду, чтобы получить два средних, пропорциональных заданному отношению . Это означает, что при заданных длинах a и b кривую можно использовать для нахождения u и v, так что a относится к u, как u относится к v, как v относится к b, т.е. a / u = u / v = v / b , как обнаружено по Гиппократу Хиос . Как частный случай, это может быть использовано для решения задачи Делиана: насколько нужно увеличить длину куба , чтобы его объем удвоился ? В частности, если a - сторона куба, а b = 2 a , то объем куба со стороной u равен

{\ displaystyle u ^ {3} = a ^ {3} ({\ tfrac {u} {a}}) ^ {3} = a ^ {3} ({\ tfrac {u} {a}}) ({ \ tfrac {v} {u}}) ({\ tfrac {b} {v}}) = a ^ {3} ({\ tfrac {b} {a}}) = 2a ^ {3}}

таким образом, u - сторона куба с удвоенным объемом исходного куба. Обратите внимание, однако, что это решение не подпадает под правила построения циркуля и линейки, поскольку оно основано на существовании циссоиды.

Пусть даны a и b . Требуется найти u так, чтобы u ³ = a ²b , давая u и v = u ² / a как средние пропорциональные. Пусть циссоид

{\ Displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2}) х = 2ay ^ {2}}

быть построенным, как указано выше, с O - началом координат, A - точкой (2 a , 0) и J - прямой x = a , также как указано выше. Пусть C - точка пересечения J с OA . От заданной длины b отметьте B на J, чтобы CB = b . Нарисуйте BA и пусть P = ( x , y ) будет точкой, в которой она пересекает циссоид. Draw OP и пусть она пересекает J на U . Тогда u = CU - искомая длина.

Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнение кривой как

{\ displaystyle y ^ {2} = {\ frac {x ^ {3}} {2a-x}}}

и пусть N = ( х , 0), так что ПШ является перпендикулярной к ОА через P . Из уравнения кривой

{\ displaystyle PN ^ {2} = {\ frac {ON ^ {3}} {NA}}.}

Из этого,

{\ displaystyle {\ frac {PN ^ {3}} {ON ^ {3}}} = {\ frac {PN} {NA}}.}

По подобных треугольников PN / ON = ОК / OC и PN / NA = ВС / ЦА . Таким образом, уравнение становится

{\ displaystyle {\ frac {UC ^ {3}} {OC ^ {3}}} = {\ frac {BC} {CA}},}

так

{\ displaystyle {\ frac {u ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {b} {a}}, \, u ^ {3} = a ^ {2} b}

как требуется.

Диокл на самом деле не решил делийскую проблему. Причина в том, что циссоида Диокла не может быть построена идеально, по крайней мере, с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить циссоиду Диокла, нужно построить конечное число ее отдельных точек, а затем соединить все эти точки, чтобы образовать кривую. Проблема в том, что нет четко определенного способа соединения точек. Если они соединены отрезками прямых, то конструкция будет четко определена, но это будет не точная циссоида Диокла, а только приближение. Точно так же, если точки соединены дугами окружности, конструкция будет четко определенной, но неправильной. Или можно просто нарисовать кривую напрямую, пытаясь оценить форму кривой, но результатом будет только неточное предположение.

После того, как конечный набор точек на циссоиде будет нарисован, линия PC , вероятно, не будет точно пересекать одну из этих точек, а будет проходить между ними, пересекая циссоиду Диокла в некоторой точке, точное местоположение которой не было построено, но имеет только приблизительно. Альтернативой является добавление сконструированных точек к циссоиде, которые становятся все ближе и ближе к пересечению с линией PC , но количество шагов вполне может быть бесконечным, и греки не признавали приближения как пределы бесконечных шагов (так что они были очень озадачен парадоксами Зенона ).

Можно также построить циссоиду Диокла с помощью механического инструмента, специально разработанного для этой цели, но это нарушает правило использования только циркуля и линейки. Это правило было установлено из соображений логической - аксиоматической - непротиворечивости. Допустить конструирование с помощью новых инструментов было бы похоже на добавление новых аксиом , но аксиомы должны быть простыми и самоочевидными, а такие инструменты - нет. Таким образом, по правилам классической синтетической геометрии Диокл не решил проблему Делиана, которая фактически не может быть решена такими средствами.

С другой стороны, если допустить, что циссоиды Диокла действительно существуют , то должен существовать хотя бы один пример такой циссоиды. Затем этот циссоид можно было перемещать, вращать, расширять или сжимать в размере (без изменения его пропорциональной формы) по желанию, чтобы поместиться в любое положение. Тогда можно было бы легко признать, что такой циссоид можно использовать для правильного решения проблемы Делиана.

Как педаль кривой

Кривая педаль параболы по отношению к его вершине является циссоида диок. Геометрические свойства кривых педалей в целом создают несколько альтернативных методов построения циссоиды. Это огибающие окружностей, центры которых лежат на параболе и которые проходят через вершину параболы. Также, если две конгруэнтные параболы установлены между вершинами, и одна катится по другой; вершина катящейся параболы будет следовать за циссоидом.

Пара парабол обращена друг к другу симметрично: одна сверху, другая снизу. Затем верхняя парабола прокатывается без скольжения по нижней, и ее последовательные положения отображаются в анимации. Тогда путь, прослеживаемый вершиной верхней параболы при ее вращении, представляет собой рулетку, показанную красным цветом, которая является циссоидой Диокла.

Инверсия

Циссоиду Диокла также можно определить как обратную кривую параболы с центром инверсии в вершине. Чтобы убедиться в этом, возьмем параболу x = y ² в полярных координатах или: ${\ Displaystyle г \ соз \ тета = (г \ грех \ тета) ^ {2}}$